2016年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 25 页） 2016 年江西省新余市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设 U=R，已知集合 A=x|x1， B=x|x a，且（ B=R，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ ， 1C（ 1， +） D 1， +） 2设复数 复平面内对应的点关于虚轴对称，若 2i，则 的虚部为（ ） A B C D 3命题 p：若 a b，则 题 q： 0，使得 1 ，则下列命题为真命题的是（ ） A pp （ q） C（ p） p） （ q） 4已知点 F 是抛物线 x 的焦点， M、 N 是该抛物线上两点， |6，则 点的横 坐标为（ ） A B 2C D 3 5运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有 5 次落在直线 y=x 上，则判断框中可填写的条件是（ ） A i 6B i 7C i 8D i 9 6在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N（2， 1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） 附：若 X N（ ， 2），则 P（ X +） = P（ 2 X +2） = P（ 3 X +3） = 第 2 页（共 25 页） A 430B 215C 2718D 1359 7设不等式组 所表示的区域为 M，函数 y= 的图象与 x 轴所围成的区域为 N，向 M 内随机投一个点，则该点落在 N 内的概率为（ ） A B C D 8 7 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ） A 120B 240C 360D 480 9函数 g（ x） =2x ） x+ ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变）后得到 h（ x）的图象，设 f（ x） = x2+h（ x），则 f（ x）的图象大致为（ ） A B C D 10已知 A， B， C 是球 O 的球面上三点， ， ， 0，且棱锥 O 则球 O 的表面积为（ ） A 10B 24C 36D 48 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 3 页（共 25 页） A 1B 2C 4D 5 12已知数列 前项和为 任意 nN*， 1） +2n 6，且（ p）（ p） 0 恒成立，则实数 p 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， 6） D（ 2， ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分 0 分 13在 明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣： “远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题一共有 7层每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有 盏灯 14（ x） 9展开式中除常数项外的其余项的系数之和为 15如图，在 ， N 为线段 靠近 A 点的四等分点，若 =（ m+ ） + ，则 m= 16设函数 f（ x） = ，对任意 0， +），不等式恒成立，则正数 k 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17如图，在 ， B=30， ， D 是边 一点 （ 1）求 积的最大值； （ 2）若 ， 面积为 2， 锐角，求 长 第 4 页（共 25 页） 18为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正 10 分 ，否则记负 10 分根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为 ；现记 “该选手在回答完 n 个问题后的总得分为 （ 1）求 0 且 （ i=1， 2， 3）的概率； （ 2）记 X=|求 X 的分布列，并计算数学期望 E（ X） 19如图几何体 E 四棱锥， 正三角形， 20， D=，D=，且 （ 1）求证：平面 平 面 （ 2） M 是棱 中点，求证： 平面 （ 3）求二面角 D C 的平面角的余弦值 20已知 O 为坐标原点， 的左右焦点分别为 顶点为A，上顶点为 B，若 | | |等比数列，椭圆 2的最短距离为 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设 T 为直线 x= 3 上任意一点，过 直线 交椭圆 C 于点 P， Q，且 ，求 的最小值 21已知函数 f（ x） =ax+a 0 且 a1） （ 1）求函数 f（ x）单调递增区间； （ 2）若存在 1， 1，使得 |f（ f（ |e 1（ e 是自然对数的底数），求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 22如图，已知圆 O 外有一点 P，作圆 O 的切线 M 为切点，过 中点 N，作割线圆于 A、 B 两点 ，连接 延长，交圆 O 于点 C，连续 圆 O 于点 D，若C （ 1）求证： （ 2）求证：四边形 平行四边形 第 5 页（共 25 页） 选修 4标系与参数方程 23已知直线 （ t 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 =2 + ），且 交于 A，B 两点； （ 1）当 时，判断直线 曲线 位置关系，并说明理由； （ 2）当 变化时，求弦 中点 P 的普通方程，并说明它是什么曲线 选修 4等式选讲 24设 f（ x） =|x 1|+|x+1| （ 1）求 f（ x） x+2 的解集； （ 2）若不等式 f（ x） 对任意实数 a0 恒成立，求实数 x 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2016 年江西省新余市高考数学二模试卷（理科） 参考答案 与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设 U=R，已知集合 A=x|x1， B=x|x a，且（ B=R，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ ， 1C（ 1， +） D 1， +） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据集合的定义与运算性质，进行化简、运算即可 【解答】 解： U=R，集合 A=x|x1=1， +）， B=x|x a=（ a， +）， ， 1）， 又（ B=R， 实数 a 的取值范围是（ ， 1） 故选： A 2设复数 复平面内对应的点关于虚轴对称，若 2i，则 的虚部为（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概 念 【分析】 利用复数的对称性求出 后利用复数的乘除运算法则化简复数求出虚部即可 【解答】 解：复数 2i， 1 2i， 则 = = = = 复数的虚部为： 故选： D 3命题 p：若 a b，则 题 q： 0，使得 1 ，则下列命题为真命题的是（ ） A pp （ q） C（ p） p） （ q） 【考点】 复合命题的真假 【分析】 命题 p：取 c=0 时是不成立，因此是假命题；命题 q：取 ，满足 1 ，即可判断出真假再利用复合命题真假的判定方法即可得出 【解答】 解：命题 p：若 a b，则 c=0 时是不成立，因此是假命题； 命题 q：取 ，满足 1 ，因此是真命题 则下列命题为真命题的是（ p） q， 故选： C 第 7 页（共 25 页） 4已知点 F 是抛物线 x 的焦点， M、 N 是该抛物线上两点， |6，则 点的横坐标为（ ） A B 2C D 3 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出 x1+，即可求出 点的横坐标 【解答】 解： F 是抛物线 x 的焦点 F（ 1， 0），准线方程 x= 1， 设 M（ N（ |+=6， 解得 x1+， 线段 中点横坐标为 2， 故选： B 5运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有 5 次落在直线 y=x 上，则判断框中可填写的条件是（ ） A i 6B i 7C i 8D i 9 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程 序，依次写出每次循环输出的点的坐标，当满足条件，退出循环体，从而得到判定框中应填 【解答】 解：模拟执行程序，可得 i=1， y=0 x=1， y=1， i=2，输出点（ 1， 1），此输出的点恰落在直线 y=x 上， 不满足条件， x=0， y=1， i=3，输出点（ 0， 1） 不满足条件， x= 1， y=0， i=4，输出点（ 1， 0） 不满足条件， x=0， y=0， i=5，输出点（ 0， 0），此输出的点恰落在直线 y=x 上 不满足条件， x=1， y=1， i=6，输出点（ 1， 1），此输出的点恰落在直线 y=x 上 第 8 页（共 25 页） 不满足条件， x=0， y=1， i=7，输出点（ 0， 1） 不满足条件， x= 1， y=0， i=8，输出点（ 1， 0） 不满足条件， x=0， y=0， i=9，输出点（ 0， 0），此输出的点恰落在直线 y=x 上 不满足条件， x=1， y=1， i=10，输出点（ 1， 1），此输出的点恰落在直线 y=x 上 由题意，此时，应该满足条件，退出循环， 故判断框中可填写的条件是 i 9？ 故选： D 6在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N（2， 1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） 附：若 X N（ ， 2）， 则 P（ X +） = P（ 2 X +2） = P（ 3 X +3） = A 430B 215C 2718D 1359 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 由正态分布曲线的特点，数形结合可得落入阴影部分的概率，乘以 10000 可得答案 【解答】 解： X N（ 2， 1）， 阴影部分的面积 S=P（ 0X1） = P（ 5x1） P（ 4x0） = （ = 落入阴影部分的点的个数的估计值为 1000015 故选： B 7设不等式组 所表示的区域为 M，函数 y= 的图象与 x 轴所围成的区域为 N，向 M 内随机投一个点，则该点落在 N 内的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型；简单线性规划 【分析】 画出图形，求出区域 M， N 的面积，利用几何概型的公式解答 【解答】 解：如图， 区域 M 的面积为 2，区域 N 的面积为 ，由几何概型知所求概率为 P= 故选 B 第 9 页（共 25 页） 8 7 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ） A 120B 240C 360D 480 【考点】 计数原理的应用 【分析】 分三步，第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，第二步，前排 3 人形成了 4个空，任选一个空加一人，有 4 种，第三步，后排 4 分人，形成了 5 个空，任选一个空加一人，有 5 种，此时形成了 6 个空，任选一个空加一人，根据分步计数原理可得 【解答 】 解：第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有 3 种， 第二步，前排 3 人形成了 4 个空，任选一个空加一人，有 4 种， 第三步，后排 4 分人，形成了 5 个空，任选一个空加一人，有 5 种，此时形成了 6 个空，任选一个空加一人，有 6 种， 根据分步计数原理可得 3456=360， 故选： C 9函数 g（ x） =2x ） x+ ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变）后得到 h（ x）的图象 ，设 f（ x） = x2+h（ x），则 f（ x）的图象大致为（ ） A B C D 第 10 页（共 25 页） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；三角函数的化简求值 【分析】 先研究函数的奇偶性知它是奇函数，从而排除两个选项，再由 x= 时， f（ 0） 0，排除 C，即可得解 【解答】 解： g（ x） =2x ） x+ ） = 将函数 g（ x）的图象上各点的坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变）后得到 h（ x） = f（ x） = x2+h（ x） = x2+得： f（ x） = x 可得： f（ x） = （ x） x） =（ x = f（ x）， 故此函数奇函数，排除 B， D 又当 x= 时， f（ 0） = +1=1 0，结合选项函数的图象，排除 C 故选： A 10已知 A， B， C 是球 O 的球面上三点， ， ， 0，且棱锥 O 则球 O 的表面积为（ ） A 10B 24C 36D 48 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 利用解三角形判断 直角三角形，得出截面圆的圆心，利用 d2+2，求解 R，判断球的表面积 【解答】 解： ， ， 0 = = ， = ， C 60， ， C=30， A=90， =4 A， B， C 是球 O 的球面上三点 截面圆的圆心为 点， 半径为 2 棱锥 O 体积为 ， = ， d=2 ， 2 ） 2+22=12， 第 11 页（共 25 页） 球 O 的表面积为： 48， 故选： D 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 1B 2C 4D 5 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个正方体切去两个三棱锥、一个三棱柱所得的组合体，并画出直观图，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体 体积公式求出几何体的体积， 【解答】 解：由三视图得该几何体是： 一个正方体切去两个三棱锥、一个三棱柱所得的组合体， 其直观图如图所示： 所以几何体的体积： V=222 112 122 122=5， 故选： D 第 12 页（共 25 页） 12已知数列 前项和为 任意 nN*， 1） +2n 6，且（ p）（ p） 0 恒成立，则实数 p 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， 6） D（ 2， ） 【考点】 数列与不等式的综合；等差数列的通项公式 【分析】 通过 1） +2n 6 与 1=（ 1） n 11+ +2n 8（ n2）作差，进而整理可得数列 通项公式，分 n 为奇偶两种情况解不等式即得结论 【解答】 解： 1） +2n 6， 当 n2 时， 1=（ 1） n 11+ +2n 8， 两式相减得： 1） +2n 6 （ 1） n 11+ +2n 8， 整理得： 1（ 1） n 1） 1+2 （ n2），（ *） 又 1） +2n 6， 1） +2 6，即 ， 下面对 n 的奇偶性进行讨论： （ 1）当 n 为偶数时，化简（ *）可知： 1= 2， 2（ n 为奇数）； （ 2）当 n 为奇数时，化简（ *）可知： 2 1+2 ， 即 4= 1+2 ，即 1=6 ， （ n 为偶数）； 于是 第 13 页（共 25 页） 对任意 nN*（ p）（ p） 0 恒成立， 对任意 nN*（ p ）（ p 0 恒成立 又 数列 1单调递 减，数列 调递增， 当 n 为奇数时，有： p ， 则 p ，即 p ； 当 n 为偶数时，有： p 则 p p ； 综上所述， p ， 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分 0 分 13在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣： “远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题一共有 7层每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有 3 盏灯 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 设第一层有 a 盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以 a 为首项，以 为公比的等比数列，由此能求出结果 【解答】 解：设第一层有 a 盏灯， 则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以 a 为首项，以 为公比的等比数列， =381， 解得 a=192， 顶层有 =3 盏灯 故答案为： 3 14（ x） 9展开式中除常数项外的其余项的系数之和为 5377 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用二项展开式中的通项公式，求出展开式的常数项，再令 x=1 可得展开式中各项系数和，由此求出展开式中除常数项外的其余项的系数和 【解答】 解：（ x） 9展开式中的通项公式为 = （ ） 9 r（ 1） r 1） r 29 r ， 第 14 页（共 25 页） 令 =0，求得 r=3， 所以展开式中常数项为（ 1） 3 26= 5376， 令 x=1 可得展开式中各项系数之和为（ 2 1） 9=1， 所以展开式中除常数项外的其余项的系数之和为 1+5376=5377 故答案为： 5377 15如图，在 ， N 为线段 靠近 A 点的四等分点，若 =（ m+ ） + ，则 m= 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 根据条件及向量数乘的几何意义便可得到 ，而由向量减法的几何意义及向量的数乘运算便可得出 ，而由图形看出 B， P， N 三点共线，从而有 ，这样便可得出 m 的值 【解答】 解：根据条件， ； = = = ； B， P， N 三点共线； ； 故答案为： 16设函数 f（ x） = ，对任意 0， +），不等式恒成立，则正数 k 的取值范围是 k1 【考点】 函数恒成立问题 第 15 页（共 25 页） 【分析】 当 x 0 时， = ，利用基本不等式可求 f（ x）的最小值，对函数 g（ x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求 g（ x）的最大值，由恒成立且 k 0，则 ，可求 【解答】 解： 当 x 0 时， = =2e 0， +）时，函数 f（ 最小值 2e = 当 x 1 时， g（ x） 0，则函数 g（ x）在（ 0， 1）上单调递增 当 x 1 时， g（ x） 0，则函数在（ 1， +）上单调递减 x=1 时，函数 g（ x）有最大值 g（ 1） =e 则有 0， +）， f（ e g（ e 恒成立且 k 0， k1 故答案为 k1 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17如图，在 ， B=30， ， D 是边 一点 （ 1）求 积的最大值； （ 2）若 ， 面积为 2， 锐角，求 长 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由已知及余弦定理，基本不等式可得 ，利用三角形面积公式即可得解 面积的最大值 （ 2）设 ，利用三角形面积公式可解得 ，可求 ，由余弦定理得即可解得 值，利用正弦定理可求 而利用正弦定理可求 值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） ， 第 16 页（共 25 页） 由余弦定理可得： ， ， 所以 面积的最大值为 （ 2）设 ，在 ， ， ，解得： ， 由余弦定理得： ， ， ， ， ，此时 ， 18为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正 10 分，否则记负 10 分根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为 ；现记 “该选手在回答完 n 个问题后的总得分为 （ 1）求 0 且 （ i=1， 2， 3）的概率； （ 2）记 X=|求 X 的分布列，并计算数学期望 E（ X） 【 考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）当 0 时，即回答 6 个问题后，正确 4 个，错误 2 个若回答正确第 1 个和第 2 个问题，则其余 4 个问题可任意回答正确 2 个问题；若第一个问题回答正确，第 2 个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确 2 个记回答每个问题正确的概率为 p，则 ，同时回答每个问题错误的概率为 ，由此能求出 0 且 （ i=1， 2， 3）的概率 （ 2）由 X=|知 X 的取值为 10， 30， 50，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ 1）当 0 时，即回答 6 个问题后，正确 4 个，错误 2 个 若回答正确第 1 个和第 2 个问题，则其余 4 个问题可任意回答正确 2 个问题； 若第一个问题回答正确，第 2 个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确 2 个 第 17 页（共 25 页） 记回答每个问题正确的概率为 p，则 ，同时回答每个问题错误的概率为 故所求概率为： （ 2）由 X=|知 X 的取值为 10， 30， 50 可有 ， ， 故 X 的分布列为： X 10 30 50 P E（ X） = = 19如图几何体 E 四棱锥， 正三角形， 20， D=，D=，且 （ 1）求证：平面 平面 （ 2） M 是棱 中点，求证： 平面 （ 3）求二面角 D C 的平面角的余弦值 【考点】 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 【分析】 （ 1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面 平面 （ 2）根据线面平行的判定定理即可证明 平面 （ 3）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角 D C 的平面角的余弦值 【解答】 解：（ 1） ， 正三角形， 20， D=， 取 中点 O，则 则 C=C， 面 第 18 页（共 25 页） 平面 平面 2）若 M 是棱 中点，取 中点 N，则 中位线， 则 20， D=1， 0， 0， 0+30=90， 即 N=M， 面 面 平面 （ 3）由（ 1）知 面 20， D=， D=， ， ， + =2， 则 +1=4= 则 ， ， 建立以 O 为原点， x， y， z 轴的坐标系如图： 则 D（ 0， ， 0）， A（ ， 0， 0）， E（ 0， 0， ）， M（ ， 0， ）， B（ 0， ， 0）， C（ ， 0， 0）， 则 =（ ， ， ）， =（ 0， ， 0）， =（ ， ， 0） 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，则 y=0，令 z= ，则 x= 1， 即 =（ 1， 0， ）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， ， 则 y= ，令 x= 3，则 z=5 ， =（ 3， ， 5 ）， 第 19 页（共 25 页） 则 ， = = = ， 即二面角 D C 的平面角的余弦值是 20已知 O 为坐标原点， 的左右焦点分别为 顶点为A，上顶点为 B，若 | | |等比数列，椭圆 2的最短距离为 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设 T 为直线 x= 3 上任意一点，过 直线交椭圆 C 于点 P， Q，且 ，求 的最小值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由 | | |等比数列，可得 =|即 ，可得 = ； 设 M（ 椭圆 C 上一点，则 =第 20 页（共 25 页） = ， ax0a，当 x0=a 时， a c= 2；及其 a2=b2+出即可得出椭圆 C 的标准方程 （ （ I）可知： 2， 0），由 ，可得 ，设 T（ 3， m），可得| ，直线 斜率 = = m，当 m0 时，直线 斜率，直线 方程是 x=2设 P（ Q（ 将直线 方程与椭圆 C 的方程联立化为：（ ） 42=0， | ，利用根与系数的关系代入化简，利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：（ 1） | | |等比数列， =| ， = ， 设 M（ 椭圆 C 上一 点，则 = = += ， ax0a， 当 x0=a 时， a c= 2， 及其 a2=b2+得 ， 椭 圆 C 的标准方程为 =1 （ （ I）可知： 2， 0）， ， ， 设 T（ 3， m）， | ，直线 斜率 = = m， 当 m0 时，直线 斜率 ，直线 方程是 x=2，当 m=0 时也适合 设 P（ Q（ 将直线 方程与椭圆 C 的方程联立，得 ，化为：（ ） 42=0， 0， y1+， ， | = ， 第 21 页（共 25 页） = = = = = ， 当且仅当 = ，即 m=1 时，等号成立 的最小值为 21已知函数 f（ x） =ax+a 0 且 a1） （ 1）求函数 f（ x）单调递增区间； （ 2）若存在 1， 1，使得 |f（ f（ |e 1（ e 是自然对数的底数），求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；绝对值不等式的解法 【分析】 （ 1）求导数，利用导数的正负，可求函数 f（ x）单调区间； （ 2） f（ x）的最大值减去 f（ x）的最小值大于或等于 e 1，由单调性知， f（ x）的最大值是 f（ 1）或 f（ 1），最小值 f（ 0） =1，由 f（ 1） f（ 1）的单调性，判断 f（ 1）与 f（1）的大小关系，再由 f（ x）的最大值减去最小值 f（ 0）大于或等于 e 1 求出 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x）的定义域为 R， f（ x） =x x+（ 1） 令 h（ x） =f（ x） =2x+（ 1） h（ x） =2+ 当 a 0， a1 时， h（ x） 0，所以 h（ x）在 R 上是增函数， 又 h（ 0） =f（ 0） =0，所以， f（ x） 0 的解集为（ 0， +）， f（ x） 0 的解集为（ ，0）， 故函数 f（ x）的单调增区间为（ 0， +）， 单调减区间为（ ， 0） （ 2）因为存在 1， 1，使得 |f（ f（ |e 1 成立， 而当 x 1， 1时 |f（ f（ |f（ x） f（ x） 所以只要 f（ x） f（ x） e 1 又因为 x， f（ x）， f（ x）的变化情况如下表所示： x （ ， 0） 0 （ 0， +） f（ x） 0 + f（ x） 减函数 极小值 增函数 所以 f（ x）在 1， 0上是减函数，在 0， 1上是增函数， 所以当 x 1， 1时， f（ x）的最小值 f（ x） f（ 0） =1， f（ x）的最大值 f（ x） f（ 1）和 f（ 1）中的最大值 因为 f（ 1） f（ 1） =a 2 令 g（ a） =a 2a 0）， 因为 g（ a） = 0， 第 22 页（共 25 页） 所以 g（ a） =a 2 a（ 0， +）上是增函数 而 g（ 1） =0，故当 a 1 时， g（ a） 0，即 f（ 1） f（ 1）； 当 0 a 1 时， g（ a） 0，即 f（ 1） f（ 1） 所以，当 a 1 时， f（ 1） f（ 0） e 1，即 a e 1， 而函数 y=a a（ 1， +）上是增函数，解得 ae； 当 0 a 1 时， f（ 1） f（ 0） e 1，即 +e 1，函数 y= + a（ 0， 1）上是减函数， 解得 0 a 综上可知，所求 a 的取值范围为（ 0， e， +） 选修 4何证明选讲 22如图，已知圆 O 外有一点 P，作圆 O 的切线 M 为切点，过 中点 N，作割线圆于 A、 B 两点，连接 延长，交圆 O 于点 C，连续 圆 O 于点 D，若C （ 1）求证： （ 2）求证：四边形 平行四边形 【考点】 与圆有关的比例线段；相似三角 形的判定