广东省湛江市2019届高三数学测试试题（二）文（含解析）.docx

湛江市2019年普通高考测试（二）文科数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长【详解】解：复数za+bi，a、bR；2z，2（a+bi）（abi），即，解得a3，b4，z3+4i，|z|故选：D【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题2.已知集合 ，则集合的子集个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合B，求出AB，从而可确定它的子集个数.【详解】 ，所以该集合的子集个数为224故选：C【点睛】本题考查了集合运算问题与子集个数问题，是基础题目3.现有甲班三名学生，乙班两名学生，从这名学生中选名学生参加某项活动，则选取的名学生来自于不同班级的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】解：从这名学生中选名学生参加某项活动，基本事件总数n10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m4，抽到2名学生来自于不同班级的概率是P故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4.平行四边形中， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据向量的数量积求出，然后把，用，表示，代入结合已知即可求解【详解】解：平行四边形ABCD中，2，则（）（） 3故选：B【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，考查计算能力与转化能力5.有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性.这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：男女合计无403575有151025合计5545100附： 0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.706据此表，可得（ ）A. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足B. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过C. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足D. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过【答案】A【解析】【分析】由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论.【详解】由表中数据，计算K20.33670.455，认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足；故选：A【点睛】本题考查独立性检验的应用，关键是理解独立性检验的思路6.在中，内角所对的边分别为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA，进而利用二倍角余弦公式得到结果.【详解】sinAcosB4sinCcosAsinBcosA即sinAcosB+sinBcosA4cosAsinCsinC4cosAsinC0C，sinC014cosA，即cosA，那么故选：C【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题7.设分别为离心率的双曲线的左、右焦点，为双曲线的右顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线于两点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由离心率可知，联立方程求出两点的坐标，进而可得结果.【详解】离心率，不妨设圆与yx相交且点M的坐标为（，）（x00），则N点的坐标为（，），联立，得M（a，2a），N（a，2a），又A（a，0），故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率解决本题的关键在于求出a，b的关系8.已知实数是给定的常数，函数的图像不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令m=0,排除D,对函数求导，确定其极值点的正负即可判断【详解】当m=0,C符合题意，当m00,设的两根为则0,则两个极值点异号，则D不合题意，故选:D【点睛】本题考查函数图像的识别与判断，导数的应用，考查推理能力，是基础题9.在三棱锥中面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可.【详解】，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，则，解得，异面直线与所成角的余弦值为故选：B【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题10.把函数的图像向左平移个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图像，并且的图像如图所示，则的表达式可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出和，结合函数图象变换关系进行求解即可【详解】g（0）2sin1，即sin，或（舍去）则g（x）2sin（x），又当k=1,即g（x）2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到ysin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）sin（x-）故选：B【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出 和的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键11.设椭圆的右焦点为，经过原点的直线与椭圆相交于点，若，椭圆的离心率为，则的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由椭圆定义及离心率，可得a，c的值，利用余弦定理可得，进而利用面积公式得到结果.【详解】设椭圆的左焦点为,由椭圆的对称性可知，又，由余弦定理可得，故=故选：C【点睛】本题考查了椭圆的定义与几何性质，考查了余弦定理及面积公式，属于中档题12.函数对于任意实数，都有与成立，并且当时，.则方程的根的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程的根的个数.【详解】对任意实数x都有f（x+2）f1+（1+x）f1（1+x）f（x），由于f（x）为偶函数，f（x）f（x）f（x+2）f（x）函数f（x）是以2为周期的周期函数，且值域为方程的根的个数即函数图象与直线的交点个数，当时，当时，函数图象与直线无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个故选：A【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知函数，则曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】【分析】求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可【详解】则又故切线方程为y=x+1故答案为y=x+1【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题14.若实数满足不等式组，且的最小为，则实数_【答案】【解析】【分析】画出可行域，由z的几何意义确定其最小值，列m的方程求解即可详解】画出可行域如图阴影部分所示：当过A时取得最小值，联立得A,则，解m=故答案为【点睛】本题考查线性规划，z的几何意义，数形结合思想，确定取得最小值的最优解是关键，是中档题15.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元世纪）的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时， 符合条件的共有_个【答案】【解析】【分析】由题设a=3m+2=5n+3,m,nN*,得3m=5n+1，对m讨论求解即可【详解】由题设a=3m+2=5n+3,m,nN*,则3m=5n+1当m=5k,n不存在；当m=5k+1，n不存在当m=5k+2,n=3k+1，满足题意当m=5k+3,n不存；当m=5k+4,n不存在；故2a=15k+82019,解则k=0,1,2134,共135个故答案为：135【点睛】本题以传统文化为背景考查整数的运算性质，考查不等式性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题16.圆锥的底面半径为，母线长为.正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_【答案】【解析】【分析】设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，利用相似性表示h，从而得到，利用导数知识求最值即可.【详解】设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，根据相似性可得：，解得：hx，（其中0x2）此正四棱柱体积为：令，解得：易得：在上递增，在上递减，所以此正四棱柱体积最大值为【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及函数的最值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）设，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，检验成立即可求解；（2）由=裂项相消求和即可【详解】（1）当时， 当时，满足上式，（2）由可得 【点睛】本题考查数列通项公式，裂项相消求和，考查计算能力，熟记求和的基本方法，准确计算是关键，是基础题18.四棱锥中，底面是菱形，.（1）求证：；（2）若是的中点，求点到平面的距离.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】(1)要证转证平面，即证；(2) 由（1）可知，平面.可得平面平面设点到平面的距离为，则由于，得点到平面的距离为.【详解】（1）证明：由于四边形是菱形，所以是正三角形.设的中点为，连接，如图所示，则又，所以.又相交于，所以平面又平面，所以.（2）由（1）可知，平面.可得解：由（1）可知，平面.又，所以平面.又平面，所以平面平面设点到平面的距离为，则由于，得点到平面的距离为.由于平面，所以两点到平面的距离均为. 所以点到直线的距离就是.设的中心为，则平面.，在中，在中，所以.由，得点到直线距离为，即，得所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到平面的距离，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.19.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取个家庭，得到数据如下：家庭编号123456月收入x（千元）203035404855月支出y（千元）4568811参考公式：回归直线的方程是：，其中， .（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这个家庭中随机抽取个，求月支出都少于万元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意得到，进而得到从而得到月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程；(2) 从个家庭中抽取个，共包含15种情况，其中月支出都少于万元的基本事件共10种，从而得到结果.【详解】解：（1） ,故月支出关于月收入的线性回归方程是：（2）若从个家庭中抽取个，则基本事件为 ，共种，月支出都少于万元的基本事件为 ，共种，则月支出都少于万元的概率.【点睛】本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查古典概型概率公式，考查计算能力，属于中档题20.已知定点，横坐标不小于的动点在轴上的射影为，若.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点不在直线上，并且直线与曲线相交于两个不同点.问是否存在常数使得当的值变化时，直线斜率之和是一个定值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)利用抛物线定义，即可得到动点的轨迹的方程；(2) 设，则，利用韦达定理即可得到结果.【详解】（1）设点在直线上的射影是，则由于的横坐标不小于，所以，又所以即点到的距离与到直线的距离相等，所以的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线.即的方程是（2）由于在曲线上，可设，则的斜率的斜率所以又曲线与直线相交于两点，所以，于是联立方程，得，所以.=1-，此式随着m的变化，值也在变化，所以不存在k值满足题意.【点睛】此题考查了定义法求轨迹方程，综合考查了直线与圆锥曲线方程联立，解决更为复杂的存在探究问题，难度中档21.函数，其中常数.（1）求的最小值；（2）若，讨论的零点的个数.【答案】（1）-1（2）见解析【解析】【分析】(1) 导数为，研究单调性即可得到的最小值；(2)在其定义域上的导数是，对a分类讨论，数形结合即可明确的零点的个数.【详解】解：（1）在定义域上的导数为.所以当时，；当时，.所以的单调递减区间是，单调增区间是.所以的最小值是.（2）在其定义域上的导数是当时，由（1）可得在上是增函数，此时由，可得函数有唯一的零点. 当时，并且对于负数，有 又因为，所以，即所以在区间上存在负数，使得，则在上是增函数；在区间上是减函数.则.所以在上，有且仅有个零点；在区间上，并且是增函数.所以存在正数，使得在上，是减函数；在上，是增函数.于是有所以在上，恰有唯一的零点.所以当时，在上恰有三个不同的零点.综上所述，当时，有唯一的零点；当时，有三个不同的零点.【点睛】本题考查了函数的最值与函数零点的个数判断，考查转化