江苏省2016届高考数学预测卷(一)含答案

1 江苏省 2016 届高考预测卷一 一、填空题：本大题共 14题，每小题 5分，共 70 分请把答案填写在 答题纸相应位置上 1. 设集合 1 4x , 034 2 则 )( )4,31,1 2. 函数23( ) = l n ( 2 )1xf x x 的定义域为 (1,2) 3 已知 复数 21 iz i (为虚数单位 )， z 的共轭复数为 z ，则 4 阅读右面的程序框图 ,当该程序运行后输出的 S 值是 32 5. 设 x R,则“ ”是“ )()( 为奇函数”的 必要而不充分条件 6. 在不等式 组 0 2,02 表示的平面区域内任取一个点 ( , )Px y ，使得 1的概率为 18 7. 已知点 P 在抛物线 2 4上，它到抛物线焦点 的距离为 5，那么点 P 的坐标为 (4, 4)，（ 4， 8. 将函数 f x x 的图象向左平移6个单位后与函数 象重合，则函数 )3x 9. 在各项均为正数的等比数列 64则数列 20 项和等于 10 . 10. 已知 平行四边形 ， 120 ， 1 , 2D,点 P 是线段 的一个动点，则P取值范围 是 _,24_ 11. 已知两 个 同底的正四棱锥的 所有 顶点都在同一球面上， 它们的 底面边长为 2，体积的比值为 12，则该球的 表面 积为 9 12. 已知 P（ a， b）为圆 22 4 上任意一点，则2214最 小时， 2a 的值为 43 13. 已知 F 为抛物线 24 的焦点， P（ x， y）是该抛物线上的动点，点 A 是抛物线的准线 与 x 轴的交点，当 P 的坐标为 _ 2,1 _ 14. 已知函数 4l o g 3 ( 0 ) ,()1( ) 3 ( 0 ) ,4xx x 若 ()x，则12|3 二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 请在 答题纸指定区域 内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 开始 否 是 ?12束 1 1,1,2 15. 已知 函数 )c o s (s o 2 , x R. （） 求 )(最小正周期及单调区间； （） 求 )(区间 44 ，上的最大值和最小值 . 解： （）解 : 因为 )c o s(s 2c o s o 23)62 x. （ 2 分 ） 所以 , )(最小 正周期 22T. （ 3 分 ） 由 2 x k Z,可得 x k Z,来源 :学 +科 +网 Z+X+X+K 故 )(单调递增区间为 6,3 k Z. （ 6 分 ） 由 2 x k Z,可得 x k Z, 故 )(单调递减区间为 32,6 k Z. （ 9 分 ） （）解 : 由（）可知 , )(区间 64 ，上单调递增 ,在区间 46 ，上单调递减 , 0)4( f , 231)6( f , 3)4( f . （ 12 分 ） 所以 )(区间 44 ，上的最大值为231,最小值为 0 . （ 14 分 ） 16. 如图，三棱柱 面 底面 1C=， ，且 D， E， C， 1点 （ ） 求证： 平面 （ ）求证： 平面 （）写出四棱锥 体积 .（只写出结论，不需要说明理由） 证明： （ ） 因为在 1C， C 中点 ， 所以 因为 侧面 底面 侧面 面 所以 平面 （ ） 设 ，连结 在四边形 2又因为 2 所以 行且相等， 所以 四边形 平行四边形； C 1B 1A 1 B 3 所以 又因为 平面 ， 在 平面 ， 所以 平面 （ ） 四棱锥 体积 为 2 33 . 17. 如图，某城市有一条公路从正西方 过市中心 O 后转向东北方 要修筑一条铁路 L， L 在 ，在 设一站 B，铁路在 分为直线段，为了市民出行方便与城市环境问题，现要求市中心 O 到 距离为 10 （ 1）试求 于角 的函数关系式； （ 2）问把 A、 B 分别设在公路上离市中心 O 多远处，才能使 短，并求其最短距离 解（ 1） 如图，作 直 足为 M，则 0， 由题意 135 ， (0 , 45 ) ， 45O B A 在中，由正弦定理得s 3 5 s O B，即 22 s 在 中， 10s i n ( 4 5 ) ， 所以2 2 1 0 1522 s i n 2 s i n s i n ( 4 5 ) s i n s i n ( 4 5 ) （ 2） 2 1 02 s i n ( s i n 4 5 c o s c o s 4 5 s i n ) 21 0 2 0s i n c o s s i n s i n 2 c o s 2 1 202 s i n ( 2 4 5 ) 1 因为 (0 , 45 ) ，所以当 时有 最小值 20( 2 1) 此时， 10 1 0 4 4 2s i n 2 2 . 5O A O B 18. 设椭圆 1:2222 0( 焦点分别为 21 ,且 )0,( ),0( 满足条件2122 . （ ）求椭圆 C 的离心率 ； （ ）若坐标原点 O 到直线 距离为233,求椭圆 C 的方程 ； （）在（）的条件下 ,过点 )1,2(P 的直线与椭圆 C 交于 两点 ,且点 P 恰为 线段 中点 ,求直线的方程 . （）解 : 依题意 ,得 222 ,而 222 , （ 2 分 ） 则有 )(2 222222 ,即 22 32 ,故 （ 3 分 ） 4 所以离心率36 （ 4 分 ） （ ）解 : 由 （ ）可得 32 2222 , （ 5 分 ） 直线 截距式方程为 1 0 （ 6 分 ） 依题意 ,得23322 （ 7 分 ） 由,33,2 33223 （ 9 分 ） 所以椭圆 C 的方程的方程为 192722 （ 10 分 ） （）解 : 设 两点的坐标分别为 ),(11 ,(22 依题意 ,可知 21 ,且 19272121 19272222 （ 11 分 ） 两式相减 ,得1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 02 7 9x x x x y y y y . （ 13 分 ） 因为 )1,2(P 是线段 中点 ,所以 421 221 则有3221 21 xx 直线的斜率为32,且直线过点 )1,2(P , （ 14 分 ） 故直线 的方程为 )2(321 0732 （ 16 分 ） 19 设函数 ( ) e ( 1 )xf x a x （） 求 函数 () （）若函数 ()0,2 上存在唯一零点，求 a 的取值范围 . 解： （） ( ) xf x e a， （ 1）若 0a ，则在区间 ( , ) 上 ( ) 0， ()所以当 0a 时， ()单调 递增 区间 为 ( , ) ，没有极值点 . （ 2） 若 0a ，令 ( ) 0，即 ，解得 ， 因为函数 ( ) xf x e a在区间 ( , ) 是递增函数， 所以在区间 ( ,a 内 ( ) 0， ()区间 ( )a 内 ( ) 0, () 所以当 0a 时， ()减 区间 为 ( ,a ， ()增区间为 ( )a 所以当时， 函数 () a a . 5 （） （ 1） 当 0a 时， 由 （） 可知， () , ) 上 单调 递增， 因为 ( 0 ) 1 , ( 1 ) e 0f a f ， 令 ( 0 ) 1 0 ，得 1a . 所以当 1a 时， ()0,2 上存在唯一零点 . （ 2）当 0a 时， 由 （） 可知， 为 函数 () 因为 ( 0 ) 1 0 ， 若函数 ()0,2 上存在唯一零点 ，则只能是： ( 0,0 ，或 (2) 0,. 由得 2；由得 2. 综上所述， 函数 ()上 (0,2 上存在唯一零点， 则 1a 或 2. 20 已知数列 前 n 项和为 且满足 6， 3(n 1)n(n 1) （ 1） 求 （ 2）求数列 通项公式 ； （ 3）已知数列 通项公式是 判断数列 否是单调数列，并证明 对任意的正整数 n，都有 1 6 2 解 （ 1）令 n 1 得 322，解得 2；令 n 3 得 3(8 412，解得 12 （ 2）由已知 3(n 1)n(n 1)， 3 (n 2) (n 1)(n 2)， 得 3 (n 2) (n 1)2(n 1)， 即 (n 1) (n 1)2(n 1) 0， 所以 (n 2) 2(n 2) 0， 得 (2n 1) (n 1)2 0， 即 n( ) (n 1)( 2 0， 从而 (n 1)( ) (n 2)( ) 2 0， 得 (n 1)( ) 2(n 1)( ) (n 1)( 0， 即 ( ) 2( ) ( 0， 即 ( ) ( ) ( ) ( 所以数列 等差数列，首项为 4，公差为 ( ( 2， 所以 4 2(n 1) 2n 2，即 2n， 2(n 1)， 6， 4，2， 相加得 2 4 6 2(n 1) 2n n(n 1) （ 3）数列 单调递减数列，证 明如下： 因为 (n 1)(n 2) n(n 1) 2 n 1n 2 n， 所以 2 n 2n 3 n 1，要证明 价于证明 n 1n 2 n n 2n 3 n 1n 1(n 1)(n 3) n 2 n(n 2)； (n 1)(n 3) n(n 2) 1 2n 3 (n 1)(