2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何（选修_1）第4节双曲线应用能力提升理.docx

第4节双曲线【选题明细表】知识点、方法题号双曲线定义及应用5,8,9双曲线的标准方程及几何性质1,2,3,6,11,12,13,14双曲线的综合4,7,10,15基础巩固(建议用时:25分钟)1.已知双曲线-=1(a0)的离心率为2,则a等于(D)(A)2 (B) (C) (D)1解析:因为双曲线的方程为-=1,所以e2=1+=4,因此a2=1,a=1.选D.2.下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是(C)(A)x2-=1 (B)-y2=1(C)-x2=1 (D)y2-=1解析:A,B选项中双曲线的焦点在x轴上,C,D选项中双曲线的焦点在y轴上,又令-x2=0,得y=2x,令y2-=0,得y=x.故选C.3.已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为(C)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e=,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1,故选C.4.(2017全国卷)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(B)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由双曲线的一条渐近线方程为y=x得4b2=5a2,椭圆+=1的焦点为(3,0),所以c=3.在双曲线中c2=a2+b2,得a2=4,b2=5.则C的方程为-=1.故选B.5.已知双曲线-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则PF1F2的面积为(A)(A)1 (B) (C) (D)解析:在双曲线-y2=1中,a=,b=1,c=2.不妨设P点在双曲线的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF1|+|PF2|=2,所以|PF1|=+, |PF2|=-.又|F1F2|=2c=4,而|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1PF2,所以=|PF1|PF2|=(+)(-)=1.故选A.6.(2017天津卷)已知双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(D)(A)-=1 (B)-=1(C)-y2=1 (D)x2-=1解析:根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线y=x上).由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF=60,c=|OF|=2.又点A在双曲线的渐近线y=x上,所以=tan 60=.又a2+b2=4,所以a=1,b=,所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.7.已知双曲线C:-=1(a0,b0)与椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线C的渐近线方程为y=2x,则双曲线C的方程为.解析:易得椭圆的焦点为(-,0),(,0),所以所以a2=1,b2=4,所以双曲线C的方程为x2-=1.答案:x2-=18.已知点F1(-3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为.解析:由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支,设其方程为-=1(x0,a0,b0),由题设知c=3,a=2,b2=9-4=5.所以点P的轨迹方程为-=1(x0).答案:-=1(x0)能力提升(建议用时:25分钟)9.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|= 2|PF2|,则cosF1PF2等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由x2-y2=2,知a=b=,c=2.由双曲线定义,|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=4,|PF2|=2,在PF1F2中,|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得cosF1PF2=.故选C.10.过双曲线C:-=1(a0,b0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为(A)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=x,因此可得点A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,又c2=a2+b2,则c=2a,即a=2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为-=1, 故选A.11.(2018吉林百校联盟联考)已知双曲线C:-=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐近线分别交于M,N两点,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的渐近线方程为.解析:不妨设l与渐近线y=x垂直,则直线l:y=-(x+c),由得M(-,-),由得N(-,),因为|NF1|=2|MF1|,所以M为NF1的中点,所以=-.即c2=-2(a2-b2).所以a2+b2=-2a2+2b2.所以=.故双曲线的渐近线方程为y=x.答案:y=x12.(2018湖南两市九月调研)已知F为双曲线-=1(a0,b0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=3,则此双曲线的离心率为.解析:根据题意知F(-c,0),A(0,b).设B(x0,y0),由=3得(x0,y0-b)=3(c,b),则4b=3c.所以e=.答案:13.已知点F是双曲线-=1(a0,b0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是.解析:由题意易知点F的坐标为(-c,0),A(-c,),B(-c,-),E(a,0),因为ABE是锐角三角形,所以0,即=(-c-a,)(-c-a,-)0,整理得3e2+2ee4,所以e(e3-3e-3+1)0,所以e(e+1)2(e-2)1,所以e(1,2).答案:(1,2)14.(2018东北四市模拟)F为双曲线-=1(ab0)的左焦点,过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,若=,则双曲线的离心率为.解析:设双曲线的两条渐近线分别为l1,l2,l1:y=x,l2:y=-x,由于kFA=1,则FA的方程为y=x+c,由可得A(-,),由可得B(,),因为=,所以点A为FB的中点,故=,则b=3a,即b2=9a2,所以c2-a2=9a2,即e2=10,所以e=.答案:15.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的实轴长为2,一个焦点的坐标为(-,0).(1)求双曲线的方程;(2)若斜率为2的直线l交双曲线C于A,B两点,且|AB|=4,求直线l的方程.解:(1)由2a=2得a=,又c=,所以b2=c2-a2=2,则