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第2讲 一元二次不等式的解法 基础题组练1不等式(x2)(2x3)0的解集是()A.(2,)BRC.D解析:选C.因为不等式(x2)(2x3)0,解得x2,所以不等式的解集是.2不等式1的解集为()A.B.C(,2)D(,2解析:选B.11000020的解集为x|3x0的解集是()A. B.C. D.解析:选C.由题意得方程ax25xb0的两根分别为3,2,于是则不等式bx25xa0,即为30x25x50,即(3x1)(2x1)0,x.故选C.4若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集,则a的取值范围是()A4,1B4,3C1,3D1,3解析:选B.原不等式为(xa)(x1)0,当a1时,不等式的解集为a,1,此时只要a4即可,即4a1时,不等式的解集为1,a,此时只要a3即可,即1a3.综上可得4a3.5已知aZ,关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的值之和是()A13B18C21D26解析:选C.设f(x)x26xa,其图象为开口向上,对称轴是x3的抛物线,如图所示若关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数,则即解得5x(x2)的解集是_解析:不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集,解得0x2.答案:x|0x27规定符号“”表示一种运算,定义abab(a,b为非负实数),若1k23,则k的取值范围是_解析:因为定义abab(a,b为非负实数),1k23,所以1k23,化为(|k|2)(|k|1)0,所以|k|1,所以1k0在区间1,5上有解,则a的取值范围是_解析:由a280,知方程x2ax20恒有两个不等实数根,又知两根之积为负,所以方程x2ax20必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0,解得a,故a的取值范围为.答案:9求使不等式x2(a6)x93a0,|a|1恒成立的x的取值范围解:将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9,因为f(a)0在|a|1时恒成立,所以(1)若x3,则f(a)0,不符合题意,应舍去(2)若x3,则由一次函数的单调性,可得即解得x4.则实数x的取值范围为(,2)(4,)10已知函数f(x)ax2(b8)xaab,当x(,3)(2,)时,f(x)0.(1)求f(x)在0,1内的值域;(2)若ax2bxc0的解集为R,求实数c的取值范围解:(1)因为当x(,3)(2,)时,f(x)0.所以3,2是方程ax2(b8)xaab0的两根,所以所以a3,b5.所以f(x)3x23x183.因为函数图象关于x对称且抛物线开口向下,所以f(x)在0,1上为减函数,所以f(x)maxf(0)18,f(x)minf(1)12,故f(x)在0,1内的值域为12,18(2)由(1)知不等式ax2bxc0可化为3x25xc0,要使3x25xc0的解集为R,只需b24ac0,即2512c0,所以c,所以实数c的取值范围为.综合题组练1(应用型)若关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1,x2),且x2x115,则a等于()A. B.C. D.解析:选A.由x22ax8a20,得(x2a)(x4a)0,所以不等式的解集为(2a,4a),即x24a,x12a,由x2x115,得4a(2a)15,解得a.2(应用型)已知函数f(x)x2axb2b1(aR,bR),对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立,若当x1,1时,f(x)0恒成立,则b的取值范围是()A(1,0)B(2,)C(,1)(2,)D不能确定解析:选C.由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称,即1,解得a2.又因为f(x)开口向下,所以当x1,1时,f(x)为增函数,所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2,f(x)0恒成立,即b2b20恒成立,解得b1或b2.3在R上定义运算:adbc,若不等式1对xR恒成立,则实数a的最大值为_解析:原不等式等价于x(x1)(a2)(a1)1,即x2x1(a2)(a1)对xR恒成立,因为x2x1,所以(a2)(a1),解得a,所以amax.答案:4对于实数x,当且仅当nxn1(nN*)时,xn,则关于x的不等式4x236x450的解集为_解析:由4x236x450,得x,又当且仅当nxn1(nN*)时,xn,所以x2,3,4,5,6,7,所以所求不等式的解集为2,8)答案:2,8)5设二次函数f(x)ax2bxc,函数F(x)f(x)x的两个零点
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