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第六章 分期净保费与毛保费,净保费(Net Premium) 附加保费(Loading) 毛保费(Gross Premium),精算平衡原理： 保费收入现金流 保险给付支出现金流 L-签单时保险人损失现值随机变量。 L=签单时未来保险给付现值变量- 签单时净保费收入现值随机变量 EL=0,模型形式： 全连续型 全离散型 半连续型,6.1 全连续型寿险的净保费,模型假设： （x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费，每年缴费额相同。（给付连续型，缴费连续型）,各种寿险形式的年缴净保费与方差,设年缴费额为 ，若死亡在时刻t，则签单时损失现值,1 全连续型终身寿险,损失变量： 精算平衡原理： 方差：,例4.2 设死力为常数 ，利力为常数 ， 试计算 和 。,解：,2 一般形式的全连续型模型,保险给付的精算现值,净保费收入的精算现值,年缴净保费=,由精算平衡原理，得,全连续型年缴净保费（全期缴费与限期缴费）,练习：全连续n年期两全保险的保险人损失现值 随机变量L,表达出L的表达式，并写出其方差表 示式。,注：,3 分期净保费的两个推导公式,同理：,4 其他的确定保费方法,例 某保险公司计划发行一种人寿保单，已知0岁人 的取整余命K的概率密度函数为：,该保险公司在被保险人死亡的年末支付1单位保险金，保费 在被保险人活着的每年初支付。年利率5%，根据以下原则 确定应向0岁人收取的年保费： 原则1：P使得保单签发时的损失现值的期望为0； 原则2：P为使得损失为正的概率不超过25%的最低额。,分析：,（1）原则1下，精算平衡原理,从而有,（2）l(j)随j增加而减小，原则2相当于满足l(2)=0时成立，这时 只有l(1)为正，且P最小。,故,上述结果的表示：,6.2 全离散型寿险的净保费,模型：（x）死亡年末给付1单位终身寿险，被保险人从保单生效起按年期初缴费。（给付离散，缴费也离散）,1 用精算等价原理确定年缴净保费,L：签单时损失变量,例4.4 设,解：,2 各种全离散寿险模型的年金净保费,练习 对全离散n年期两全保险，损失变量L， 写出其方差表达式。,例4.6 保额为10000元的全离散型终身寿险，用p 表示该保单的年缴保费，L(p)表示签发时损失现值 变量，投保年龄25岁。且有下式成立：,(1)求保费pa，使得L(pa)的均值为0，并求L(pa)的 方差; (2)求使损失L(pb)为正的概率小于0.5的最低保费pb 的近似值，并求L(pb)的方差； (3)用正态近似决定保费pc，使100份这种相互独立 保单的总损失为正的概率等于0.05。,解： (1)由精算等价原理,查生命表，知,(2) pb满足下式,从而，知道K=53时,则满足,(3)一张保单的损失、期望、方差如下：,对100份保单，总损失、总损失的期望、方差分别为：,由正态近似，,对应正态分位数1.645,于是，解出,例4.7 证明并解释公式：,证明：下列结论成立,上两式相减，得,注：两个年缴保费的差相当于保额为 的 生存保险的年缴净保费。,3 半连续型寿险的净保费,年缴净保费符号：,计算方法： 使用UDD假设，与对应全离散模型建立联系。,如,半连续年缴净保费表,4 换算函数计算年缴净保费的例题,例4.8 考虑(x)购买的缴费期为15年的保额为1单位的 终身寿险，设第二个5年的年保费为第一个5年的年 保费的2倍，最后5年的年保费较第二个5年的年保费 多10个单位。用换算函数表示初始年保费。,解：设初始年保费为P，则第二个5年的年保费为2P，最后 5年的年保费为2P+10。由精算平衡原理，P满足：,从而，,例4.9 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，利率6%。 试根据附录中的生命表计算下列保费：,解：UDD下，有,6.3 每年缴纳数次的净保费,年缴m次的年净保费：每一个保单年度内，保费分 m次缴付，且死亡给付不做调整。,如年缴m次的死亡年末给付1单位的终身寿险：,模型分析,说明：年缴一次与年缴m次的关系,6.4 毛保费费率的确定,1 厘定毛保费的原则 精算平衡原理,毛保费精算现值 = 净保费精算现值 + 附加费用的 精算现值 = 各种给付的精算现值 + 各种费用 支出的精算现值,费用：税金、许可证、保单销售费用、合同成立 后的维护费用、投资费用等,说明：保险业经营中，区分投资和承保，费用也相应区分,2 费用的分类与分配,费用： 与保费相关； 与保额相关； 与保费、保额关系不大，但与保单数目有关。 说明： 费用分类和分配是控制保险系统运营的重要管理工具 精算定价时对费用进行分配，分配方法不同公司 方法不同； 保费确定时考虑费用采取前瞻法，即预期发生的费用。,未来保险费用的分配,例4.11 对(x)购买的保额为20000元的半连续型终身 寿险保单，按上表所列费用，试根据精算平衡原理 计算毛保费。,解：由精算平衡原理，使用精算现值，同时理赔费 用与给付同时发生，得到下式,例4.12对（25）购买的保险金额为10万元的40年两 全保险保单，该保单的第一年费用为100元加上毛 保费的25%，续年的费用为25元加上毛保费的10%。 发生死亡给付时的理赔费用为100元，生存给付时 不发生理赔费用。求净保费与毛保费。已知,解：,3 保单费用与保单费,保单费用：有一部分附加费用只与保单数目有关， 与保险金额或保险费无关，这部分费用称为保单 费用，如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费 通知的费用等。 保单费：确定费率时加载在保费上的数额。,毛保费可分为三部分：,第一部分：跟保险金额相关部分，如净保费、承保费用等,第三部分：跟保费数额相关部分。如代理人佣金、保险费税金等,第二部分：每份保单的费用（保单费用）。如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知单等,毛保费构成分析,G(b)：保险金额为b千元的毛保费 ab：保费中与保险金额相关的部分，其中净保费是它的主要部分 c：每份保单分摊的费用，与保额或保费大小无关。 f：与毛保费数额相关的费用在毛保费中所占比例。,保费构成与费率的解释,毛保费构成公式,确定费率方法： 分级费率法 保单费附加法,费率函数的定义 ：,分级费率法：,保单根据保额分成若干等级， 等级内根据保额分布求出保额均值， 根据平均保额计算该等级内保单适用的费率。,例 趸缴保费寿险保单，保费组成,保单的分级和各等级内平均保额如下表：,若