2020版高考数学第十一篇复数、算法、推理与证明（选修_2）第4节直接证明与间接证明、数学归纳法应用能力提升.docx

第4节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法1,3,9,11,12分析法4,6,8反证法2,7,13数学归纳法5,10,14,15基础巩固(建议用时:25分钟)1.若a,bR,则下面四个式子中恒成立的是(B)(A)lg(1+a2)0(B)a2+b22(a-b-1)(C)a2+3ab2b2(D)1,a=-,b=-,则以下结论正确的是(B)(A)ab(B)a+0(m1),所以,即abc,且a+b+c=0,求证0 (B)a-c0(C)(a-b)(a-c)0(D)(a-b)(a-c)0解析:由题意知ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+c20(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.故选C.5.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(A)(A)(k+3)3(B)(k+2)3(C)(k+1)3(D)(k+1)3+(k+2)3解析:假设当n=k时,原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故选A.6.+与2+的大小关系为.解析:要比较+与2+的大小,只需比较(+)2与(2+)2的大小,只需比较6+7+2与8+5+4的大小,只需比较与2的大小,只需比较42与40的大小,因为4240,所以+2+.答案:+2+7.用反证法证明命题“a,bN*,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是.答案:都不能被5整除8.下列条件:ab0,ab0,b0,a0,b0成立,即a,b不为0且同号即可,故能使+2成立.答案:能力提升(建议用时:25分钟)9.已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为(A)(A)ABC(B)ACB(C)BCA(D)CBA解析:因为,又f(x)=()x在R上是减函数,所以f()f()f().故选A.10.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为(C)(A)n+1(B)2n(C)(D)n2+n+1解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+n)=1+=个区域.故选C.11.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+(D)(A)都大于2 (B)都小于2(C)至少有一个不大于2 (D)至少有一个不小于2解析:因为a0,b0,c0,所以(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)6,当且仅当a=b=c=1时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.故选D.12.如果a+ba+b,则a,b应满足的条件是.解析:因为a+b-(a+b)=(a-b)+(b-a)=(-)(a-b)=(-)2(+).所以当a0,b0且ab时,(-)2(+)0.所以a+ba+b成立的条件是a0,b0且ab.答案:a0,b0且ab13.设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.(1)求证:数列Sn不是等比数列;(2)数列Sn是等差数列吗?为什么?(1)证明:假设数列Sn是等比数列,则=S1S3,即(1+q)2=a1a1(1+q+q2),因为a10,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,这与公比q0矛盾,所以数列Sn不是等比数列.(2)解:当q=1时,Sn=na1,故Sn是等差数列;当q1时,Sn不是等差数列,否则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,这与公比q0矛盾.综上,当q=1时,数列Sn是等差数列;当q1时,数列Sn不是等差数列.14.设nN*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列xn的通项公式;(2)记Tn=,证明:Tn.(1)解:y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-=.所以数列xn的通项公式为xn=.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知Tn=()2()2()2.当n=1时,T1=.当n2时,因为=()2=.所以Tn()2=.综上可得对任意的nN*,均有Tn.15.已知数列an的前n项和Sn满足:Sn=+-1,且an0,nN*.(1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;(2)证明(1)中的猜想.(1)解:当n=1时,由已知得a1=+-1,即+2a1-2=0.所以a1=-1(a10).当n=2时,由已知得a1+a2=+-1,将a1=-1代入并整理得+2a2-2=0.所以a2=-(a20).同理可得a3=-.猜想an=-(nN*).(2)证明:由(1)知,当n=1,2,3时,通项公式成