广东版（第01期）-2014届高三名校数学（理）试题分省分项汇编：专题06 数列（解析版）

无限精彩在大家 www.TopS 一基础题组 1.【 广东省佛山市南海区 2014 届高三 8 月质检（理） 】 已知 na为等差数列，其前 n 项和为nS，若3 6a ，3 12S ，则公差 d 等于 （ ） A. 1 B.53 C. 2 D.3 2.【 广东省十校 2014 届高三第一次联考（理） 】 已知等差数列 na中，2 5a ，4 11a ，则前 10 项和 10S（ ） A.55 B.155 C.350 D .400 3.【 广东省深圳市高级中学 2014 届高三第一次月考（理） 】 设nS为等比数列 na的前 n 项和，已知 3432Sa，2332Sa，则公比 q （ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【答案】 B 【解析】 试题分析：3432Sa，2332Sa，两式相减得3 4 33a a a，434aa， 无限精彩在大家 www.TopS 431aq a ，故选 B. 考点： 等比数列的性质 4.【 广东省珠海市 2014 届高三 9 月摸底考试（理） 】 设 等比数列na的公比2q，则44Sa 5.【 广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期摸底考试（理） 】 在等比数列 na中 , 21 a且 2764 4aaa ,则3a的值是 . 6.【 广东省惠州市 2013 届高三模拟考试一（理） 】 在等差数列 na中，有6 7 8 12a a a ，则此数列的前 13 项 之和为 . 【答案】 52 无限精彩在大家 www.TopS 7.【广东省惠州市 2014届高三第一次调研考试（理）】 已知等差数列 na,满足381, 6aa,则此数列的前 10项的和10S . 二 能力 题组 1.【 广东省汕头四中 2014 届高三上学期第一次月考（理） 】 设等差数列 na的公差 d 0，1 4ad若ka是1a与2ka的等比中项，则 k （ ） A.3 或 -1 B.3 或 1 C. 3 D.1 2.【 广东省十校 2014 届高三第 一次联考（理） 】 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图 4 中的实心点个数 1， 5， 12， 22， 被称为五角形数，其中第 1 个五角形数记作1 1a，第 2 个五角形数记作2 5a ，第 3 个五角形数记作3 12a ，第 4 个五角形数记作4 22a ，若按此规律继续下去，若 145na ，则 无限精彩在大家 www.TopS n 1 5 12 22 3.【 广东省深圳市高级中学 2014 届高三第一次月考（理） 】 若数列 na的通项公式是( ) ( )nan ,则 a a a L . 三 拔高 题组 1.【 广东省惠州市 2013 届高三第一次模拟考试（理） 】 已知函数 ( ) logmf x x（ m 为常数， 01m），且数列 ()nfa 是首项为 2 ，公差为 2 的等差数列 . （ 1） 若 ()n n nb a f a ，当 22m时，求数列 nb 的前 n 项和 nS ； 无限精彩在大家 www.TopS （ 2） 设 lgn n nc a a，如果 nc 中的每一项恒小于它后面的项，求 m 的取值范围 . ，得 0 1 2 3 11 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2nnnSn 11 (1 ( ) )12 ()1 21 ( )2nnn 6 分 11( 2 ) ( ) 42 nnSn 7 分 无限精彩在大家 www.TopS 考点： 1.数列的求 和； 2.数列的单调性； 3.不等式恒成立 . 2.【 广东省惠州市 2013 届高三第一次模拟考试（理） 】 已知 函数 2( ) 1f x a b xx 在 3x处的切线方程为 58yx. (1)求函数 ()fx的解析式； (2)若关于 x 的方程 () xf x ke 恰有两个不同的实根，求 实数 k 的值； (3)数列 na 满足12 (2)af，1 ( ) ,nna f a n N ，求1 2 3 2 0 1 31 1 1 1S a a a a 的整数部分 . 【答案】 （ 1） 2( ) = 1f x x x；（ 2） 1ke或23k e ；（ 3） S 的整数部分为 1 【解析】 试题分析： （ 1） 利用 (3) 5(3) 7ff，借助待定系数法求解函数 ()fx的解析式；（ 2）利用分离参数法明确 2k ( 1) xx x e ，然后通过构造函数借助求导法研究函数的单调性，最后作出直线 yx 和函数 2F ( x ) ( 1 ) xx x e 的大致图象，判断满足条件的范围；（ 3）通过已知条件整理得到 无限精彩在大家 www.TopS 令 F(x)=0 ，得121, 2xx 7 分 当 x 变化时， F(x) 、 F(x) 的变化情况如下表： 当 1x 时， F(x)取极小值 1e；当 2x 时， F(x)取极大值23e 8 分 作出直线 yx 和函数 2F ( x ) ( 1 ) xx x e 的大致图象，可知当 1ke或23k e 时， 它们有两个不同的交点，因此方程 () xf x ke 恰有两个不同的实根， 9 分 （ 3） 12 ( 2 ) 3af,得1 3 12a ，又 21 ( ) 1n n n na f a a a . 221 2 1 ( 1 ) 0n n n n na a a a a ， 1 1nnaa 10 分 无限精彩在大家 www.TopS 3.【 广东省汕头四中 2014 届高三上学期第一次月考（理） 】 设数列 an的前 n 项和为 Sn，且 ， n=1， 2， 3 （ 1）求1a，2a； （ 2）求nS与 1 2nSn 的关系式，并证明数列 11nS是等差数列； （ 3）求1 2 2 0 1 1 2 0 1 2S S S S 的值 试题解析： （ 1）解：当 n=1 时，由已知得 ，解得 ， 无限精彩在大家 www.TopS 4.【 广东省韶关市 2014 届高三摸底考试（理） 】 已知数列 na的前 n 项和nS满足：( 1)1nnaSaa （ a 为常数，且 0, 1aa） （ 1）求 na的通项公式； （ 2）设 2 1nnnSb a ，若数列 nb 为等比数列，求 a 的值； （ 3）在满足条件（ 2）的情形下，设11111n nnc aa，数列 nc的前 n 项和为nT ,求证：12 3nTn 【答案】（ 1） nnaa；（ 2） 13a；（ 3）证明过程详见解析 . 【解析】 试题分析：本题主要考查数列的通项公式和数列求和问题，考查学生的计算能力 和分析问题的能力以及推理论证的能力 .第一问，是由nS求na；第二问，先把第一问的结论代入，整理出nb表达式， 无限精彩在大家 www.TopS 5.【 广东省佛山市南海区 2014 届高三 8 月质检（理） 】 已知数列 na 的前 n 项和为2= 2 4 + 1nS n n ，数列 nb 的首项 1=2b ，且 点 1( , )nnbb 在直线 2yx 上 （ 1）求数列 na ， nb 的通项公式； 无限精彩在大家 www.TopS （ 2）若n n nc a b，求数列 nc的前 n 项和nT （ 2）由（ 1）知，当 1n 时，1 1 1 14c a b； -8 分 当 2n 时， 1( 4 2 ) 2 ( 2 1 ) 2nnn n nc a b n n ， -9 分 所以 当 1n 时，1114Tc； 当 2n 时， 311 2 3 . . . 1 4 5 2 . . . ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2nnnnT c c c c n n 则 4 1 22 2 8 5 2 . . . ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2nnnT n n - -10 分 - 得： 3 5 6 2 21 4 5 2 2 2 2 ( 2 1 ) 2nnnTn -12 分 即 523 2 22 ( 2 1 )1 4 5 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 621n nnnT n n ， -13分 显然，当 1n 时， 121 ( 2 1 1 ) 2 6 1 4T ， 无限精彩在大家 www.TopS 所以2( 2 1 ) 2 6nnTn -14 分 . 考点： 1.等差数列，等比数列的通项求法； 2.错位相减法 6.【 广东省佛山市南海区 2014 届高三 8 月质检（理） 】 已知实数组成的数组1 2 3( , , , , )nx x x x满足条件： 10n iix ； 11n iix （ 1） 当 2n 时，求1x，2x的值； （ 2）当 3n 时，求证：1 2 33 2 1x x x ； （ 3）设1 2 3 na a a a ,且1 naa ( 2)n，求证：111 ()2ni i ni a x a a 无限精彩在大家 www.TopS （ 2）证明：当 3n 时， 由已知1 2 3 0x x x ,1 2 3 =1x x x. 所以1 2 3 1 1 2 3 33 2 2 ( )x x x x x x x x 13xx 131xx . 9 分 （ 3）证明：因为1 ina a a，且1 naa ( 1, 2 , 3 , , )in. 所以1( ) ( )i i na a a a 1( ) ( )i i na a a a 1 naa, 即112n i na + a a a a ( 1, 2 , 3 , , )in . 11 分 1niii axn1i 1 1 11122nni i i n iiia x a x a x 111 ( 2 )2ni n ii a a a x 111 (22 nn i ii a a a x )111 ()2 nnii a a x 1 112 nniia a x 11 ()2 naa. 14 分 . 考点：绝对值不等式 . 7.【 广东省十校 2014 届高三第一次联考（理） 】 设nS为数列 na的前 n 项和，对任意的nN ， 都有 ( 1)nnS m m a (m 为 正 常数 ) （ 1）求证：数列 na是等比数列； （ 2）数列 nb满足11112 , , ( 2 , )1 nnnbb a b n n Nb 求数列 nb的通项公式； 无限精彩在大家 www.TopS （ 3）在满足（ 2）的条件下，求数列 )1cos(2 1 nb nn 的前 n 项和 nT 数列 na是首项为 1，公 比为1mm的等比数列 3 分 （ 2）解：1122ba 4 分 无限精彩在大家 www.TopS = 2124 2)12(41)41(2412 nn n =3 2)12(32643624 nn n=3 2)76(282 nn 9 2)76(282/ nnS 11 分 无限精彩在大家 www.TopS 8.【 广东省珠海市 2014 届高三 9 月摸底考试（理） 】 若正数项数列na的前 项和为 nS，首项 11a，点 1,nnP S 在曲线2( 1)yx上 . （ 1）求 23,aa； 无限精彩在大家 www.TopS （ 2）求数列na的通项公式 na； （ 3）设 11n nnb aa , nT表示数列nb的前项和 ,若 nTa恒成立，求 nT及实数 a的取值范围 . （ 2）由21 ( 1)nnSS 得1 1nnSS . 所以数列 nS是以1为首项， 1 为公差的等差数列 所以1 +( 1) 1nS S n ， 即2nSn 由公式11=12n nnSnaS S n ，得1 =12 1 2nna 所以21nan （ 3）因为 111( 2 1 ) ( 2 1 )n nnb a a n n ，所以0nb， 1 1 11 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 )nT nn 无限精彩在大家 www.TopS 考点： 1.数列前 n 项和与通项公式之间的关系； 2.等差数列的证明，等差数列的通项公式；3.裂项相消法 . 9.【 广东省广州市越秀区 2014 届高三入学摸底考试（理） 】 已知数列 na满足1 12a ，1 112nnnaa nN . （ 1）求数列 na的通项公式； （ 2）令nnb na， 数列 bn的前 n 项和 为 Tn，试比较 Tn与 321nn的大小，并予以证明 . 试题解析： （ 1） 当 2n 时，1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a 无限精彩在大家 www.TopS 231 1 1 12 2 2 2n 231 1 1 12 2 2 2n 11114212212nn . 又1 12a 也适合上式，所以 *1 ()2n nanN. 证明如下：当 3n 时， 0 1 12 ( 1 1 )n n n nn n n nC C C C 0 1 1 2 2 2 1nnn n n nC C C C n n . 综上所述，当 1n 或 2n 时， 321n nT n ；当 3n 时， 321n nT n . 考点： 1.累加法； 2.错位相减法； 3.二项式定理 10.【 广东省东莞市 2013 届高三模拟考试一（理） 】 已知数列na的首项 15,a前 n项和为 nS，且521 nSS nn （ 1）证明：数列 1na是等比数列； （ 2）令212() nnf x a x a x a x ，求函数()fx在点 1x处的导数(1)f,并比较 无限精彩在大家 www.TopS 2 (1)f与223 13nn的大小 . 错位相减得， 221 1 nn nT 无限精彩在大家 www.TopS 11.【 广东省汕头市金山中学 2014 届高三摸底考试（理） 】 已知 数列 na的各项均为正值， ,11 a 对任意 )1(41, 21 nnn aaaNn， )1log2 nn ab都成立 . （ 1）求数列 na、 nb的通项公式； （ 2）令nnn bac ，求数列 nc的前 n 项和nT； （ 3）当 7k 且 Nk 时，证明对任意 ,Nn 都有231111 121 nknnn bbbb 成立 . 试题解析： （ 1）由 nN ， 21 1 4 1n n na a a ，得 112 1 2 1 0n n n na a a a ， 无限精彩在大家 www.TopS （ 3） 设11211111111 121 nknnnbbbbS nknnn )111()3121()2111()111(2 nnknknnknnknS -（ 1） 当 0,0 yx 时， 4)11(,1211,2 yxyxxyyxxyyx yxyx 411当且仅当 yx 时等号成立 . 上述（ 1）式中， 1,2,1,0,7 nknnnk 全为正， 无限精彩在大家 www.TopS 12.【 广东省深圳市高级中学 2014 届高三第一月考（理） 】