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文档简介

2.6 三次样条插值,问题：,1. 为什么引进分段低次插值？,2. 分段线性和分段二次插值有何特点？,3. 分段Hermite插值有何特点？,4. 是否有办法在只给出函数值的情况下，构造出一个具有较高整体光滑度（如二阶导数连续）的低次插值函数呢？,2.6.1 三次样条函数,若在节点 上给定函数值,（7.1）,则称 为三次样条插值函数.,定义3,并成立,由于 在每个小区间 上有4个待定系数，,共有 个小区间，所以共有 个待定参数.,这些共有 个条件，再加上 本身还要满足的 个插值条件，共有 个条件，还需要2个条件才能确定,（7.2）,通常可在区间 端点 上各加一个条件,1. 已知两端的一阶导数值，即,（7.3）,（7.5）称为自然边界条件.,2. 已知两端的二阶导数，即,其特殊情况为,（7.4）,（7.5）,常见的边界条件有以下3种：,（称为边界条件），,此时插值条件（7.1）中 .,这样确定的样条函数 称为周期样条函数.,这时边界条件应满足,（7.6）,方法一：利用分段三次Hermite插值多项式求,下面利用 的一阶导数值 表示 .,故 在区间 上应满足,于是由Hermite插值多项式得三次样条表达式：,2.6.2 样条插值函数的建立,有n+1个mi需确定，利用二阶导数连续及边界条件来确定。,下面利用 的二阶导数值 表示 .,（7.7）,对 积分两次并利用 及 ，,可表示为,方法二：利用Lagrange插值多项式求,这里 是未知的.,（7.8）,为了确定 ,对 求导得,（7.9）,利用 和边界条件可得Mj .,试求三次样条函数 ，使它满足边界条件,例5,由此得矩阵形式的方程组如下：,解,求解得,代入（7.8）得,（曲线见图2-6）,图2-6,给定函数 节点,用三次样条插值求,取,直接上机计算可求出 在表2-6所列各点的值.,例6,现将三种插值结果画在一起：,2.6.3 误差界与收敛性
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