2014高考百天仿真冲刺卷（理科数学试卷六）

第 1 页 共 9 页 开始 是 否 i 输出 S 结束 2iSS 1ii 1, 1Si 2014 高考百天仿真冲刺卷 数 学 (理 ) 试 卷 （ 六 ） 第 卷 （ 选择题 共 40分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1. 已知集合 5 A x x Z ， 2 0B x x ，则 AB等于 （ A） (2,5) （ B） 2,5) （ C） 2, 3, 4 （ D） 3,4,5 2下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 （ A） 2xy （ B） 2y x x （ C） 2yx （ D） 3yx 3. 设 3log 2a ， 3log 4b ， 5.0c ，则 （ A） abc （ B） b c a （ C） cab （ D） bac 4设向量 (1, sin )a ， (3 sin ,1 )b ，且 /ab，则 cos2 等于 （ A）3 （ B）3 （ C）3 （ D）3 5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为 31，则处应填的数字为 （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 6.已知函数 xxy cossin ， xxy cossin22 ，则下列结论正确的是 （ A）两个函数的图象均关于点 ( ,0)4成中心对称 （ B）两个函数的图象均关于直线4x 成中心对称 （ C）两个函数在区间 ( , )44上都是单调递增函数 （ D）两个 函数的最小正周期相同 7已知曲线 1: ( 0 )C y xx及两点11( ,0)Ax和22( ,0)Ax，其中210xx.过1A，2A分别作 x 轴的垂线，交曲线 C 于1B，2B两点，直线12BB与 x 轴交于点33( ,0)Ax，那么 （ A） 312,2xxx成等差数列 （ B） 312,2xxx成等比数列 （ C）1 3 2,x x x成等差数列 （ D）1 3 2,x x x成等比数列 8如图，四面体 OABC 的三条棱 OCOBOA , 两两垂直， 2 OBOA , 3OC ， D 为四面体 OABC 外一点 .给出下列命题 . 不存在点 D ,使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形 不存在点 D ,使四面体 ABCD 是正三棱锥 存在点 D ,使 CD 与 AB 垂直并且相等 存在无数个点 D ,使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号 是 （ A） （ B） （ C） （ D） O A B D C 第 2 页 共 9 页 第 卷（非选择题 共 110分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 . 9. 在复平面内，复数 2i1i对应的点到原点的距离为 _. 10.如图，从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC ，已知 22PA ，4PC ，圆心 O 到 BC 的距离为 3 ，则圆 O 的半径为 _. 11.已知椭圆 :C c o s , ()2 s i nxy R经过点 1( , )2m，则 m _，离心率e _. 12.一个棱 锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为 _. 13.某展室有 9个展台，现有 3 件展品需要展出，要求每件展品独自占用 1 个展台，并且 3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有 _种；如果进一步要求 3 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有 _种 . 14.已知数列 na的各项均为正整数，对于 ,3,2,1n ，有 113 5 ,2nnn nnnk kaaa a aa 为 奇 数为 偶 数 . 其 中 为 使 为 奇 数 的 正 整 数，,当1 11a 时，100a _； 若存在 *mN ，当 nm 且na为奇数时，na恒为常数 p ，则 p 的值为 _. 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明 过程 . 15.（本小题满分 13分） 设 ABC 中的内角 A ， B ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，且54cos B, 2b . （）当35a时，求角 A 的度数；（）求 ABC 面积的最大值 . 16（本小题满分 13分） 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 11,23p.且他们是否破译出密码互不影响 .若三人中只有甲破译出密码的概率为 14. （）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （）求 p 的值； （）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 EX . P A B C O 正 (主 )视图 俯视 图 侧 (左 )视图 3 4 4 3 3 3 第 3 页 共 9 页 17.（本小题满分 13分） 如图 , ABCD 是边长为 3 的正方形， DE 平面 ABCD ， DEAF / ，AFDE 3 ， BE 与平面 ABCD 所成角为 060 . ( )求证： AC 平面 BDE ； ( )求二面角 DBEF 的余弦值； （）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 /AM平面 BEF ，并证明你的结论 . 18. （本小题满分 14 分） 已知函数2( 1)() axfx x ，其中 0a . （）求函数 ()fx的单调区间； （）若直线 10xy 是曲线 ()y f x 的切线，求实数 a 的值； （）设 2( ) l n ( )g x x x x f x，求 ()gx 在区间 1,e 上的最大值 . （其中 e 为自然对数的底数） A B C D F E 第 4 页 共 9 页 19. （本小题满分 14 分） 已知 抛物线 2 2 ( 0 )y p x p的焦点为 F ，过 F 的直线交 y 轴正半轴于点 P ，交抛物线于 ,AB两点，其中点 A 在第一象限 . （）求证：以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切； （）若1FA AP,2BF FA,1211 , 42 ，求 2 的取值范围 . 20.（本小题满分 13分） 定义 ),(21 naaa 1 2 2 3 1| | | | | |nna a a a a a 为有限项数列 na的波动强度 . （）当 ( 1)nna 时，求1 2 1 0 0( , , , )a a a； （）若数列 , , ,a b c d 满足 ( ) ( ) 0a b b c ，求证： ( , , , ) ( , , , )a b c d a c b d ； （）设 na各项均不相等，且交换数列 na中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列 na一定是递增数列或递减数列 . 2013 高考百天仿真冲刺卷 数学 (理 )试卷（ 六 ）参考答案 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D B C A D 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 . 第 5 页 共 9 页 9. 2 10. 2 11. 415， 32 12. 12 13. 60 ， 48 14.62 ； 1 或 5 注： 11 题， 13题， 14 题第一问 2分，第二问 3分 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分 .若考生的解法与本解 答不同，正确者可参照评分标准给分 . 15.（本小题满分 13分） 解：（）因为54cos B，所以53sin B. 2分 因为35a， 2b ，由正弦定理BbAa sinsin 可得21sin A. 4分 因为 ba ，所以 A 是锐角， 所以 o30A . 6分 （）因为 ABC 的面积 acBacS103s in21 ， 7分 所以当 ac 最大时， ABC 的面积最大 . 因为 Baccab c o s2222 ，所以 acca584 22 . 9分 因为 222a c ac ，所以 8245a c a c， 11 分 所以 10ac ，（当 10ac 时等号成立） 12分 所以 ABC 面积的最大值为 3 . 13分 16.（本小题满分 13分） 解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321 , AAA，依题意有 1 2 311( ) , ( ) , ( ) ,23P A P A P A p 且321 , AAA相互独立 . （）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为 121 ( )P A A 1 2 21 2 3 3 . 3分 （）设“三人中只有甲破译出密码”为事件 B ，则 有 ()PB 1 2 3()P A A A 1 2 1(1 )2 3 3 pp ， 5分 所以 1134p ， 14p. 7分 （） X 的所有可能取值为 3,2,1,0 . 8分 所以 1( 0 )4PX， ( 1)PXP 1 2 3()A A A P 1 2 3()A A A P 1 2 3()A A A 1 1 1 3 1 2 1 1 14 2 3 4 2 3 4 2 4 ， ( 2)PXP 1 2 3()A A A P 1 2 3()A A A P 1 2 3()A A A 1 1 3 1 2 1 1 1 1 12 3 4 2 3 4 2 3 4 4 ， 第 6 页 共 9 页 ( 3)PX =P 1 2 3()A A A 1 1 1 12 3 4 2 4 . 11 分 X 分布列为： X 0 1 2 3 P 14 1124 14 124 12 分 所以， 1 1 1 1 1 1 3( ) 0 1 2 34 2 4 4 2 4 1 2EX . 13分 17.（本小题满分 13分） ( )证明： 因为 DE 平面 ABCD ， 所以 ACDE . 2分 因为 ABCD 是正方形， 所以 BDAC ， 从而 AC 平面 BDE . 4分 ( )解：因为 DEDCDA , 两两垂直， 所以建立空间直角坐标系 xyzD 如图所示 . 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 060 ，即 60D BE， 5分 所以 3DBED. 由 3AD 可知 36DE ， 6AF . 6 分 则 (3,0,0)A ， (3, 0, 6)F ， (0, 0, 3 6 )E ， (3,3,0)B ， (0,3,0)C ， 所以 ( 0 , 3 , 6 )BF ， ( 3 , 0 , 2 6 )EF ， 7分 设平面 BEF 的法向量为 n ( , , )x y z ，则 00BFEF nn，即 3 6 03 2 6 0yzxz ， 令 6z ，则 n (4, 2, 6) . 8分 因为 AC 平面 BDE ，所以 CA 为平面 BDE 的法向量， (3, 3, 0 )CA ， 所以 6 1 3c o s ,133 2 2 6CACACA nnn. 9分 因为二面角为锐角，所以二面角 DBEF 的余弦值为1313. 10分 ( )解：点 M 是线段 BD 上一个动点，设 ( , ,0)M t t . 则 ( 3 , , 0 )A M t t ， 因为 /AM 平面 BEF ， 所以 AMn 0 ， 11分 即 4 ( 3 ) 2 0tt ，解得 2t . 12 分 此时，点 M 坐标为 (2,2,0) ， 13BM BD，符合题意 . 13 分 18. （本小题满分 14 分） 解：（）3( 2 )() axfx x ，（ 0x ）， 3分 在区间 ( ,0) 和 (2, ) 上， ( ) 0fx ；在区间 (0,2) 上， ( ) 0fx . y B C A E z D F x M 第 7 页 共 9 页 所以， ()fx的单调递减区间是 ( ,0) 和 (2, ) ，单调递增区间是 (0,2) . 4分 （）设切点坐标为00( , )xy，则00 2000030( 1)10( 2 )1axyxxyaxx 7分（ 1个方程 1分） 解得0 1x ， 1a . 8分 （） ()gx ln ( 1)x x a x， 则 ( ) l n 1g x x a ， 9分 解 ( ) 0gx ，得 1eax ， 所以，在区间 1(0, e )a 上， ()gx 为递减函数， 在区间 1(e , )a 上， ()gx 为递增函数 . 10分 当 1e1a ，即 01a时，在区间 1,e 上， ()gx 为递增函数， 所以 ()gx 最大值为 ( e ) e eg a a . 11 分 当 1eea ，即 2a 时，在区间 1,e 上， ()gx 为递减函数， 所以 ()gx 最大值为 (1) 0g . 12分 当 11 e ea ，即 12a时， ()gx 的最大值为 (e)g 和 (1)g 中较大者； ( e ) ( 1 ) e e 0g g a a ，解得 ee1a ， 所以， e1e1a时， ()gx 最大值为 ( e ) e eg a a ， 13 分 e 2e1a 时， ()gx 最大值为 (1) 0g . 14 分 综上所述，当 e0e1a时， ()gx 最大值为 ( e ) e eg a a ，当 ee1a 时， ()gx 的最大值为(1) 0g . 19. （本小题满分 14 分） 解：（）由已知 ( ,0)2pF,设11( , )A x y，则 2112y px， 圆心坐标为112( , )42x p y，圆心到 y 轴的距离为12 4xp， 2分 圆的半径为 1121 ()2 2 2 4FA xppx ， 4分 所以，以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切 . 5分 （）解法一：设0 2 2( 0 , ) , ( , )P y B x y，由1FA AP,2BF FA,得 1 1 1 1 0 1( , ) ( , )2px y x y y ，2 2 2 1 1( , ) ( , )22ppx y x y ， 6分 所以1 1 1 1 1 0 1, ( )2px x y y y ， 2 2 1 2 2 1( ) ,22ppx x y y ， 8分 由2 2 1yy，得 2 2 22 2 1yy. 第 8 页 共 9 页 又 2112y px， 2222y px， 所以 22 2 1xx. 10 分 代入2 2 1()22ppxx ，得 22 1 2 1()22ppxx ，2 1 2 2(1 ) (1 )2p x ， 整理得1 22px ， 12 分 代入1 1 12pxx ，得1222 2 2ppp ， 所以1221 1 ， 13分 因为1211 , 42 ，所以 2 的取值范围是 4 ,23 . 14分 解法二：设 ),(),( 2211 yxByxA ， :2pA B x m y， 将2px my代入 2 2y px ，得 2220y p m y p ， 所以 212y y p（ *）， 6分 由1FA AP，2BF FA，得 1 1 1 1 0 1( , ) ( , )2px y x y y ，2 2 2 1 1( , ) ( , )22ppx y x y ， 7分 所以，1 1 1 1 1 0 1, ( )2px x y y y ， 2 2 1 2 2 1( ) ,22ppx x y y ， 8分 将 122 yy 代入（ *）式，得 221 2py， 10分 所以 21 22ppx，1 22px . 12分 代入1 1 12pxx ，得1221 1 . 13分 因为1211 , 42 ，所以 2 的取值范围是 4 ,23 . 14分 20（本小题满分 13分） （）解：1 2 1 0 0 1 2 2 3 9 9 1 0 0( , , , ) | | | | | |a a a a a a a a a 1分 2 2 2 2 9 9 1 9 8 . 3分 （）证明：因为 ( , , , ) | | | | | |a b c d a b b c c d ， ( , , , ) | | | | | |a c b d a c c b b d ， 所以 ( , , , ) ( , , , ) | | | | | | | |a b c d a c b d a b c d a c b d . 4分 因为 ( ) ( ) 0a b b c ，所以 abc ，或 abc . 若 abc ，则 ( , , , ) ( , , , ) | | | |a b c d a c b d a b c d a c b d | | | |c b c d b d 当 b c d 时，上式 ( ) 2 ( ) 0c b c d b d c b ， 当 b d c时，上式 ( ) 2 ( ) 0c b d c b d d b ， 当 d b c 时，上式 ( ) 0c b d c d b ， 第 9 页 共 9 页 即当 abc 时， ( , , , ) ( , , , ) 0a b c d a c b d. 6分 若 abc ， 则 ( ,