2014高考百天仿真冲刺卷（理科数学试卷七）

第 1 页 共 10 页 2014 高考百天仿真冲刺卷 数 学 (理 ) 试 卷 （ 七 ） 第 卷 （ 选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1.已知集合 0,1A ， 1, 0 , 3Ba ， 且 AB ，则 a 等于 （ A） 1 （ B） 0 （ C） 2 （ D） 3 2.已知 i 是虚数单位，则复数 23z i+ 2 i 3i所对应的点落在 （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 3.在 ABC 中，“ 0AB BC”是“ ABC 为钝角三角形”的 （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分又不必要条件 4.已知六棱锥 P A B C D E F 的底面是正六边形， PA 平面 ABC .则下列结论 不正确 的是 （ A） /CD 平面 PAF （ B） DF 平面 PAF （ C） /CF 平面 PAB （ D） CF 平面 PAD 5.双曲线 221xyab的渐近线与圆 22( 2 ) 1xy 相切，则双曲线离心率为 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 3 6.函数 s i n ( ) ( 0 )yx 的部分图象如图所示，设 P 是图象的最高点， ,AB是图象与 x 轴的交点，则 tan APB （ A） 10 （ B） 8 （ C） 87 （ D） 47 第 4 题图 第 6 题图 7已知数列 na的通项公式为 13nan，那么满足1 1 9 102k k ka a a 的整数 k （ A） 有 3 个 （ B） 有 2 个 （ C）有 1 个 （ D）不存在 8设点 (1,0)A ， (2,1)B ，如果直线 1ax by与线段 AB 有一个公共点，那么 22ab （ A）最小值为 15 （ B）最小值为 55 （ C）最大值为 15 （ D）最大值为 55 第 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9 在 ABC 中， 若 2BA ， : 1: 3ab ，则 A _. 10.在 521()xx 的展开式中， 2x 的系数是 _. 11如图， AB 是圆 O 的直径， P 在 AB 的延长线上， PD 切圆 O 于点 C .已知圆 O 半径为 3 ， 2OP ，则 O A B P D C x A B P y O 第 2 页 共 10 页 PC _； ACD 的大小为 _. 12.在极坐标系中，点 (2, )2A 关于直线 : cos 1l 的对称点的一个极坐标为_. 13定义某种运算 ， ab 的运算原理如右图所示 . 设 ( ) ( 0 ) ( 2 )f x x x x . 则 (2)f _； ()fx 在区间 2,2 上的最小值为 _. 14.数列 na满足1 1a，1 1nnnaan ，其中 R ， 12n ， ， 当 0 时，20a _； 若存在正整数 m ，当 nm 时总有 0na ，则 的取值范围是 _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 c o s 2()s i n ( )4xfxx . （）求函数 ()fx 的定义域； （）若 4()3fx，求 sin2x 的值 . 16.（本小题满分 13 分） 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 6 ， 60BAD, A C B D O .将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 32BD ，得到三棱锥 B ACD . （）若点 M 是棱 BC 的中点， 求证 : /OM 平面 ABD ； （） 求二面角 A BD O的余弦值； （）设点 N 是线段 BD 上一个动点，试确定 N 点的位置，使得 42CN ，并证明你的结论 . M ab 开始 输入 ,ab 否 结束 Sb Sa 输出 S 是 第 3 页 共 10 页 17.（本小题满分 13 分） 甲班有 2 名男乒乓球选手和 3 名女乒乓球选手，乙班有 3 名男乒乓球选手和 1 名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选 2 名选手参加体育交流活动 . （）求选出的 4 名选手均为男选手的概率 . （）记 X 为选出的 4 名选手中女选手的人数，求 X 的分布列和期望 . 18.（本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) (1 ) e ( 0 )xaf x xx ，其中 e 为自然对数的底数 . （）当 2a 时，求曲线 ()y f x 在 (1, (1)f 处的切线与坐标轴围成的面积； （）若函数 ()fx 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为 5e ，求 a 的值 . 第 4 页 共 10 页 19.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 22:1xyMab( 0)ab的离心率为 223，且椭圆上一点与 椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 246 （）求椭圆 M 的方程； （）设直线 l 与椭圆 M 交于 ,AB两点，且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C ， 求 ABC 面积的最大值 20.（本小题满分 13 分） 若mAAA , 21 为集合 2(,2,1 nnA 且 )n *N 的子集，且满足两个条件： 12 mA A A A； 对任意的 Ayx , ，至少存在一个 ,3,2,1 mi ，使 , xyxAi 或 y . 则称集合组mAAA , 21 具有性质 P . 如图，作 n 行 m 列数表，定义数表中的第 k 行第 l 列的数为)(0)(1llkl AkAka . （）当 4n 时，判断下列两个集合组是否具有性质 P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由； 集合组 1：1 2 3 1 , 3 , 2 , 3 , 4 A A A ； 集合组 2：1 2 3 2 , 3 , 4 , 2 , 3 , 1 , 4 A A A . （）当 7n 时，若集合组1 2 3,A A A具有性质 P ，请先画出所对应的 7 行 3 列的一个数表，再依此表格分别写出集合1 2 3,A A A； （ ）当 100n 时，集合组12, , , tA A A是具有性质 P 且所含集合个数最小的集合组，求 t 的值及12| | | | | |tA A A的最小值 .（其中 |iA表示集合iA所含元素的个数） 11a 12a ma1 21a 22a ma2 1na 2na nma 第 5 页 共 10 页 2013 高考 百天仿真冲刺卷 数学 (理 )试卷（ 七 ）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D C B B A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9. 30 10. 5 11.1 ； 75 12.(2 2, )4（或其它等价写法） 13. 2 ； 6 14.120； ( 2 1, 2 ) ,k k k*N. 注： 11、 13、 14 题第一问 2 分，第二问 3 分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分 . 15.（本小题满分 13 分） 解：（）由题意， sin ( ) 04x ， 2 分 所以 ()4x k k Z， 3 分 第 6 页 共 10 页 所以 ()4x k k Z， 4 分 函数 ()fx 的定义域为 xx ,4kk Z. 5 分 （） c o s 2 c o s 2()s i n ( ) s i n c o s c o s s i n4 4 4xxfxx x x 7 分 2 co s 2sin co sxxx 8 分 222 ( c o s s i n ) 2 ( c o s s i n )s i n c o sxx xxxx . 10 分 因为 4()3fx，所以 22c o s s i n3xx. 11 分 所以， 2s i n 2 1 ( c o s s i n )x x x 12 分 811 99 . 13 分 16.（本小题满分 13 分） （） 证明：因为点 O 是 菱形 ABCD 的对角线的交点， 所以 O 是 AC 的中点 .又点 M 是棱 BC 的中点， 所以 OM 是 ABC 的中位线， /OM AB . 1 分 因为 OM 平面 ABD , AB 平面 ABD , 所以 /OM 平面 ABD . 3 分 （）解：由题意， 3O B O D， 因为 32BD ， 所以 90BO D， OB OD . 4 分 又因为菱形 ABCD ，所以 OB AC ， OD AC . 建立空间直角坐标系 O xyz ，如图所示 . ( 3 3 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) ,AD( ,0,3)B . 所以 ( 3 3 , 0 , 3 ) , ( 3 3 , 3 , 0 ) ,A B A D 6 分 设平面 ABD 的法向量为 n ( , , )x y z ， 则有 0,0ABAD nn即： 3 3 3 0 ,3 3 3 0xzxy 令 1x ，则 3 , 3yz，所以 n (1, 3, 3) . 7 分 因为 ,A C O B A C O D,所以 AC 平面 BOD . 平面 BOD 的法向量与 AC 平行， 所以平面 BOD 的法向量为0 (1, 0, 0)n. 8 分 00017c o s ,717 nnnnnn， 因为二面角 A BD O是锐角， A B C O D x y z M 第 7 页 共 10 页 所以二面角 A BD O的余弦值为 77. 9 分 （）解：因为 N 是线段 BD 上一个动点，设1 1 1( , , )N x y z， BN BD ， 则1 1 1( , , 3 ) ( 0 , 3 , 3 )x y z ， 所以1 1 10 , 3 , 3 3x y z ， 10 分 则 ( 0 , 3 , 3 3 )N ， ( 3 3 , 3 , 3 3 )CN ， 由 42CN 得 222 7 9 ( 3 3 ) 4 2 ，即 29 9 2 0 ， 11 分 解得 13或 23， 12 分 所以 N 点的坐标为 (0,2,1) 或 (0,1,2) . 13 分 （也可以答是线段 BD 的三等分点， 2BN ND 或 2BN ND ） 17.（本小题满分 13 分） 解：（）事件 A 表示“选出的 4 名选手均为男选手” .由题意知 232254()CPACC 3 分 1 1 11 0 2 2 0 . 5 分 （） X 的可能取值为 0,1,2,3 . 6 分 23225431( 0 )1 0 6 2 0CPXCC ， 7 分 1 1 2 12 3 3 322542 3 3 3 7( 1 )1 0 6 2 0C C C CPXCC ， 9 分 213322543 3 3( 3 )1 0 6 2 0CCPXCC ， 10 分 ( 2 ) 1 ( 0 ) ( 1 ) ( 3 )P X P X P X P X 920 . 11 分 X 的分布列： X 0 1 2 3 P 120 720 920 320 12 分 1 7 9 3 1 7( ) 0 1 2 32 0 2 0 2 0 2 0 1 0EX . 13 分 18、 （本小题满分 14 分） 解：（） 22( ) e xx a x afx x ， 3 分 当 2a 时， 2222( ) e xxxfx x ， 121 2 2(1 ) e e1f ， (1) ef ， 所以曲线 ()y f x 在 (1, (1)f 处的切线方程为 e 2eyx ， 5 分 切线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为 (2,0) ， (0, 2e) ， 6 分 第 8 页 共 10 页 所以，所求面积为 1 2 2 e 2 e2 . 7 分 （）因为函数 ()fx 存在一个极大值点和一个极小值点， 所以，方 程 2 0x a x a 在 (0, ) 内存在两个不等实根， 8 分 则 2 4 0 ,0.aaa 9 分 所以 4a . 10 分 设12,xx为函数 ()fx 的极大值点和极小值点， 则12x x a，12x x a， 11 分 因为， 512( ) ( ) ef x f x ， 所以，12 512e e exxx a x axx， 12 分 即122 51 2 1 212() eexxx x a x x axx ， 22 5eeaa aa ， 5eea ， 解得， 5a ，此时 ()fx 有两个极值点， 所以 5a . 14 分 19.（本小题满 分 14 分） 解：（）因为椭圆 M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 246 ， 所以 24622 ca ， 1 分 又椭圆的离心率为 223，即 223ca ，所以 223ca， 2 分 所以 3a ， 22c . 4 分 所以 1b ，椭圆 M 的方程为 19 22 yx . 5 分 （）方法一：不妨设 BC 的方程 ( 3 ) , ( 0 )y n x n ，则 AC 的方程为 )3(1 xny. 由 22( 3),19y n xx y 得 0196)91( 2222 nxnxn， 6 分 设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ， 因为 22 28 1 93 91nx n ，所以 19 327222 nnx ， 7 分 同理可得221 9327 n nx ， 8 分 所以19 61| 22 nnBC，222961|nnnnAC ， 10 分 964)1()1(2|212 nnnnACBCSABC， 12 分 设 21 nnt， 第 9 页 共 10 页 则22 2 36 4 6 4 899tStt t ， 13 分 当且仅当38t时取等号， 所以 ABC 面积的最大值为83. 14 分 方法二：不妨设直线 AB 的方程 x ky m. 由 22,1,9x ky mx y 消去 x 得 2 2 2( 9 ) 2 9 0k y k m y m ， 6 分 设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ， 则有12 22 9kmyy k ， 212 299myy k . 7 分 因为以 AB 为直径的圆过点 C ，所以 0CA CB. 由 1 1 2 2( 3 , ) , ( 3 , )C A x y C B x y ， 得 1 2 1 2( 3 ) ( 3 ) 0x x y y . 8 分 将1 1 2 2,x k y m x k y m 代入上式， 得 221 2 1 2( 1 ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) 0k y y k m y y m . 将 代入上式 ，解得 125m或 3m （舍） . 10 分 所以 125m（此时直线 AB 经过定点 12( ,0)5D，与椭圆有两个交点）， 所以121 | | | |2ABCS D C y y 221 2 1 2 221 3 9 2 5 ( 9 ) 1 4 4( ) 42 5 5 2 5 ( 9 )ky y y yk . 12 分 设211,099ttk ， 则 29 1 4 45 2 5ABCS t t . 所以当 2 5 1( 0 , 2 8 8 9t 时，ABCS取得最大值83. 14 分 20.（本小题满分 13 分） （）解：集合组 1 具有性质 P . 1 分 所对应的数表为： 3 分 集合组 2 不具有性质 P . 4 分 因为存在 2 , 3 1, 2 , 3 , 4 ， 有1 2 3 2 , 3 2 , 3 , 2 , 3 2 , 3 , 2 , 3 A A A ， 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 第 10 页 共 10 页 与对任意的 Ayx , ，都至少存在一个 1, 2,3i ，有 , xyxAi 或 y 矛盾，所以集合组1 2 3 2 , 3 , 4 , 2 , 3 , 1 , 4 A A A 不具有性质 P . 5 分 （） 7 分 1 2 3 3 , 4 , 5 , 7 , 2 , 4 , 6 , 7 , 1 , 5 , 6 , 7 A A A . 8 分 （注：表格中的 7 行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合 组也不同） （）设12, , , tA A A所对应的数表为数表 M ， 因为集合组12, , , tA A A为具有性质 P 的集合组， 所以集合组12, , , tA A A满足条件和， 由条件：12 tA A A A， 可得对任意 xA ，都存在 1, 2 , 3, , it 有iAx， 所以