福建省南平市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年福建省南平市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1已知直线 x 在 y 轴上的截距是 2，则 a 等于（ ） A B C 2 D 2 2已知集合 A=1， 2， 3， 4， 5， B=x|x 2，则 AB 等于（ ） A 1 B 1， 2 C 1， 2， 3 D 1， 2， 3， 4 3函数 f（ x） =3x+x 5，则函数 f（ x）的零点一定在区间（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 4以（ 2， 1）为圆心且与直线 x+y=3 相切的圆的方程为（ ） A（ x 2） 2+（ y+1） 2=2 B（ x+2） 2+（ y 1） 2=4 C（ x 2） 2+（ y+1） 2=8 D（ x+2） 2+（ y 1） 2=8 5已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ，下列命题正确的是（ ） A若 ，则 l m B若 l m，则 C若 l ，则 m D若 ，则 l m 6已知 a= b=5c=3 ，则 a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B a c b C b a c D b c a 7两平行线 3x 4y 2=0 与 3x 4y+8=0 之间的距离为（ ） A 2 B C 1 D 2 8若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C 1 D 2 9已知 a 0 且 a1，下列函数中，在区间（ 0， a）上一定是减函数的是（ ） A f（ x） = B f（ x） =3 C f（ x） = f（ x） =0已知直线 l 与直线 2x 3y+4=0 关于直线 x=1 对称，则直线 l 的方程为（ ） A 2x+3y 8=0 B 3x 2y+1=0 C x+2y 5=0 D 3x+2y 7=0 11设全集 U=R，集合 A=x| 4 x 1， B=x|4 ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A（ 2， 1 B（ 1， +） C（ ， 4 D（ ， 4 （ 2， 1） 12函数 y=（ 1） e|x|的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13已知点（ 1， 1， 2）关于 x 轴对称点为 A，则点 A 的坐标为 第 3 页（共 17 页） 14已知球 O 的表面积是其半径的 6倍，则该球的体积为 15已知定义在（ ， +）的函数 f（ x）满足 f（ x+1） f（ x） =x ），若 f（ 1） =2，则 f（ 2） = 16已知圆 C： x2+4x+m=0 与圆（ x 3） 2+（ y+2 ） 2=4 外切，点 P 是圆 C 上一动点，则点 4y+4=0 的距离的最大值为 三、解答题（共 6小题，满分 70分） 17已知集合 A=x|1x 4， B=x|x a 0 （ 1）当 a=3 时 ，求 AB， A B； （ 2）若 AB，求实数 a 的取值范围 18已知直线 l： x 2y 1=0，直线 1， 2） （ 1）若 l，求直线 （ 2）若 l，求直线 19已知函数 f（ x）满足 f（ ） =x+ （ 1）求函数的解析式； （ 2）判断函数 f（ x）在区间（ ， +）上的单调性，并用定义法加以证明 20已知四棱锥 P 底面是菱形 D， E 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证：平面 平面 第 4 页（共 17 页） 21已知函数 f（ x） =（ ） x+a 的图象经过第二、三、四象限 （ 1）求实数 a 的取值范围； （ 2）设 g（ a） =f（ a） f（ a+1），求 g（ a）的取值范围 22已知圆 C 关于直线 x+y+2=0 对称，且过点 P（ 2， 2）和原点 O （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）相互垂直的两条直线 （ 1， 0），若 所截得弦长相等，求此时直线 第 5 页（共 17 页） 2015年福建省南平市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1已知直线 x 在 y 轴上的截距是 2，则 a 等于（ ） A B C 2 D 2 【考点】 直线的截距式方程 【专题】 计算题；方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 直接把点（ 0， 2）代入直线方程，求出 a 即可 【解答】 解：已知直线 x 在 y 轴上的截距是 2， 即直线过（ 0， 2），代入得： 2a=4， 则 a= 2， 故选： C 【点评】 本题考查了一次函数图象上点的坐标的特点，是一道基础题 2已知集合 A=1， 2， 3， 4， 5， B=x|x 2，则 AB 等于（ ） A 1 B 1， 2 C 1， 2， 3 D 1， 2， 3， 4 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题；集合思想；集合 【分析】 由 A 与 B， 求出两集合的交集即可 【解答】 解： A=1， 2， 3， 4， 5， B=x|x 2， AB=1， 故选： A 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 3函数 f（ x） =3x+x 5，则函数 f（ x）的零点一定在区间（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 二分法求方程的近似解 第 6 页（共 17 页） 【专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 根据函数零点存在定理，若 f（ x） =3x+x 5 若在区间（ a， b）上存在零点，则 f（ a） f（ b） 0，我 们根据函数零点存在定理，对四个答案中的区间进行判断，即可得到答案 【解答】 解：当 x=1 时， f（ 1） =31+1 5= 1 0 当 x=2 时， f（ 2） =32+2 5=6 0 即 f（ 1） f（ 2） 0 又 函数 f（ x） =3x+x 5 为连续函数 故函数 f（ x） =3x+x 5 的零点一定位于区间（ 1， 2） 故选 B 【点评】 本题考查的知识点是零点存在定理，我们求函数的零点通常有如下几种方法： 解方程；利用零点存在定理； 利用函数的图象，其中当函数的解析式已知时（如本题），我们常采用零点存在定理 4以（ 2， 1） 为圆心且与直线 x+y=3 相切的圆的方程为（ ） A（ x 2） 2+（ y+1） 2=2 B（ x+2） 2+（ y 1） 2=4 C（ x 2） 2+（ y+1） 2=8 D（ x+2） 2+（ y 1） 2=8 【考点】 圆的标准方程 【专题】 计算题；方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离 d，即为所求圆的半径 r，然后由圆心和求出的 r 写出圆的标准方程即可 【解答】 解：由所求的圆与直线 x+y 3=0 相切， 得到圆心（ 2， 1）到直线 x+y 3=0 的距离 d= =2 ， 则所求圆的方程为：（ x+2） 2+（ y 1） 2=8 故选： D 【点评】 此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，直线与圆位置关系判别方法为：当d r 时，直线与圆相离；当 d=r 时，直线与圆相切；当 0 d r 时，直线与圆相交（ d 为圆心到直线的距离， r 为圆的半径），同时要求学生会根据圆心和半径写出圆的标准方程 5已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ，下列命题正 确的是（ ） 第 7 页（共 17 页） A若 ，则 l m B若 l m，则 C若 l ，则 m D若 ，则 l m 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】 综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离 【分析】 直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案 【解答】 解：对于 A、 B， 如图，由图可知 A， B 不正确； 直线 l 平面 ， l ， ， 对于 C， m平面 ， m 与 不一定垂直， C 不正确 对于 D， l 平面 ，直线 m平 面 若 ，则 l 平面 ，有 l m， D 正确； 故选： D 【点评】 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中的点线面的位置关系，是中档题 6已知 a= b=5c=3 ，则 a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B a c b C b a c D b c a 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 根据对数函数和指数函数 的图象和性质即可判断 【解答】 解： a= ， b=550=1， 0 3 = 30=1， a c b， 故选： B 【点评】 本题考查了对数函数和指数函数的图象和性质，关键求出与 0， 1 的关系，属于基础题 7两平行线 3x 4y 2=0 与 3x 4y+8=0 之间的距离为（ ） A 2 B C 1 D 2 【考点】 两条平行直线间的距离 【专题】 转化思想；直线与圆 第 8 页（共 17 页） 【分析】 利用两条平行线之间的距离公式即可得出 【解答】 解：两平行线 3x 4y 2=0 与 3x 4y+8=0 之间的距离 = =2 【点评】 本题考查了两条平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A B C 1 D 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 计算题 【分析】 几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，利用三视图的数据，直接求出棱柱的体积即可 【解答】 解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为： 1， ，棱柱的高为 ，所以几何体的体积为： =1 故选 C 【点评】 本题考查三视图与几何体的关系，考查想的视图能力与空间想象能力 9已知 a 0 且 a1，下列函数中，在区间（ 0， a）上一定是减函数的是（ ） A f（ x） = B f（ x） =3 C f（ x） = f（ x） =考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据基本初等函数的单调性，对选项中的每一个函数进行判断即可 第 9 页（共 17 页） 【解答】 解：对于 A， a 0 时，函数 f（ x） = =2 在区间（ 0， a）上是增函数，不满足条件； 对于 B，函数 f（ x） =3 在区间（ ， a）上是减函数， 在区间（ 0， a）上是减函数； 对于 C、 D，函数 f（ x） =f（ x） =+区间（ 0， a）上可能是增函数，也可能是减函数 综上，满足条件的是 B 故选： B 【点评】 本题考查了判断常见的基本初等 函数的单调性问题，是基础题目 10已知直线 l 与直线 2x 3y+4=0 关于直线 x=1 对称，则直线 l 的方程为（ ） A 2x+3y 8=0 B 3x 2y+1=0 C x+2y 5=0 D 3x+2y 7=0 【考点】 与直线关于点、直线对称的直线方程 【专题】 转化思想；综合法；直线与圆 【分析】 设 P（ x， y）为直线 l 上的任意一点，则点 P 关于直线 x=1 的对称点为 P（ 2 x， y），代入直线 2x 3y+4=0 即可得出 【解答】 解：设 P（ x， y）为直线 l 上的任意一点，则点 P 关于直线 x=1 的对称点为 P（ 2 x， y）， 代入直线 2x 3y+4=0 可得： 2（ 2 x） 3y+4=0，化为 2x+3y 8=0， 故选： A 【点评】 本题考查了轴对称性质、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11设全集 U=R，集合 A=x| 4 x 1， B=x|4 ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A（ 2， 1 B（ 1， +） C（ ， 4 D（ ， 4 （ 2， 1） 【考点】 表达集合的关系及运算 【专题】 数形结合；转化思想；集合 【分析】 由阴影部分表示的集合为 MN，然后根据集合的运算即可 【解答】 解：由图象可知阴影部分对应的集合为 U（ A B）， 第 10 页（共 17 页） 由 4 得 24x 即 4x =4 2， 则 x 2，即 B=（ 2， +）， A=x| 4 x 1， A B=（ 4， +）， 则 U（ A B） =（ ， 4， 故选： C 【点评】 本题主要考查集合的基本运算，利用 确定集合的关系是解决本题的关键 12函数 y=（ 1） e|x|的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数的函数奇偶性，值域即可判断 【解答】 解：因为 f（ x） =（ 1） e|x|=f（ x）， 所以 f（ x）为偶函数， 所以图象关于 y 轴对称，故排除 B， 当 x+时， y+，故排除 A 当 x 1 时， y 0，故排除 D 故选： C 【点评】 本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数奇偶性，值域，属于基础题 二、填 空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13已知点（ 1， 1， 2）关于 x 轴对称点为 A，则点 A 的坐标为 （ 1， 1， 2） 【考点】 空间中的点的坐标 【专题】 计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用 【分析】 一个点关于 x 轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变符号 【解答】 解： 点（ 1， 1， 2）关于 x 轴对称点为 A， 一个点关于 x 轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变符号， 第 11 页（共 17 页） 点（ 1， 1， 2）关于 x 轴对称的点的坐标为（ 1， 1， 2）， A（ 1， 1， 2） 故答案为：（ 1， 1， 2） 【点评】 本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对称性质的合理运用 14已知球 O 的表面积是其半径的 6倍，则该球的体积为 【考点】 球的体积和表面积 【专题】 计算题；球 【分析】 设球 O 的半径为 r，由球的表面积公式，解方程求得 r，再由球的体积公式，计算即可得到 【解答】 解：设球 O 的半径为 r， 则 4r， 解得 r= ， 则球的体积为 V= = 故答案为： 【点评】 本题考查球的表面积和体积的公式的运用，考查运算能力，属于基础题 15已知定义在（ ， +）的函数 f（ x）满足 f（ x+1） f（ x） =x ），若 f（ 1） =2，则 f（ 2） = 1 【考点】 抽象函数及其应用 【专题】 方程思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 根据抽象函数关系，利用赋值法进行求解即可 【解答】 解： 定义在（ ， +）的函数 f（ x）满足 f（ x+1） f（ x） =x ），且 f（ 1）=2， 当 x=1 时， f（ 2） f（ 1） =1 ） = 1， 即 f（ 2） = 1+f（ 1） = 1+2=1， 则 f（ 2） =1， 第 12 页（共 17 页） 故答案为： 1 【点评】 本题主要考查函数值的计算，利用抽象函数关系利用赋值法是解决本题的关键比较基础 16已知圆 C： x2+4x+m=0 与圆（ x 3） 2+（ y+2 ） 2=4 外切，点 P 是圆 C 上一动点，则点 4y+4=0 的距离的最大值为 3 【考点 】 圆与圆的位置关系及其判定 【专题】 直线与圆 【分析】 根据两圆外切求出 m 的值，利用直线和圆的位置关系即可得到结论 【解答】 解：圆 C 的标准方程为（ x 2） 2+ m， 两圆相外切， ，解得 m=3， 圆心 C（ 2， 0）到 3x 4y+4=0 的距离 d= ， 点 P 到直线 3x 4y+4=0 的距离的最大值为 2+1=3， 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查点到直线距离的求解，根据圆与圆的位置关系求 出 m 是解决本题的关键 三、解答题（共 6小题，满分 70分） 17已知集合 A=x|1x 4， B=x|x a 0 （ 1）当 a=3 时，求 AB， A B； （ 2）若 AB，求实数 a 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算 【专题】 计算题；方程思想；综合法；集合 【分析】 （ 1）当 a=3 时，利用两个集合的交、并集的定义求得 AB， A B （ 2）由题意知，集合 A=x|1x 4，集合 B=x|x a，由 AB，可得 a4，从而求得实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）当 a=3 时， B=x|x 3 AB=x|1x 3， A B=x|x 4； （ 2） AB， B=x|x a， a4， 第 13 页（共 17 页） 故实数 a 的取值范围为 4， +） 【点评】 本题主要考查两个集合的并集的求法，集合间的包含关系，求集合中参数的范围，属于基础题 18已知直线 l： x 2y 1=0，直线 1， 2） （ 1）若 l，求直线 （ 2）若 l，求直线 【考点】 待定系数法求直线方程 【专题】 方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 （ 1）由 l，可设直线 x+y+m=0，把点（ 1， 2）代入可得 2+2+m=0，解得 m （ 2）由 l，直线 方程为 x 2y+n=0，把点（ 1， 2）代入即可得出 【解答】 解：（ 1） l， 可设直线 x+y+m=0， 把点（ 1， 2）代入可得 2+2+m=0， 解得 m=0 直线 x+y=0 （ 2） l， 直线 x 2y+n=0， 把点（ 1， 2）代入可得 1 4+n=0，解得 n=5 直线 x 2y+5=0 【点评】 本题 考查了相互垂直、平行的直线斜率之间的关系，属于基础题 19已知函数 f（ x）满足 f（ ） =x+ （ 1）求函数的解析式； （ 2）判断函数 f（ x）在区间（ ， +）上的单调性，并用定义法加以证明 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【专题】 转化思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）利用换元法进行求解即可 （ 2）利用函数单调性的 定义进行证明即可 第 14 页（共 17 页） 【解答】 解：（ 1）设 t= ，则 x=2t， 即 f（ t） =2t+ ， 即 f（ x） =2（ x+ ）， x0 （ 2）函数在（ ， 1）上为减函数，则（ 1， +）为增函数， 对任意的 1 则 f（ f（ =2（ ） =2（ ， 1 1，则 1 0， 0， f（ f（ 0，即 f（ f（ 函数在区间（ 1， +）上是单调递增函数 同理函数在（ ， 1）上为减函数 【点评】 本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调性的证明，利用定义法和换元法是解决本题的关键 20已知四棱锥 P 底面是菱形 D， E 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证：平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】 常规题型 【分析】 （ I）设菱形对角线的交点为 O，连接 得 三角形 中位线，得到 合直线与平面平行的判定定理，得到 平面 第 15 页（共 17 页） （ 接 用等腰三角形的中线与高合一，得到 根据菱形 ， 合直线与平面垂直的判定定理，得到 平面 后用平面与平面垂直的判定定理，得到平面 平面 【解答】 解：（ ）设 O 为 交点，连接 E， O 分别为 中点， 面 面 平面 （ ）证明：连接 D， O 为