哈工大自动控制原理第四章习题答案.pdf

第四章习题答案 4.1 系统开环传递函数为 G(s) = 0.5 (0.52+ + 1) 具有三个开环极点 0，1 j，有三条根轨迹。从原点到负无穷的负实轴为一条根轨迹。 渐近线： = 3 ， 5 3 = 2 3 根轨迹在复数开环极点处的出射 角： 1 2 45 ,45 oo pp = = 求根轨迹与虚轴的相交点： 系统的特征方程 32 220sssk+=， 令,sj=得 2 3 20 20 k += += 解得02=及。 从开环极点1 j延两条渐近线发出两条根轨迹。 4.2 系统开环传递函数为 G(s) = (0.25 + 1) (0.5 + 1) 开环极点 0，-2；开环零点-4。实轴 上0,-2和-，-4属于根轨迹。 根轨迹的汇合分离点满足： 0.25s(0.5s + 1) (0.25s + 1)(s + 1) = 0 求 得 汇 合 分 离 点 为 4 22 = 6.828， 1.172 都在根轨迹上。 所以两条根轨迹从两个开环极点 0， -2 出发， 在实轴上汇合到-1.172 处， 然后分离，画圆再汇合到-6.828 处， 再然后一条指向实轴负无穷处，一 条指向开环零点-4。 求汇合分离点-1.172对应的 K， K 应满足 -8-7-6-5-4-3-2-10 -3 -2 -1 0 1 2 3 Root Locus Real Axis Imaginary Axis -4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51 -3 -2 -1 0 1 2 3 0.91 0.82 0.70.560.420.140.28 4 0.560.420.280.14 0.975 0.975 0.82 0.7 33.5 0.91 0.511.522.5 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 1 + G(s)|=1.172= 0 1 + (0.25 1.172 + 1) 1.172(1.172 0.5 + 1) = 0 = 0.688 同理, 汇合分离点-6.828 对应 K 为 1 + (0.25 6.828 + 1) 6.828(6.828 0.5 + 1) = 0 = 23.313 若希望系统无超调，则系统闭环两个极点为一阶实极点位于实轴上。所以 K 的取值范围 是0 0时，在负实轴上从-a 到-1 为根轨迹，根轨迹与负实轴有无交点，取决于根轨迹 汇合分离点在-a 到-1 的负实轴上有几个。 根轨迹汇合分离点满足 G(s)H(s)= 0，即 2( + ) ( + 1)(32+ 2) = 0 s = 0 22+ (3 + ) + 2 = 0 求得 s1= 0 s2,3= (3 + ) (3 + )2 16 4 = (3 + ) ( 9)( 1) 4 1= 0不算负实轴上的点。对于 s2,3 （1）当( 1)( 9) 9 时，根时，根 轨迹与负实轴有两个交点，其他时候无交点。轨迹与负实轴有两个交点，其他时候无交点。 4.5 开环系统 G(s)H(s) = ( + 2) ( + 3)(2+ 2 + 2) 由于本系统为正反馈系统，所以需要按照 0 度根轨迹绘制方法来给定其根轨迹。 系统有三个开环极点： 12 3 3,1;ppj= 、 一个开环零点为： 1 2z = 系统有两条渐近线，渐近线与实轴正向的夹角为： = 2 ，得1 = ,0。 根轨迹在复数开环极点处的出射角： 1 2 71.6 ,71.6 oo pp = = 求根轨迹分离汇合点： ( + 3)(2+ 2 + 2) ( + 2)( + 3)(2+ 2 + 2)= 0 -10-9-8-7-6-5-4-3-2-10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0.94 0.8 0.640.50.380.080.170.28 0.640.50.380.280.080.17 4 0.94 0.8 6 8 2 6 8 2 4 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 23+ 112+ 20 + 10 = 0 1= 0.8026 2,3= 2.3487 0.8447 其中（-0.8026，0）为汇合点。 令,sj=系统的特征方程 1()()0G jH j+= 得 32 5(8)(62 )0ssk sk+= 解得 = 0 = 3。 系统的根轨迹为： 4.6、 G(s)H(s) = ( + 1)2( + 4)2 由于本系统为正反馈系统，所以需要按照 0 度根轨迹绘制方法来给定其根轨迹。 系统有三个开环极点： 1234 1,4;pppp=无零点。 根据规则，整个实轴都是根轨迹。 系 统 有 四 条 渐 近 线 ， 渐 近 线 与 实 轴 正 向 的 夹 角 为 ： = 2 ， 得 1234 0 ,90 ,180 ,270 oooo =。四条渐近线在实轴交于一点：2.5= 。 根据根轨迹分离点和汇合点关系式得可能的汇合点坐标为（-1，0） ， （-4，0） ， （-2.5，0） 。 其中（-2.5，0）是汇合分离点。与渐近线与实轴交点相同。 令,sj=系统的特征方程 1()()0G jH j+= -5-4-3-2-101 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0.920.860.760.580.35 5 0.580.35 0.996 0.984 0.96 0.96 0.860.76 3 0.92 4 0.984 0.996 12 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 得 432 103340(16)0ssssk+= 解得1= 0 及2、3= 2。 由前述计算可知根轨迹除在坐标原点与虚轴相交， 不可能有其他 交点。故 2 3 2= 、 不满足题意要求，舍去。 系统的根轨迹为: 4.7 系统开环传递函数的 标准形式为： 2 (0.5) ( ) (1) (1.75) k s G s ss + = + （其中 k=3.5K） 系 统 有 三 个 开 环 极 点 ： 123 1,1.75;ppp=一个 开环零点为： 1 0.5z = 。 渐近线与实轴正向的夹角为： (21)i nm + = ， 得90o= 。 两条渐近线在实轴交于一点： 0.125=。 得系统的根轨迹为： -7-6-5-4-3-2-1012 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.95 0.910.830.720.540.3 7 0.720.540.3 0.995 0.98 0.98 0.910.83 5 0.95 0.995 64123 Root Locus Real Axis Imaginary Axis -1-0.500.511.52 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.210.130.06 0.9 0.7 0.060.130.21 0.3 0.4 0.54 1 0.5 0.9 0.7 0.3 0.4 0.54 3.5 2.5 2 1.5 3 3.5 3 1 4 0.5 2.5 1.5 2 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 4.8 系统传递函数的标准形式为： (1) ( ) (2) k s G s s s = + 由于本系统原为负反馈系统， 但是经过标准化后为正反馈系统， 所以需要按照 0 度根轨 迹绘制方法来给定其根轨迹。 系统有两个开环极点： 12 0,2;pp=一个开环零点 1 1z =。 系统有一条渐近线，渐近线与实轴正向的夹角为： = 2 ，得 1 0 ; o =两条渐近线在实轴 交于一点： = 3。 根轨迹在实轴上区段为1,) 及0,-2 根据根轨迹分离点和汇合点关系式得分离点和汇合点坐标为（-0.73，0）,(2.73,0)。 令,sj=系统的特征方程 1()()0G jH j+= 得 2 (2)0 0 k k = += 解得 = 2 = 2。 得系统根轨迹为： -2-101234567 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0.8 0.620.35 0.997 0.350.62 0.8 0.88 0.935 0.968 0.986 0.75 0.5 0.25 0.88 0.935 0.968 0.986 0.997 1.5 1.25 1 1.5 1.75 1.75 0.25 0.5 0.75 1 1.25 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 4.9、系统开环传递函数： () = 1 4( + ) 2( + 1) 由于本系统为单位负反馈系统，求得系统的特征方程为： 2 1 (1)()0 4 sssa+= 以 a 为参变量整理成标准形式为： 2 1 4 1 1 () 4 a s ss = + + 系统有三个开环极点： 12 1 0,; 2 pp= 、3 无开环零点。 系统有三条渐近线， 渐近线与实轴 正向的夹角为： = (2+1) ， 得 123 60 ,60 ,180 ; ooo = =三条渐近线在实轴交于一点： 1 3 = 。 根据根轨迹分离点和汇合点关系式得分离点坐标为（-1 6，0） 。 令,sj=特征方程 1()()0G jH j+= 3 2 1 0 4 1 a0 4 += += 解得 12 3 1 0 2 = 、 ，。得系统根轨迹为： -1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0.88 0.76 0.620.480.360.120.24 1.6 0.480.360.240.12 0.97 0.97 0.76 0.62 1.21.4 0.88 0.20.40.60.81 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 4.10 系统开环传递函数： () = ( + 1) 2+ + 10 负反馈控制系统，有开环极点139 2 ，开环零点-1。 汇合分离点为（1 10，0） 4.11 系统开环传函化为标准形式 2 (1) ( ) (10) k s G s ss + = + （k=10K） 系统有三个开环极点： 12 10,0;pp= 、3 无开环零点。 系统有两条渐近线，渐近线与实轴正向的夹角得 12 90 ,90 ; oo = 。 两条渐近线在实轴交于一点：4.5= 。 根据根轨迹分离点和汇合点关系式得分离点和汇合点坐标为（-2.5，0）,(-4,0)。 得根轨迹如下： -4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 4.12 系统开环传函 G(s)H(s) = ( + 4)( + 40) 3( + 200)( + 900) 系统有 5 个开环极点：0,0,0,-200,-900；2 个开环零点-4，-40。 系统有三条渐近线，渐近线与实轴正向的夹角得60，180 渐近线与实轴交点为-352 汇合分离点G(s)H(s)= 0 得-634.3，-5.87，75.9500 44.3012j,0,0;其中只有零可能 实轴上的根轨迹（ ， 900）， （-200，-40） （-4，0）三条，还有两条从开环极点 0， 0 出发逼近渐近线。 -10-9-8-7-6-5-4-3-2-10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0.94 0.8 0.640.50.380.080.170.28 10 0.640.50.380.280.080.17 4 0.94 0.8 6 8 2 6 8 2 4 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 完整的根轨迹 零点附近根轨迹放大图 4.13（1）H(s) = 1时的开环传函为 G(s)H(s) = (2+ + 1) 系统有三个开环极点：0，13 2 ,无开环零点。 系统有三条渐近线，渐近线与实轴正向的夹角得60,180; 渐近线在实轴交于一点-1/3 汇合分离点公式得到28 6 ，不可能是汇合分离点 -1200 -1000-800-600-400-20002004006008001000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 Root Locus Real Axis Imaginary Axis -10-50510 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 根轨迹与虚轴交点为j,此时 K=1，也即闭环系统在0 K 1 9 4.21 解(1)：可知该根轨迹为参数根轨迹 该系统的闭环传递函数为 () = () 1+() = 1 2+1 特征方程 () = 2+ + 1 = 0 -6-5-4-3-2-10 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 与()等效的单位负反馈开环传递函数为 () = 2+1 因此()的根轨迹可以等效为()的根轨迹 = (1,0,1,0,1); (); ; 得到关于的根轨迹图如下： （2）由 = ( /1 2) 16.3%可以得到阻尼系数 0.5 由= 4 5可以得到 0.8 由() = () 1+() = 1 2+1可知 2 = = 1 由于该系统为 I 型系统, 所以在单位斜坡输入下稳态误差 = 0 1 () = 可知要稳态误差小即要求小，故 = 2 2 0.8 = 1.6, 因此 = 1.6 4.22 负反馈系统开环传递函数为 G(s)H(s) = (+ ) 2( + 10) 解： （1） 当 = 10时， 首先按动态指标来计算闭环主导极点的位置。 根据 = 16%和= 4， 求出闭环系统 = 0.5，= 1, 主导极点的位置为= 1 2= 1 3。 可 以验证：原系统的根轨迹不通过该主导极点。 -1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.120.240.380.50.640.76 0.88 0.97 0.120.240.380.50.640.76 0.88 0.97 0.20.40.60.811.21.4 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 为使成为根轨迹上的点，由式 4.7.5（见教材）可知 PD 校正应产生相角 =( ) = (2 + 1) + 3 =1 ( ) = 71 对于 PD 校正，应有( ) = 71 (1 + j3 )的相角为71 tg( 71 180 ) = 3 1 得出 PD 校正零点= 1.6。 根据根轨迹的幅值条件，若闭环极点在，应有 = 19.7。校正后的系统 = 10，所 以得出= 1.97；又因为 PD 校正的零点为 = 1.6，所以= 1.97 1.6 = 3.15。 （2） 当= 3.15，= 1.97时开环传递函数 () = (1.97+3.15) 2（+10） = (1.97,3.15,1,10,0,0); (); ; 得到如下关于的根轨迹图 4.23 (1)当() = 时，系统开环传递函