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带式输送机传动装置设计【F=4200，V=1.9，D=450】【6张CAD图纸+说明书】

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关键词：: 带式输送机传动装置设计 cad图纸说明书带式输送机传动装置输送机传动装置

资源描述：

带式输送机传动装置设计【F=4200,V=1.9，D=450】

28页 4900字数+说明书+外文翻译+6张CAD图纸【详情如下】

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摘要

运输机械用减速器（JB/T9002-1999）包括：二级传动硬齿面DBY和中硬齿面DBZ两个系列及三级传动硬齿面DCY和中硬齿面DCZ两个系列。第一级传动为锥齿轮，第二、第三级传动为渐开线圆柱齿轮。锥齿轮齿形为格里森弧线齿或克林根贝尔格延伸外摆线齿。齿轮及齿轮轴均采用优质合金钢锻件。硬齿面经渗碳、淬火磨齿，齿面硬度为：齿轮轴58-62HRC；齿轮54-58HRC。圆柱和圆锥齿轮精度分别不低于GB/T10095和GB/T11365中的6级。中硬齿面减速器的锥齿轮采用硬齿面，圆柱齿轮采用调质、精滚，齿面硬度为：齿轮轴306-332HB，大齿轮273-314HB，齿轮精度为7级。

这种减速器主要适用于运输机械，也可用于冶金、矿山、石油、化工等通用机械.其工作条件为：

a.输入轴最高转速不大于1500r/min；

b.齿轮圆周速度不大于20m/s；

c.工作环境温度为-40—45度，当环境温度低于0度时，启动前润滑油应预热。

从以上资料我们可以看出齿轮减速器结构紧凑、传动效率高、运行平稳、传动比大、体积小、加工方便、寿命长等等.因此，随着我国社会主义建设的飞速发展，国内已有许多单位自行设计和制造了这种减速器，并且已日益广泛地应用在国防、矿山、冶金、化工、纺织、起重运输、建筑工程、食品工业和仪表制造等工业部门的机械设备中，今后将会得到更加广泛的应用。

本文首先介绍了带式输送机传动装置的研究背景，通过对参考文献进行详细的分析，阐述了齿轮、减速器等的相关内容；在技术路线中，论述齿轮和轴的选择及其基本参数的选择和几何尺寸的计算，两个主要强度的验算等在这次设计中所需要考虑的一些技术问题做了介绍；为毕业设计写作建立了进度表，为以后的设计工作提供了一个指导。最后，给出了一些参考文献，可以用来查阅相关的资料，给自己的设计带来方便。

关键词电动机，齿轮，轴，圆锥-圆柱齿轮传动减速器

一文献综述…………1

二结构设计

三设计计算过程及说明……….3

1 选择电动机. ….3

2 传动装置的总传动比及其分配…..3

3 计算传动装置的运动和动力装置参数.…3

4 带传动设计.…4

5 齿轮传动设计..….5

6 轴的设计..…..11

7 轴承的选择 ..…22

8 键的选择.…..…22

9 减速机箱体的设计…..23

10 减速器附件设计….23

11 密封与润滑.….24

四设计小节…………25

五参考文献…………26

1 绪论

通过查阅一些文献我们可以了解到带式传动装置的设计情况，为我所要做的课题确定研究的方向和设计的内容。

1.1 带传动

带传动是机械设备中应用较多的传动装置之一，主要有主动轮、从动轮和传动带组成。工作时靠带与带轮间的摩擦或啮合实现主、从动轮间运动和动力的传递。

带传动具有结构简单、传动平稳、价格低廉、缓冲吸振及过载打滑以保护其他零件的优点。

1.2圆锥-圆柱齿轮传动减速器

YK系列圆锥-圆柱齿轮传动减速器适用的工作条件：环境温度为-40～40度；输入轴转速不得大于1500r/min,齿轮啮合线速度不大于25m/s，电机启动转矩为减速器额定转矩的两倍。YK系列的特点：采用一级圆弧锥齿轮和一、二、三级圆柱齿轮组合，把锥齿轮作为高速级（四级减速器时作为第二级），以减小锥齿轮的尺寸；齿轮均采用优质合金钢渗碳淬火、精加工而成，圆柱齿轮精度达到GB/T10095中的6级，圆锥齿轮精度达到GB/T11365中的7级；中心距、公称传动比等主要参数均采用R20优先数系；结构上采用模块式设计方法，主要零件可以互换；除底座式实心输出轴的基本型外，还派生出输出轴为空心轴的有底座悬挂结构；有多中润滑、冷却、装配型式。所以有较大的覆盖面，可以满足较多工业部门的使用要求。

减速器的选用原则：（1）按机械强度确定减速器的规格。减速器的额定功率P1N 是按载荷平稳、每天工作小于等于10h、每小时启动5次、允许启动转矩为工作转矩的两倍、单向运转、单对齿轮的接触强度安全系数为1、失效概率小于等于1%等条件算确定.当载荷性质不同，每天工作小时数不同时，应根据工作机载荷分类按各种系数进行修正.减速器双向运转时，需视情况将P1N乘上0.7～1.0的系数，当反向载荷大、换向频繁、选用的可靠度KR较低时取小值，反之取大值。功率按下式计算：P2m=P2*KA*KS*KR ，其中P2 为工作功率； KA 为使用系数； KS 为启动系数； KR 为可靠系数。（2）热功率效核.减速器的许用热功率PG适用于环境温度20℃，每小时100%连续运转和功率利用律（指P2/P1N×100%）为100%的情况，不符合上述情况时，应进行修正。（3）校核轴伸部位承受的径向载荷。

3.10.1窥视孔和视孔盖

窥视孔应该在箱盖顶部,以便观察,应在凸台上以便加工。

3.10.2通气器

在箱盖顶部,要适合环境,其尺寸要与减速器大小相合适。

3.10.3油面指示器

应该设在油面比较稳定的地方,如低速轴附近。

用圆形油标,有标尺的位置不能太高和太低,以免溢出油标尺孔座。

3.10.4放油孔和螺塞

放在油的最低处,平时用螺塞塞住,放油孔不能低于油池面,以免排油不净。

3.10.5起吊装置

吊环可按起重重量选择,箱盖安装吊环螺钉处设置凸台,以使吊环螺钉有足够的深度。

3.10.6定位销

用圆锥销作定位销,两定位销的距离越远越可靠,常设在箱体连接凸缘处的对角处,对称布置。直径d=0.8d2。

3.10.7起盖螺钉

装在箱盖连接凸缘上,其螺纹长度大于箱体凸缘厚度,直径可与连接螺钉相同。

3.11密封与润滑

轴承采用接触式密封。

传动采用浸油润滑,尽量使各传动浸油深度相同。

轴承润滑采用刮油润滑。

4 设计小结

通过这次设计让我了解到机械设计是从使用要求等出发，对机械的工作原理、结构、运动形式、力和能量的传递方式，以及各个零件的材料和形状尺寸等问题进行构思、分析和决策的工作过程，这种过程的结果要表达成设计图纸、说明书及各种技术文件。

通过带式输送机传动装置的设计,了解了带式输送机传动装置的原理以及其结构。从带式输送机传动装置的设计，我学到了机械设计的思想--以最少的成本达到最好的目的,以最简单的结构达到所需的功能。设计思想中最突出得的是—-合理二字。整个设计过程使我受益非浅。

内容简介：: 通过优化柔性椭球体对欠驱动冗余度机械臂的自重构摘要：根据优化技术，欠驱动冗余度机械臂的多模型特征、柔性操作的测量、自重构的控制方法已被调查研究。分析了空间关节的结构变形和欠驱动冗余度机械臂柔性操作之间的关系，处于锁定模式下欠驱动冗余度机械臂的一种新型柔性椭球体操作的测量被提出，能应用于获得自重构控制的最理想结构。因此，基于简谐振动随时间变化非线性控制方法认为能完成其自重构。被动关节三连杆欠驱动机械臂等仿真例子在一些调查方面起重要作用。关键词：欠驱动机械臂自重构优化非线性控制 0 前言欠驱动装置和机械臂能应用于许多领域，例如太空技术、合作机械人、变形装置。在太空领域里，由于没有失去有用功能或了解系统的自重构。当驱动构件出现一些问题时，基于欠驱动技术的误差出现是不可避免的。欠驱动机械臂也能被设计为合作机器人，也就是说COBOT。COBOT 的驱动不是作驱动装置而是提供动力学非函数约束。COBOT 需要操作人员提供外力才能完成准确的应用，例如在生物工程学上外科手术和半导体制造等等。在机械领域机械变形有多种模态，并能从一种模态向另一种模态转变。引用不同模态之间的改变可能导致连杆数目的变化或机械变形的约束限制。很显然，欠驱动控制、冗余度驱动和柔性装置是不可避免的。因此，欠驱动系统逐渐的成为研究领域一个具有吸引力的话题。从力学角度看，研究欠驱动机械臂系统是不可能控制的。被动关节的运动是必须靠与动力装置连接。Jain等表明动力装置是欠驱动机械臂的非完整性约束是二阶的。在机械实际上，与非完整性约束广泛被研究比较也有100多年历史，然而，关于这种系统的运动规划和控制技术的研究只是近10的事情，研究多针对轮式移动机器人、跳跃机器人、航空航天机器人等一阶非完整性约束系统。关于欠驱动机械臂的研究观点，Anthoney等研究运动的稳定性，Arai 等提出随时间变化方法完成系统的位置控制。Lee 等为欠驱动机器人提供了多种非线性控制方法。欠驱动研究的这些方法已从本质上揭示了它是非线性的，并且是随时间变化的、抽象的。事实上，Brockett 已证实这并没有消除阻碍和稳定给定结构系统的静电状况反馈。很显然，非线性系统的特征在组合空间多自由度是可以控制的。所以，非线性系统的控制研究受到更多的关注。欠驱动机构和机械臂是对传统机械设计基本原理相违背的，传动机械设计基本原理认为，原动件的数目要与自由度的数目相等时，机构才具有确定的运动。欠驱动机械臂首先被提出并不是由于它的价值优点，但一些研究表明，欠驱动机构的故意设计也是很有价值的。例如，Rivhter 等获得由柔性欠驱动机械臂多维受力的测量。Nakamura 等设计出了轮式滚动接触的非完整机器人和平面四连杆二驱动机械臂的控制。He 等针对欠驱动冗余度机械臂提出一种自由碰撞运动规划演算法。从以上讨论的结果来看，我们可推断出在研究欠驱动时，可能遇到一些未被发现的新问题，如所提到的技术和理论的形成。因此，我们改善这装置具有很大的潜能性。这篇论文中，我们对欠驱动机械臂的静态特征和自重构控制方法进行探索与研究。1 柔性椭球体模型机械硬度是机械臂的一个重要要素，它是用来抵抗受力和阻碍力的能力。对于开式链接机械臂而言，链接部分是非常重要的部分。所以末端位姿的变形将会对连杆带来不良影响。转矩可以近似满足如下方程： i=1，2，n （1）式中关节 i 的转矩关节 i 的变形量关节 i 的硬度系数如果忽略关节 i 的重力和摩擦力不计，假设机械臂末端位姿力矢，则转矩方程又可以写成：（2）式中关节的转矩雅可比矩阵众所周知，关节有会有变形，机械臂末端位姿有如下关系式：（3）式中机械臂末端位姿矢量关节的位姿矢量将（1）式写成矩阵的形式，结合（2）、（3）式，经简单的计算，和F之间的关系如下：（4）式中如果定义（6）（6）式是末端位姿的柔性矩阵。然而，在太空工作强度矩阵一致。柔性矩阵C可以用来测量机械臂的静态特征。矩阵C也有雅可比函数功能。因此，它在组合和构造要素较大范围内是可改变的，在稳定条件下机械臂的可变特征能用于完成一些应该的复杂的操作。如装配、抛光、维修等等。由（5）、（6）式可知矩阵C是对称性矩阵。如果定义（7）对矩阵C进行微分，方程式（7）我们又可以得到（8）式中，i=1,2,3,，m应用了矩阵C的单一性。因此，是其对称矩阵，有如下关系：（9）式（9）被描述为椭球体曲线方程，当椭球体的主要曲线与矩阵C的单一值相等时，这椭球体也被认为是一般柔性椭球体GFE。由于直观原因，图一中平面2连杆机械臂的的连杆长，GFE如图（2）和（3）所示。图一平面2R杆机械臂图2 平面2R杆全驱动机械臂的GFE模型图3 平面2R杆全驱动机械臂的GFE模型这些图示表明测量是需要依赖组合和机构要素。然而全驱动机械臂并不能改变其机构要素。因此，由于不同的构件（图2），而不是结构要素（从图2改变到图3），GFE模型是可以改变的。当被动关节被引进作为全驱动机械臂时，为了方便使用，假设这些被动关节具有制动装置和位置控制，以便被动关节能在自由模式和锁定模式下进行制动。然而在运动学上，欠驱动机械臂揭示了一些冗余度连杆问题，并没有表明在输入方式下的自运动不如工作状态下的自运动。另一方面，被动关节的制动模式能使欠驱动机械臂具有重构能力,系统具有敏捷性而使其能适合不同的工作。2. 柔性矩阵假设在欠驱动冗余度机械臂中s连杆为被动关节，被动关节装有制动装置，当被动关节处于自由状态时，其速度运动方程可以写成为：（10）式中机械臂末端位姿矢量驱动机械臂的雅可比矩阵分别为驱动和被动机械臂的广义坐标矢量当机械臂中被动关节处于锁定状态时，系统运动方程可变为（11）式中机械臂末端位姿矢量锁定状态下被动关节机械臂的雅可比矩阵驱动关节的机械臂广义坐标很显然，方程（11）和（3）是同一形式，方程（10）和（11）表明欠驱动机械臂在运动学上具有不同的模式。换句话说，在运动学上系统具有多中模式特征。图（4）平面3R连杆机械臂就是很好的例子。机械臂的第二关节是被动关节，其他的都是驱动关节。当被动关节处于自由状态时，被选做为广义坐标变量。如果被动关节处于自锁状态，机械臂的维数将变为2维，这广义坐标变量为，显然由于，但雅可比矩阵有如下关系：图4 平面3R杆机械臂由于欠驱动机械臂存在不同的运动模式，一种可以用来优化和机械臂的机构组合及自重构以使用不同的工作。预测如何完成基于欠驱动下的全驱动机械臂操作是不可避免的问题。不象全驱动冗余度机械臂那样，欠驱动冗余度机械臂并不能改善其操作工作，执行机械臂任务类似于输入空间的体积比工作空间少的缘故。有一条可行的途径就是在不同的时间分解机构的工作。例如，当机械臂工作处于驱动模式下，机构组合能进行机构自重构。然而当机械臂工作在全驱动模式下，其功能之一就是能控制机构的运动。事实上，处于欠驱动工作模式下的机械臂能辩别机构的运动，如位置控制或间断点对应点运动。但是这并不是此论文所讨论的重点。我们应关注的是欠驱动冗余度机械臂的静态特征和机构自重构控制方法。欠驱动机械臂两中模式的运动方程可以被多种方法描述。但是在复杂的机械装置中多连杆机械臂的机构要素定义还存在一定的困难。为了解决这些问题，我们将进行分析欠驱动冗余度机械臂的两种模式间的关系。假定一种特殊的机械臂组合机构，假设有，处于装置的两种模式下的末端位姿表达式是一致的，可以表示为（12）假设（13）（13）式表示微运动发生在关节部分而不是发生在末端位姿处，根据（13）式，方程式又可以写成（14）把（14）代入（12）式中，我们可以得到（15）（15）式描述欠驱动机械臂两种模式下的不同一机构。因此，两种广义坐标也是相等的。设，又可以得到（16）（16）式表示两种模式下的雅可比矩阵间的关系。此式能预测出全驱动模式的运动。把（16）式代入方程式（5），可以得到全驱动模式下的欠驱动矩阵方程（17）根据方程（7），GFE欠驱动机械臂也能定义，方程（17）表示在机械装置改装后的系统静态特征。其一，我们以通过3R杆机械臂模拟（图4）。作为非冗余度机械臂而言，如果我们假定处于工作状态下的一点，它不仅与柔性椭球体模型有关。相反有许多与处于冗余度机械臂工作状态下的这一点相关。假设3R杆平面机械臂三杆长分别为，机构的起始角度为，GFE其他末端位姿起始位置如图5所示。显然，根据处于工作状态下的这种状况，可知存在许多这样的关节组合。这些机构都是与GFE相关的。但是一欠驱动冗余度机械臂存在机构自重构的能力。一般而言，我们期望的GFE在不同的基本组合中有类似的运动。换句话说，椭球体模型类似于一个球。如图5所示，在3杆中第一杆运动状态表现最佳。3 非线性控制我们通过分析系统的动态特性，为了寻求一种能有效地控制欠驱动机械臂运动。欠驱动机械臂动态方程可以写成（18）（19）式中为质量惯性矩，为中心吸引力和摩擦转矩矢量。M是驱动关节转矩矢量。是驱动关节广义坐标矢量。是被动关节广义坐标矢量。Jain等证实方程（19）是二阶非线性约束方程。通过自重构，在工作状态下给定位置，欠驱动机械臂具有改善装置运动的能力。由于系统输入空间维数少于空间关节的维数，被动关节的位置控制只能通过动态藕合来实现。基于Brockett理论，给定机构的系统并不是光滑的，稳定性完全符合静平衡反馈定律。因此，非线性控制的结果表明系统是非线性的、随时间变化的、离散的。非线性控制方法还有一种就是在Ref（17）中所提到的全驱动关节的简谐振动。这种方法的本质就是当驱动关节运动到一个周期时被动关节将偏离平衡位置（图6）。驱动关节的简谐振动方程有（20）（21）（22）式中 A简谐振动的振幅 W简谐振动的角频率如果我们将式中（22）变换一下，代入（19）式得到（23）通常，角频率是一个较大的数，因此，简谐振动周期T=是一个非常小的数。被作为一个周期的约束，（23）式有可以写成（24）（24）式表示一个周期后有一点发生偏离。显然，构成整体的价值在于简谐振动的振幅和角频率，者就是简谐振动中的驱动关节能控制被动关节的原因之一。4 自重构控制律自重构需要稳定的控制技术。间谐振动非线性控制方法在第3部分已经简单地介绍了。下面我们将设计一个新的控制方法来执行机构的自重构运动。这种方法将用于优化在工作状态下给定位置时的广义柔性椭球体模型。假设引用于一个期望的组合，此组合源于一些优化方法，是驱动机械臂的驱动位置角。设（25）式中 e关节位置矢量误差对方程（24）进行微分有：（26）取滑动模态为（27）集中律为（28）式中，且sgn（）作为符号函数，有如下式子：如果矢量有，可以得到下面式子：（27）式表示驱动关节的运动满足莱布罗定律。假设驱动关节输入与（20）、（21）有关，当时，又可以得到如下关系式将（26）式中2杆的2倍偏离量代入（30）式，可以得到设驱动关节输入为将（32）和（31）式代入（19）式，有如下关系振动振幅为虽被动关节并没有达到期望的位置，驱动关节输入控制可用（32）式来描述，另一方面，被动关节处于期望的位置，输入控制方式有以下方程。从（27）式中可知偏离时间为结合（28）和（35）式，控制律为显然，这种控制方法是非线性的、随时间变化的、且遵循Brockett理论。有以上关系重新整理振幅，控制律为当ep=0时满足当ep0时满足5 仿真研究在这部分中，选平面3R杆机械臂作为仿真模型，如图4所示。设第二杆为机械臂的被动关节，其他两杆为驱动关节。如果初始位置为，为了改善执行广义的柔性椭球体模型，更好的位置为，这在第三部分已给出。我们认为后面一种情况是我们期望的结果。根据第四部分所提供的控制方法，模拟仿真结果如图7所示。图7 3R杆欠驱动机械臂的自重构运动1.连杆1 2.连杆2 3.连杆3图7（a）表示随时间变化的关节位置误差；图7（b）表示与时间有关的关节运动轨道轨迹；图7（c）表示在自重构控制中机械臂机构位置的改变；图7（d）表示关节速度与位置间关系图。显然，机械臂已满足期望的机构完成自重构控制。6 结束语欠驱动技术是一个非常关键性的问题，它不仅能够产生空间机器人系统的线性误差，而且能操控合作机器人和机器装置。欠驱动机械臂有实现机械自重构的能力。新的关仪广义柔性椭球体欠驱动冗余度制动式机械臂的测量被提出。这测量由于优化系统的稳定性。简谐振动的非线性控制方法能执行自重构运动。有3连杆欠驱动机械臂的仿真结果证明测量和振幅的控制是有效的。References1 Nakamura Y, Mukerherjee RNonholinomic path planning of space robotics via a bi-directional approachIEEETransactions on Robotics and Automation，1991，7(4)：5005142 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ic a l E n g i n e e r in g ， N o r t h C h i n a U n iv e r s it y o f T e c h n o lo g y , B e ij i n g 1 0 0 0 4 1 ， C h in a L u Z h e n S c h e o I o f A u t o ma t io n S c ie n c e a n d E le c t r i caI E n g in e e r i n g B e ij in g U n iv e rs i ty o f A e r o n a u t i c s a n dA s tr o n a u t ic s ， B e ij i n g 1 0 0 0 8 3 ， C h in a 0 I NTRoDUCTI oN S E L F R E CON F l GUR A T l ON OF UN D E R AC T U A T E D R E D U N D AN T MAN I P UL A T OR S WI T H OP T I M亿l N G T HE F L E X I B I L I T Y E L L l P S Ol D 木 Ab s t r a c t ： Th e mu l t i mo d e s f e a t u r e ， t h e me a s u r e of t h e ma ni p u l a t i ng fle x i bi l i t y , a nd s e l f - r e c o n f i g u r a t i o n c o n t r o 1 me t h o d o f t h e un d e r a c t ua t e d r e d un d an t man i p u l a t o r s a r e inv e s t i g a t e d ba s e d o n t he o p t i mi z i n g t e c h n o l o g y T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c o n fi g u r a t i o n o f t h e j o i n t s p a c e a n d t h e mani p u l a t i n g fle xi b i l i t y o f t h e u n d e r a c t u a t e d r e d un d an t man i p u l a t o r i s an a l y z e d a n e w me a s u r e o f man i p ul a t i n g fle x i b i l t t y e l l i p s o i d f or出e u n d e r a c t u a t e d r e d u n d a nt ma ni p u l a t o r wi t h p a s s i v e o i n t s i n】 o c k e d mo d e j s p r o p o s e d ， wh i c h c a n b e u s e d t o g e t the o p t i ma l c o nfi g ura t i o n f o r t h e r e a l i z a t i o n o f the s e l f - r e c o n f i g u r a t i o n c o n t r o 1 F u r t h e r mo r e a t i me v a r y i ng no n l i n e ar c o n t r o 1 me t h od b a s e d o n h a r mo ni c i n p u t s i s s u g g e s t e d for f ul fil l ing the s e l f - r e c o n f i g u r a t i o n A s i mu l a t i o n e x a mp l e o f a thr e e D0F s u n d e r a c t u a t e d man i p u l a t o r wi t h o n e p a s s i v e j o i n t f e a t u r e s s o me a s p e c t s o f t h e i n v e s t i g a t j o n s Ke y wo r d s ： Un d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r s S e l f - r e c o nf i g u r a t i o n Op t i mi z a t i o n No n l i ne a r c o n t r o1 Un d e r a c t u a t e d me c h a n i s m a n d ma n i p u l a t o r c a n b e u s e d i n s o me fie l d s s u c h a s s p a c e t e c h n o l o g y ,c o o p e r a t i o n r o b o t a n d me t a mo r p h i c me c h a n i s mI n t h e s p a c e fi e l d ，f o r t h e s a k e o f n o l o s i n g t h e u s e f u l f u n c t i o n o r r e a l i z i n g t h e r e c o n fig u r a t i o n o f t h e s y s t e m t h e f a u l t t o l e r a n c e b a s e d o n t h e u n d e r a c t u a t e d t e c h n o l o g y i s e s s e n t i a l wh e n s o me a c t u a t e d c o mp o n e n t s r e v e a l s o me t r o u b l e s An u n d e r a c ma t e d mani p u l a t o r a l s o c a n b e d e s i g n e d a s a c o o p e r a t i o n r o b o t t h a t i s t o s a y C0B0T Th e d r i v e r s o f t h e COBOT a r e n o t f o r a c re a t i n g t h e ma c h i n e b u t f o r p r o v i d i n g a ldn e ma t i c s c o n s t r a i n t t h a t i s u s u a l l y n o n h o l o n o mi c T h e C0B0T n e e d s o u t s i d e 1 o t e e tha t i s p r o v i d e d b y o p e r a t o r a n d c a n c o mp l e t e s o me a c c u r a t e a p p h c a t l o n s s u c h as i n b i o l o g Y e n g l n e e nn g ，s urg i c a l ，a n d s e mi c o n d u c t o r ma n u f a c t u r e a n d s o o n I n t h e fi e l d o f me c h a n i s ms ， t h e me t a mo rph i c me c h a n i s m h a s mu l t i mo d e s and c a n b e tra n s f o r me d f r o m o n e mo d e t o an o t h e r , h a d b e e n p r e s e n t e d r e c e n t l y t Th e tra n s f o rm a t i o n b e t we e n the d i ffe r e n t mo d e s i s l i k e l y t o r e s u l t i n c h a n g e o f t h e DOF s o r c o n s tra i n t s o f t h e me t a mo rph i c me c h a n i s mI t i s o b v i o u s l y t h a t c o n tro l t h e u n d e r a c t u a t e d r e d u n d a n t a c t u a t e d an d f l e x i b l e me c h a n i s m c a n n o t b e e v a d e d Th e r e for e 。 the u n d e r a c ma t e d s y s t e m b e c o me s a n a t t r a c t i v e r e s e a r c h fie l d g r a d u a l l y Th e r e s e a r c h e s o n t h e u n d e r a c ma t e d ma n i p u l a t o r s ma n i f e s t t h e s y s t e m c ann o t b e c o n tr o l l e d b y k i n e ma t i c s Th e mo t i o n o f t h e p a s s i v e i o i n t c a n b e mo v e d b y t h e d y n a mi c c o u p l i n g o n l y L4 ,3 J J a i n ， e t a l【 h a v e s h o wn tha t t h e d y n a mi c c o u p l i n g i s s e c o n d o r d e r n o n h o l o n o mi c c o n s 仃 a i n t s 0 f the u n d e r a c ma t e d ma n i p u l a t o r I n c o n trast wi t h t h e f a c t tha t n o n h o l o n o mi c s y s t e m i s s t d i e d e x t e n s i v e l y a b o u t o n e h u n dre d o f y e ars i n me c h an i c s b u t t h e mo t i o n p l a n n i n g an d c o n tr o l o f t h e n o n h o l o n o mi c s ys t e m i S n o l o n g e r than tw o d e c a d e an d t h e s t d i e s l i mi t e d i n t h e fir s t o r d e r n o n h o l o n o mi c s y s t e m ( s u c h a s wh e e l mo v i n g r o b o t t J , h o p p i n g r o b o t t and s p a c e r o b o t W J ) m a i n l y I n the a s p e c t o f the r e s e ar c h o n the u n d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r s An t h o n e y e t a l t h a v e i n v e s t i g a t e d the s tab i l i t y o fthe mo t i o n Ar a i e t a l L I I J h a v e p r o p o s e d a t i me 。 s c a l i n g me tho dand a c h i e v e dthe p o s i ti o n c o n tr o l o f the s 3 s t e m Le e e t a l L l Z h a v e p r e s e n t e d s e v e r a l k i n d s o f n o n l i n e a r c o n tr o l me t bo d for u n d e r a c t u a t e d a c r o b o t T h e s e r e s e a r c h e s o n t h e c o n tro l o f u n d e r a c ma t e d s y s t e m h a v e r e v e a l e d tha t t h e s e me t h o d s are n o t h i n g b u t n o n l i n e ar,t i me v a r yi n g a n d d i s c r e t e i n n a t u r e Th e f a c t i s ma t Br o c k e tt【 ” h a v e p r o v e d t h a t t h e r e i s n o s mo o t h a n d s tat i c s t a t e f e e d b a c k 1 a w tha t s t a b i l i z e s t h e s y s t e m t o a g i v e n c o n fi gn r a t i o n a s y mp t o t i c a l l y An o b v i o u s f e a t u r e o f t h e n o n h o l o n o mi c s ys t e m i s t l l a t i t i s c o n tro l l a b l e i n a c o n fig u r a t i o n s p a c e wi t h mo r e d i me n s i o n sthan tha t o f thei n p u t s p a c e S 0ma t mu c h a tt e n ti o n s h a v e b e e n p a i d o n the c o n tr o l o f the n o n h o l o n o mi c s y s t e m Th e u n d e r a c t u a t e d me c h an i s m o r ma n i p u l a t o r a l s o i S d i s o b e d i e n t t o the f u n d a me n tal p r i n c i p l e o f t h e me c h a n i s m d e s i gn i n g t h e o r y t h a t j s t h e n u mb e r o f t h e a c ma t e d c o mp o n e n t s s h o u l d e q u a l t 0 t h a t o f the DOF s o f t h e me c h a n i s mT h e u n d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r h a d b e e n s u g g e s t e d fir s t l y i s n o t b y r e a s o n t h a t i t h as s o me me r i t s d i s t i n c t l y ， b u t s o me r e s e arc h e s s h o w t h a t t h e u n d e r - a c t u a t e d me c h a n i s m d e s i gn e d p u r p o s e l y a l s o i S v a l u a b l e F o r e x am p l e Ri v h t e r , e t a l 1 4 1 h a v e me a s ure d mu l t i d i me n s i o n s for c e b y a fle x i b l e u n d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r ,Na k a mu r a e t a l t ” h a v e d e s i gn e d a n o n h o l o n o mi c ma n i p u l a t o r b a s e d o n the wh e e l r o l l i n g c o n tac t a n d c o n tr o l l e d a f o ur DOF s p l anar ma n i p u l a t o r b y tw o i n p u t s He e t a l 【 h a v e p r o p o s e d a c o l l i s i o n fre e mo t i o n p l an a l g o r i t h m for the un d e r a c t u a t e d r e d u n d a n t ma n i p u l a t o r Ba s e d o n t h e r e s u l t s t h a t h a v e b e e n d i s c u s s e d a b o v e 。 we C a l l c o n c l u d e tha t t h e i n v e s t i g a t i o n a b o u t t h e un d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r d e l i b e r a t e l y ma y r e s ul t i n s ome ne w p he no m e non t o be d i s c ove r e d， t e c h ni q ue s t 0 b e p r o p o s e d o r the o r y t o b e for me d the r e for e c o u l d b e d e v e l o p t h e me c h a n i c s p o t e n t i a l l y I n t h i s P a p e we e x p l o r e t h e s t a t i c f e a m r e and s e l f - r e c o n f i g u r a t i o n c o n tr o l me t h o d for the u n d e r a c t u a t e d r e d u n d an t ma n i p u l a t 0 r S 1 FLEXI BI LI TY ELLI PS oI D Th e ma n i p u l a t i n g s t i f f n e s s i s a n i mp o r t a n t p ara me t e r o f a ma n i p u l a t o r , wh i c h c an b e u s e d i n the for c e o r i mp e d a n c e c o n tro 1 A mani p u l a t o r i s o p e n c h a i n i n me c h an i s m g e n e r a l l y , a n d the l i n k s a l wa y s are rig i d b o d i e s ， s o t h e d e form a t i o n o n e n d e f f e c t o r r e s u l t s f r o m t h e i o i n t s ma i n l y T h e s t i ff mo d e c a n b e wr i t t e n t o t h e fol l o w e q u at i o n a p p r o x i ma t e l y M = i =1 ， 2 ，。。。， ( 1 ) T h i s p r o j e c t i s s u p p o r t e d b y N a l i 0 n a l N a t u r a 1 s c i e n c e F o u n 血I i 0 n o f c h i m wh e r e ， T 0 r q u e 0 f j 0 i n t ( N o 5 0 3 7 5 0 0 7 ， No 5 0 4 7 5 1 7 7 ) R e c e i v e dMa r c h l 0 ， 2 0 o 4 ； r e c e i v e di n r e v i s e d f 0 I NO v e mb e r 2 3 ， 2 0 0 4 ； a c c 印 t c d De c e mb e r 2 ， 2 0 0 4 维普资讯 CHI NES E J OURNAL OF MECHANI CAL E NGI NEE RI NG 9 3 D e f 0 ma t i o n o f j o i n t i k i S t i f f h e s s c o n s t a n t o f j o i n t i I f t h e g r a v i t a t i o n a n d t h e f r i c t i o n i n t h e j o i n t s a r e i g n o r e d ， s u p p o s i n g the r e i s a f o r c e v e c t o r F R o n t h e ma n i p u l a t o r s e n d e ff e c t o r ， t h e e q u i v a l e n t j o i n t t o r q u e c a n b e wr i t t e n a s M =J F ( 2 ) wh e r e M R E q u i V a I e n t t o r q u e o f t h e j o i n t s JR J a c O b i a nma t rix I t i s we l l k n o w n t h a t t h e d e f o r ma t i o n s o n t h e j o i n t s a n d t h e e n d e ffe c t o r h a v e a r e l a t i o n s h i p a s f o l l o ws A x= J A0 ( 3 ) wh e r e Ax Mi c r o d i s p l a c e me n t o f t h e e n d e ffe c t o r Mi c r 0 d i s p l a c e me n t o f t h e j o i n t s We wr i t e E q ( 1 ) a s a ma t ri xf o rm a n d c o mb i n e i t wi t hE q s ( 2 ) a n d( 3 ) ， b y s o me s i mp l e c a l c u l a t i o n s ， t h e r e l a t i o n s h i p b e t we e n Ax an dFc a nb ewr i tt e n a s wh e r e I f wed e fi n e A x = ( 以 t， ) F 0 0 k 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C ：J k J ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) E q ( 6 ) i s t o s a y t h e fl e x i b i l i t y ma t ri x o f t h e e n d - e ff e c t o r Wh e r e a s C c o r r e s p o n d s t o t h e s t i fi n e s s ma t rix i n tas k s p a c e Th e fl e x i b i 1 - i t y ma t rix C c an b e u s e d t o me asu r e t h e s tat i c f e a t u r e o f Ma n i p u l a t o r Ma t r i x C i s a l s o a f u n c t i o n o f t h e J a c o b i an h e n c e i t i s c h a n g e a b l e i n a l a r g e r a n g for i t r e l a t i o n s t o t h e c o n fi g u r a t i o n a n d the c o n s t r u c t i o n p ara me t e r s T h e v a r i a b l e f e a t u r e s o f t h e ma n i p u l a t o r i n s t a t i c c an b e u s e d t o c o mp l e t e s o me c o mp l i ant a n d c o m。 p l e x man i p u l a t i o n s u c h a s a s s e mb l a g e ， p o l i s h i n g t r e a t me n t a n d s o o n B ase d o n E q s ( 5 ) a n d( 6 ) ， we c a n s e e ma tr i x C i s s y m me t - r i c I f wed e fi n e d e t ( ) ( 7 ) a n d d e c o mp o s e ma t ri x C b y t h e s i n g u l ar v a l u e ， f r o m E q ( 7 ) we h a v e =丌 ( 8 ) wh e r e o -i ， i =l ， 2 ，，， d e n o t e s t h e s i n g u l ar v a l u e o fma tri x C Th e r e f o r e t h e e x p r e s s i o n c i s a p o s i t i v e d e fin i t e s y mme tri c ma t r i x ， an dan e q u a t i o n c a nb ed e fi n e d a s x T ( c c ) = 1 ( 9 ) E q ( 9 ) d e s c ri b e s t h e e q u a t i o n o f a g e n e r a l i z ed e l l i p s o i d T h i s e l l i p s o i d i s t o s a y t h e g e n e r a l i z e d fl e x i b i l i t y e l l i p s o i d( GF E ) T h e p ri n c i p a l a x e s o f t h e e l l i p s o i d a r e e q u a l t o t h e s i n g u l a r v a l u e s o f ma t ri x C r e s p e c t i v e l y F o r s o me i n t u i t i o n i s t i c s a k e ，a p l a n a r tw o l i n k s ma n i p u l a t o r t h a t t h e l e n g t h o f l i nk s L =1 0 m ， i =1 ，2， i s r e g ar d e d a s a n e x a mp l e( F i g 1 ) ， a n d s o me GF E s a r e s h o w n i n F i g 2 and F i g 3 Fi g 1 Pl a n a r 2 R ma n i p u l a t o r Si n g ul a r i t y v a l u e o 1 Fi g 2 GFE o f a f ul l a c t u a t e d pl a na r 2 R mani pu l a t o r L1 ： L 2 =1 0 In 1 0 1 =0 2 = 6 0 。2 = ： 3 5 。3：o 2 ：2 o 。 Si n g u l a r i t y v a l ue 1 Fi g3 GF E o fa ful l- a c tua t e d p l an a r 2 R man i p u l a t o r LI ： 0 5 i n L 2 =1 0 in 1 6 5 = 8 2 = 6 0 。 2 6 5 = 8 2 = 3 5 。 3 0 1 = 0 2 = 2 0 。 Th e s e fi g u r e s s h o w t h a t t h e me a s u r e d e p e n d s o n t h e c o n fi g u r a t i o n a n d t h e s t r u c t u r e p aram e t e r s W h e r e a s a ful l a c t u a t e d ma ni p ul a t or 1 s u na bl e t o be c ha n ge d t o t he s t r u c t u r e p ar a m e t e r s g e n e r a l l y Th e r e f o r e ，t h e GFE c an b e c h a n g ed b y d i ff e r e n t c o n 。 fi g u r a t i o n( F i g 2 )b u t n o t t h e s t r u c t u r e p ara me t e r s( c h ang e f r o m F i g 2 t o F i g 3 ) W h e n s o me p a s s i v e i o i n t s are i n tr o d u c e d i n t o t h e f u 1 1 a c tua t e d ma n i p u l a t o r ,f o r s o me c o n v e n i e n c e s u p p o s i n g t h a t t h e p a s s i v e j o i n t s are e q u i p p ed wi t h b r a k e s a n d p o s i t i o n s e n s o r s o ma t t h e b r ak e s c an s wi t c h t h e p a s s i v e i o i n t s b e tw e e n the fre e s wi n g mo d e a n d 也e l o c k e d mo d e t h u s t h e u n d e r a c tua t e d r ed u n d ant mani p u l a t o r r e v e a l s s o me r e d u n d a n t DOF s i n k i n e ma t i c s b u t c a n n o t b e s h o wn i n“ s e l f - mo t i o n ”f o r t h a t t h e d i me n s i o n o f t h e i n p u t s s p a c e i s n o t mo r e t h a n tha t o f t h e t ask s p a c e t y p i c a l l y On t h e o t h e r h a n d ，s wi t c h i n g t h e mo d e o f t h e p a s s i v e i o i n s c a n r e c o n fi R a l r e t h e un d e r a c tua t ed ma n i p u l a t o r ， a n d t h e s y s t e m r e v e a l s s o me d e x t e r o u s n e s s i n a d a p t i n g t o d i ffe r e n t wo r k s 2 FLEXI BI LI TY M ATI UX S u p p o s e d t h a t the r e are s p a s s i v e j o i n t s i n a n und e r a c tu- a t e d r e d u n d a n t mani p u l a t o r , a n d t h e p a s s i v e j o i n t s are e q u i p p e d b ，i 1 1 日一， a_ 力 b 一日 1 1 B 1 a_ 力维普资讯 9 4 He Gua n g p i ng ， e t a l ： Se l f _ r e c 0 n f i g u r a t i 0 n of u n de r a c t ua t e d r e d u nd a nt ma n i p u l a t o r s wi t h o pt i mi z ing t h e fle x i b i l i ty e l l i p s o i d wi t h b r a k e s Wh e n t h e p a s s i v e j o i n t s a r e f r e e s wi n g mo d e ， t h e mi c r o mo t i o n e q u a t i o n s o f t h e ma n i p u l a t o r c a n b e wri t t e n a s =J a +J p A0 p ( 1 0 ) wh e r e A xR _ Mi c r o d i s p l a c e me n t o f t h e e n d e ffe c t o r R S u b ma t r i x o f t h e J a c o b i a n o f t h e ma n i p u l a t o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e a c t u a t e d j o i n t s J一R _ s u b ma t r i x o f t h e J a c o b i a n o f t h e ma n i p u l a t o r c o rre s p o n d i n g t o t h e p a s s i v e j o i n t s R ， R Mi c r o d i s p l a c e me n t i n a c t u a t e d j o i n t s a n d t h e p a s s i v e j o i n t s r e s p e c t i v e l y Wh e n t h e p a s s i v e j o i n t s a r e l o c k e d ， t h e mi c r o m o t i o n e q u a t i o n c a n b e d e s c r i b e d a s A x=J 1 碍 ( 1 1 ) wh e r e R Mi c r 0 一 d i s p l a c e me n t o f t h e e n d e ffe c t o r J I R J a c o b i a n o f the mani p u l a t o r a s p a s s i v e j o i n t s l o c k e d A qR Mi c r o d i s p l a c e me n t i n the a c t u a t e d j o i n t s I t i s o b v i o u s l y t h a t E q s ( 1 1 ) a n d( 3 )h a v e t h e s a me f o r ms E q s ( 1 0 )a n d( 1 1 ) i n d i c a t e t h a t an u n d e r a c tua t e d ma n i p u l a t o r h a s t wo d i ffe r e n t mo d e l i n k i n e ma ti c s I n o t h e r wo r d s ， t h e s y s t e m h a s t h e f e a t u r e o f mu l t i mo d e s i n k i n e ma t i c s A p l a n a r 3 R ma n i p u l a t o r s h o wn i n Fi g 4 c a n b e r e g a r d e d a s a n e x a mp l e o f t h i s Th e s e c o n d j o i n t o f t h e ma n i p u l a t o r i s p a s s i v e ， a n d t h e o t h e r s a r e a c t u a t e d Wh e n the p a s s i v e j o i n t i s fre e ，0R c a n b e c h o s e n a s t h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s I f t h e p a s s i v e j o i n t i s l o c k e d ， t h e DO F s o f t h e ma n i p u l a t o r c h an g e s t o tw o ，and t h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s c an b e s e l e c t e d a s qR F o r t h e r e a s o n o f q0 o b v i o u s l y t h u s the J a c o b i a n ma t rix s a t i s fie s t h e r e l a t i o n s h i p o f -， I l I Fi g4 P l a n a r 3 R ma n i p ul a t o r B y r e a s o n t h a t t h e u n d e r a c tua t e d ma n i p u l a t o r h a v e d i ffe r e n t k i n e ma t i c s mo d e s ，o n e c an s e l e c t a n o p t i ma l c o n fi g u r a t i o n a n d r e c o n fi g u r e t h e ma n i p u l a t o r for a d a p t i n g t o a d i ffe r e n t t a s k An e s s e n t i a l p r o b l e m i s h o w t o p r e d i c t t h e p e r f o rm a n c e o f t h e ma n i p u l a t o r for f u 1 1 一 a c t u a t e d mo d e l b a s e d o n t h e u n d e r a c tua t e d mo d e o f i t Un l i k e a f u 1 1 a c t u a t e d r e d u n d ant ma n i p u l a t o r , t h e u n d e r a c tu a t e d r e d u n d an t ma n i p u l a t o r c a n n o t i mp r o v e t h e p e r form a n c e b y i t s e l f a n d i mp l e me n t a ma n i p u l a t i o n t a s k s i mu l t a n e o u s l y t o t h e r e a s o n o f f e we r d i me n s i o n s i n i n p u t s pa c e t h a n t h e t a s k s p a c e A f e asi b l e a p p r o a c h i s t o d e c o mp o s e t h e s e t a s k s t o i n d i ffe r e n t t i me f o r a c t u a l i z i n g F o r e x a mp l e wh e n t h e ma n i p u l a t o r i s wo r k i n g i n t h e un d e r a c tua t e d mo d e ， o n e c a n r e c o n fi g u r e t h e me c h a n i s m for a n a p p r o p ria t e c o n fig u r a t i o n Wh e r e a s wh e n the ma n i p u l a t o r i s wo r k i n g i n t h e f u 1 1 a c t u a t e d mo d e o n e c a n c o n t r o l i t t o ma n i p u l a t i o n S u b s t a n t i v e l y t h e ma n i p u l a t o r wo r k i n g i n un d e r a c tua t e d mo d e c an r e a l i z e s o me mani l ：、 u l a t i o n s u c h as p o s i t i o n c o n tro l p o r d i s c r e t e p o i n t t o p o i n t mo t i o n L 4 1 Bu t t h i s i s n o t the c e n tr a l o f thi s P a D e r We p a y a tte n t i o n t o the s t a t i c f e a t u r e an d s e l f - r e c o n fi g u r a t i o n c o n tr o l me t h o d o f t h e u n d e r a c tua t e d r e d u n d a n t man i p u l a t o r T h e k i n e ma t i c a l e q u a t i o n s o f t h e tw o mo d e s o f t h e u n d e r a c tua t e d ma n i p u l a t o r c a n b e e s t a b l i s h e d b y ma n y me t h o d s ( s u c h a s De n a v i t Ha r t e n b e r g me t h o d ) b u t t h e r e i s a d i ffic u l t y i n t h e s t r u c t u r e p a r a me t e r t o b e d e fi n e d for a mu l t i DOF ma n i p u l a t o r t h a t i s c o mp l i c a t e d i n me c h an i s m T o r e s o l v e t h i s p r o b l e m n e x t we a n a l y z e t h e r e l a t i o n s h i p b e tw e e n the tw o mo d e s o f t h e u n d e r a c tua t e d r e d u n d ant ma n i p u l a t o r Gi v e n a s p e c i a l c o n fig u r a t i o n o f t h e ma n i p ul a t o r ,a n d s u p p o s i n g t h a t h a s , m t h e d e form a t i o n s o f t h e e n d e ffe c t o r u n d e r t h e tw o mo d e s o f t h e me c h an i s m wi l l b e t h e s a me Th i s c a n b e e x p r e s s e d a s - ， I A q=J + p ( 1 2 ) J a a a a J e =0 ( 1 3 ) T h a t me ans t h e mic r o mo t i o n o c c u r r e d i n j o i n t s p a c e d o e s n o t c h a n g e the p o s i t i o n o f t h e e n d e ff e c t o r F r o m E q ( 1 3 ) ， an e x p r e s s i o n c a nb ewritt e n a s 8 =一 J J a 8 a ( 1 4 ) wh e r e ( ) d e n o t e s t h e Mo o r e P e n r o s e p s e u d o i n v e r s e S u b s t i tut i n g E q ( 1 4 ) i n t o E q ( 1 2 ) ， we o b tai n -， I = (，一 J pJ ； ) J a l A O a ( 1 5 ) E q ( 1 5 ) d e s c ri b e s t h e s a me c o n fi g u r a t i o n o f the two mo d e s o f the un d e r a c tua t e d ma n i p u l a t o r T h e r e f o r e t h e mi c r o mo t i o n d e n o t e d b y t h e tw o kin d s o f g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s wi l l b e s a me Le t A q=AO a ， af o rm u l a t i o ni s o b t a i n e d a s -， I = ( ，一 J os ； )s ( 16 ) E q ( 1 6 )s h o ws t h e r e l a t i o n s h i p o f the J a c o b i a n i n the two mo d e s ，wh i c h c an b e u s e d t o p r e d i c t t h e p e r f o rm a n c e o f t h e f u l l a c t u a t e d mo d e S u b s t i t u t i n g E q ( 1 6 )i n t o E q ( 5 ) ， a n e w fl e x i b i l i t y ma tri x o f u n d e r a c tua t e d ma n i p u l a t o r i n ful l a c t u a t e d mo d e c an b ewritt e n a s c：J k 一、 J ( 1 7 ) T h e GF E for t h e u n d e r a c tua t e d ma n i p u l a t o r c an a l s o b e d e fi n e d a c c o r d i n g a s E q ( 7 1 E q ( 1 7 )i n d i c a t e s t h e s tat i c f e a t u r e o f t h e s y s t e m a f t e r t h e me c h a n i s m r e c o n fig u r e d On e e mo r e ，we s h o w i t b y the p l anar 3 R ma n i p u l a t o r ( F i g 4 、 F o r a n o n r e d u n d a n t ma n i p u l a t o r i f we g i v e a p o i n t i n t h e t a s k s p a c e t h e r e i s o n l y o n e fl e x i b i l i t y e l l i p s o i d c o rre s p o n d i n g t o i t By c o n t r a r y ，t h e r e a r e ma n y o n e s c o rre s p o n d i n g t o a p o i n t i n t a s k s p a c e for a r e d un d a n t me c h a n i s m S u p p o s i n g t h e l i n k s l e n g t h o f t h e 3 R m a n i p u l a t o r are L ， =L ，=0 5 m an d L ：1 0m ，t h e i n i t i a l c o n fig u r a t i o n i s =6 0 。， =一6 0 。， =一 3 0 。， s o meo ft h eGF Es c o rre s p o n d i n g t o t h e i n i t i a l p o s i t i o n o f the e n d e f f e c t o r are g i v e n i n Fi g 5 I t i s o b v i o u s l y t h e r e are a l o t o f c o n fig u r a t i o n s i n i o i n t s p a c e c o rre s p o n d i n g t o o n e s t a t e o f t h e tas k s p a c e Th e s e c o n fig u r a t i o n s are c o rre s p o n d i n g t o d i ffe r e n t g e n e r a l i z e d fl e x i b i l i t y e l l i p s o i d s r e s p e c t i v e l y Th u s an u n d e r a c tua t e d r e d u n d a n t mani p u l a t o r h a s t h e c a p a b i l i t y o f r e c o n fi g u r a t i o n Ge n e r a l l y ， we e x p e c t t h e g e n e r a l i z e d fle x i b i l i t y e l l i p s o i d h a s a s i mi l ar p e r f o rm an c e i n d i ffe r e n t d i r e c t i o n o f t h e p ri n c i p l e a x e s I n o t h e r wo r d s ，t h e e l l i p s o i d i s mo r e s i mi l ar t o a b a l 1 S o the fi r s t c o n fig u r a t i o n h a s t h e b e s t p e r f o rm a n c e a mo n g t h e t h r e e c o n fi g u r a t i o n s t h a t i s g i v e n i n F i g 5 维普资讯 CHI NE S E J OUR NAL OF M E CHANI CAL E NGI NEE RI NG 9 5 Si n g ul a r i t y v a l u e ( a ) C o o r d i n a t e z m ( b) Fi g 5 Ge n e r a l i z e d fle xi b i l i t y e l l i ps o i d s o f 3 R u n d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r 1 8 0 9 。， = 4 8 1 9 。，一 9 O 3 2 。 2 0 r 2 4 8 5 。， 1 7 8 9 。，0 3 _ 8 1 1 5 。 3 6 O 。，舡_ 6 O 。，一 3 O 。 3 NoNLI NEAR CoNTRoL F o r fi n d i n g a n a p p r o a c h t h a t c a n c o n t r o l t h e u n d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r e f fic a c i o u s l y ,we a n a l y z e t h e d y n a mi c s y s t e m Th e d yn a mi c e q u a t i o n s f o r t h e u n d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r c a n b e wr i t t e n a s I a+I p+ca = M O a= Aos i nro t 0 =一 Ac o c o s ot wh e r e A AI n p l i t L l d e o f t h e h a r mo n i c f u n c t i o n 0 9 An g u l a r fre q u e n c y o f t h e h a r mo n i c f u n c t i o n 0 Ti met s ( a) 1 0 P o s i t i o n o f p a s s i v e jo i n t 0 ( 。 ) ) Fi g 6 He l i c o n mo t i o n o ft wo DOFs p l a n a r u n de r a c t u a t e d man ip u l a t o r ( 2 1 ) ( 2 2 ) I f w e a p p r o x i ma t e E q ( 2 2 ) b y the fi r s t i t e m o f i t s e x p o n e n t i a l p r o g r e s s i o n ， and s u b s ti t u t e i t t o E q ( 1 9 ) ， w e o b t a i n J ( c 口一 A I f ( o ) ( 2 3 ) ( 1 8 ) Ge n e r a l l y ，t h e ang u l a r fre q u e n c y 0 9 i s a l arg e n u mb e r , +J p p +c p ：口 ( 1 9 )the r e f o r e t h e p e ri o d 2 n o f the h a m 。 n ic fun c t i o n i s a s ma l l wh e r e J=乏 Ja p denotes m e m ass inen ia m a仃 ix， c = I c a c 口 I is t h e v e c to r o f C o r io l is ， c e n t ri fu g a l ， gr a v it a t io n a l and f r i c t i o n a l t o r q u e ， M i s t o r q u e v e c t o r o f the a c t u a t e d i o i n t s ， i s t h e g e n e r a l i z e d C O 0 r d i n a t e s v e c t o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e a c t ua t e d j o i n t s ， wh e r e a s c o rre s p o n d i n g t o t h e p a s s i v e j o i n t s E q ( 1 9 )i s s e c o n d o r d e r n o n h o l o n o mi c c o n s tra i n t s g e n e r a l l y t h a t h a v e b e e n p r o v e d b y J a i n e t a l t An u n d e r a c t u a t e d r e d u n d a n t ma n i p u l a t o r h a s t h e c a p a b i l i t y o f i mp r o v i n g t h e p e r for man c e o f the me c h a n i s m for a g i v e n p o s i t i o n i n t ask s p a c e b y r e c o n fi g u r a t i o n F o r t h e r e a s o n o f l e s s d i me n s i o n o f i n p u t s p a c e t h an t h a t o f t h e i o i n t s p a c e ， the p o s i t i o n c o n tro l o f t h e p ass i v e i o i n t c a n o n l y b e r e a l i z e d b y t h e d y n am i c c o u p l i n g Base d o n t h e Br o c k e tt s t h e o r yt ” Jthe r e i s n o s mo o t h s tat i c s t a t e f e e d b a c k l a w t h a t asy mp t o t i c a l l y s tab i l i z e s t h e s y s t e m t o a g i v e n c o n fig u r a t i o n T h e r e for e ，t h e r e s u l t s t h a t h a v e b e e n p r o p o s e d for c o n tr o l l i n g o f t h e n o n h o l o n o mi c s y s t e m are n o n l i n e ar i , t i me v a r y i n g a n d d i s c r e t e n n a t u r e A n o n l i n e ar c o n tro l me t h o d t h a t h as a ma n n e r o f h a rm o n i c fun c t i o n for a c tua t e d j o i n t i s p r o p o s e d i n R e f 1 7 T h e b a s i s o f t h i s me t h o d i s t h a t t h e p a s s i v e j o i n t s i s wi l l d e v i a t e the i r e q u i l i b ri u m p o s i t i o n wh e n t h e a c t u a t e d j o i n t i s mo v i n g i n a p e ri o d i c ma n n e r ( F i g 6 ) T h e h a r mo n i c mo t i o n i s i n p u t t o t h e a c t u a t e d j o i n t ， s u c h a s 0 =Ac o s o t ( 2 0 ) o n e ， a n d t h e i t e ms s u c h as J p p - 1 c 口， a n d c an b e tr e a t e d a s c o n s ta n t i n t h e t i me o f a p e ri o d T h e i n t e gra l o f E q ( 2 3 ) c a n b e a p p r o x i ma t e l y wr i t t e n as L I - l ( C p - A I ) ( 2 4 ) E q ( 2 4 )i n d i c a t e s a n a p p r o x i ma t e d e v i a t i o n a ft e r a p e ri o d i c t i me I t i s o b v i o u s l y tha t t h e v a l u e o f t h e i n t e gra l d e p e n d s o n the am p l i t u d e and a n g u l ar fre q u e n c y o f t h e h a r mo n i c i n p u t s Th i s i s the r e aso n o f t h a t the h a rmo n i c i n p u t s i n a c t u a t e d j o i n t s c a n c o n - tr o l t h e mo t i o n o f t h e p ass i v e o n e 4 S ELF RECoNF I GURATI oN CoNTRoL Th e s e l f - r e c o n fi g u r a t i o n n e e d s a s tab l e c o n tr o l t e c h n o l o g y Ba s e d o n t h e h a r mo n i c i n p u t n o n l i n e a r c o n tr o l me tho d t h a t g i v e n i n s e c t i o n 3 b rie fl y , n e x t we wi l l d e s i g n a n e w c o n tro l s c h e me t o i mp l e me n t t h e s e l f - r e c o n fig u r a t i o n mo t i o n T h i s me t h o d wi l l b e u s e d t o o p t i mi z e t h e g e n e r a l i z e d fle x i b i l i t y e l l i p s o i d f o r a g i v e n p o s i t i o n i n t h e t a s k s p a c e Gi v e n d e n o t e s a n e x p e c t e d c o n fi gu r a t i o n t h a t i s d e ri v e d fro m s o me o p t i mi z i n g me t h o d ，0 i s t h e a c t u a l p o s i t i o n o f the ma n i p u l a t o r I e t e = d 一 0 ( 2 5 ) 5 0 一 b j一日 J ( = 日一；昌_ 力。 1 0 【 J o a o 互 o 。 a o 一一日 o勺 g c I P 】 0 o 0 维普资讯 9 6 He Gua n g pi n g ， e t a l ： S e l f - r e c o n fig u r a t i o n o f u nd e r a c t u a t e d r e d u n d a n t ma n i p u l a t o r s wi t h o p t i mi z i n g the fl e x i b i l i t y e l l i p s o i d wh e r e e V e c t o r o f j o i n t p o s i t i o n e r r o r s d e c o mp o s i n g E q ( 2 4 ) t o f o l l o wi n g f o r m d。一 0 j l d a 一 j a s l i d i n g mo d e l i s g i v e n b y sa = a +k l e a a n d t h e c o n v e r g e n c e l a w i s s e l e c t e d a s =一k 2 s g n ( S , ) 一 k 3 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) w h e r e ， k l 0 ，七 2 0 ，如 0 ， a n d s g n ( ) i n d i c a t e s a s i g mo i d f u n c t i o n ， wh i c hh a sthef o rmo f f 1 s0 。 g n ( ) 1 一 l 0 I f v e c t o r h as a m ann e r o f ：， f o l l o wi n g e q u a t i o n ma y b e o b t a i n e d j O ，砰一 4 k p 0 ， s o th a t f o l lo w in g r e l a ti o n s c a n b e d b t a i n e d + k d d p +k p e p =0 ( 3 0 ) S u b s t i tut i n g the t wi c e t i me d e riv a t i o n o f the s e c o n d r o w o f E q ( 2 6 ) i n t o E q ( 3 0 ) ， a r e s u l t c an b e g i v e n b y ： p+ P L e t the i n p u t s o f the a c t u a t e d j o i n t s b e =一Ac o c o s t ( 3 1 ) ( 3 2 ) s u b s t i tuti n g E q s ( 3 1 ) and( 3 2 ) i n t o E q ( 1 9 ) ， the f o l l o w i n g r e l a t i o n s h o l d ( 一 A co 2 c O S O ) t ) + I p p ( + |l ) + c = 0 ( 3 3 ) andthe a mp l i tud e o f theh a r mo n i c c an b e g i v e nb y 4 ： ( I o 2 c o s n ，f) + ， ( rd + k e p ) + c ( 3 4 ) T h u s i f t h e p ass i v e j o i n t i s n o t i n t h e e x p e c t e d p o s i t i o n ， t h e c o n t r o l i n p u t o f t h e a c tua t e d j o i n t i s d e fi n e d b y E q s ( 3 2 ) a n d( 3 4 ) O n the o the r h and ， i f the p a s s i v e j o i n t i s i n the e x p e c t e d p o s i t i o n ， the c o n tr o l i n p u t wi l l c h ang e t o the f o l l o wi n g e q u a t i o n F r o m E q ( 2 7 ) ， the t i me d e ri v a t i o n i s ： + =一 +k t e , ( 3 5 ) C o mb i n i n g E q s ( 2 8 ) and ( 3 5 ) ， t h e c o n tr o l l a w i s g i v e n b y =k i d +k 2 s g n ( S ) +k 3 S 。 ( 3 6 ) I t i s o b v i o u s l y tha t the me t h o d s u g g e s t e d h e r e i s n o n l i n e ar a n d t i me v a r y i n g ， wh i c h o b e y s the Br o c k e R s t h e o r y Re a r r a n g i n g t h e a l g o rit h m a b o v e ， t h e c o n tro l l a w c an b ewrit t e nas = +k l e a ( 3 7 ) W h e n e p =0 i s s a t i s fie d 6 ：k 、 I + k 2 s g n ( S ) + k 3 S I Whe n e p0 i s s a t i s fi e d = c 。 s 小 1 op ( + k pe p ) + 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r r o r s o f t h e j o i n t s ( 。 ) ( d) F i g 7 Se l f - r e c o n fig u r a t i o n of the 3 R un d e r a c t u a t e d ma n i p u l a t o r 1 J o i n t 1 2 J o i n t 2 3 J o i n t 3 。 v 墨口趸 s 】 o 暑口。鼍 o 。 v 暑口量 0口。互s 0 ) v s 】 o 暑唔 I o口 o I 】 gI 1 维普资讯 CHI NES E J OURNAL OF M E CHANI CAL E NGI NEE RI NG 9 7 t h e i o i n t s p o s i t i o n e r r o r s wi t h r e s p e c t t o t i me ； F i g 7 b i s t h e i o i n t s t r a j e c t o r y r e s p e c t t o t i me ； F i g 7 c s h o w s t h e t r a n s for ma t i o n o f t h e ma n i p u l a t o r s c o n fig u r a t i o n i n t h e s e l f - r e c o n fi g u r i n g c o n tro l ； F i g 7 d s h o ws the p h a s e r e l a t i o n s b e t we e n the s p e e d a n d p o s it i o n o f the i o i n t s Ob v i o u s l y ,t h e ma n i p u l a t o r i s r e c o n fi g u r e d t o the e x p e c t ed c o n fig u r a ti o nb yi t s e l f 6 CoNCLUS I oNS T h e u n d e r a c t u 【a t e d t e c h n o l o g y i s a c r u c i a l p r o b l e m n o t o n l y f o r f a u l t t o l e r an c e o f s p a c e r o b o t s y s t e ms b u t a l s o for c o o p e r a t i o n r o b o t and me t a mo r p h i c me c h a n i s ms T h e u n d e r a c t u a t e d r e d u n d a n t ma n i p u l a t o r h as t h e c a p a b i l i t y o f r e a l i z i n g t h e me c h an i s m r e c o n fi g u r a t i o n b y i t s e l T h e n e w g e n e r a l i z e d fl e x i b i l i t y e l l i p s o i d me a s u r e o f t h e u n d e r a c t u a t e d r e d u n d a n t ma n i p u l a t o r wi th p a s s i v e i o i n t s b r a k e d mo d e i s s u g g e s t e d ，and the me asure c a n b e u s e d t o o p t i mi z e t h e s t a t i c pe r f o r ma n c e o f the s y s t e m A n o v e l n o n l i n e a r c o n tro l a l g o r i thm b a s e d o n the h a r mo n i c f u n c t i o n c a n i mp l e me n t themo t i o n o f the s e l f - r c c o n fi g u r a fi o n T h e s i mu l a t i o n r e s u l t s b y a t h r e e DOF s un d e r a c t u a t ed ma l l i p u l a t o r p r o v e t h e me a s ure a n d t h e c o n tr o l a l g o r i t h m i s e ff e c t u a 1 Re f e r e nc e s 1 Na k a m u r a Mu k e r h e r j e e R No n h o l i n o mi c p a th p l a n n in g o f s p a c e r o - bo t i c s v i a a b i - d i r e c tio n a l a p p r o a c h I EE E Tr a n s act i o n s o n Ro b o t i c s a nd Au t o m a t i o n ， 1 9 9 1 ， 7 ( 4 ) ： 5 0 0 - 5 1 4 2 M o o r e C A， P e s h k in M A， Co l a t e J E De s i g n o f3 R e o bo t u s in g c o n t inu - o i l s v a r i a b l e tr an s mi s s i o n s I EEE1 n t e r n a t i o n a 1 Co n f e r e n c e o i l Ro b o t i c s an d Au t o mat i o n 。1 9 9 9 ： 3 2 4 9 - 3 2 5 4 3 Da i J S Z h ang Q x Me t

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