2016年各地中考解析版试卷分类汇编(第2期)图形的相似与位似

一、 图形的相似与位似 选择题 1 （ 2016山东省济宁市 3 分 ） 如图， 交于点 G，且 ， ，那么 的值等于 【考点】 平行线分线段成比例 【分析】 首先求出 长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式 即可得到结论 【解答】 解： ， ， ， = ， 故答案为： 2 （ 2016山东省东营市 3 分 ） 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（ 3 ， 6）、 B（ 9 ，一 3），以原点 O 为位似中心，相似比为 13，把 小，则点 A 的对应点 A的坐标是( ) A（ 1 ， 2） B （ 9 ， 18） C（ 9 ， 18）或（ 9， 18 ） D（ 1 ， 2）或（ 1， 2 ） 9 ， (- 3 ， 6 )第 8 题图识点】 相似三角形 位似图形、位似变换 【答案】 D. 【解析】 方法一： ABO 关于原点位似， ABO 且 A 13. A3. AE132， 31. A（ 1,2） . 同理 可得 A（ 1,2 ） . 方法二： 点 A（ 3 ， 6）且相似比为 13， 点 A 的对应点 A的坐标是（ 3 13， 613）， A（ 1,2） . 点 A和点 A（ 1,2）关于 原点 O 对称， A（ 1,2 ） . 故选择 D. 9 ， (- 3 ， 6 )第 8 题答案图B A A 拨】 每对对应点的连线所在的直 线都相交于一点的相似图形叫做位似图形位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）；在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比 注意：本题中， 原点 O 为位似中心的图形有两个，所以本题答案有两解 . 3（ 2016山东省东营市 3 分 ） 如图，在矩形 ， E 是 的中点， 足为点 F，连接 析下列四个结论： 2 2其中正确的结论有 ( ) B 3 个 C 2 个 D 1 个 第 10 题图B 识点】 特殊平行四边形 矩形的性质、相似三角形 相似三角形的判定与性质、锐角三角函数 锐角三角函数值的求法 【答案】 B. 【解析】 矩形 ， . 正确； 12， 2 正确； 过点 D 作 点 1. 直平分 正确； 第 10 题答案图F 1，则 2. F 12 2. 22 . 22 . 错误 . 故选择 B. 【点 拨】 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，锐角三角函数值的求法，正确的作出辅助线是解本题的关键 4. （ 2016重庆市 A 卷 4 分 ） 相似比为 1： 4，则 周长比为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 16 【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果 【解答】解： 相似比为 1： 4， 周长比为 1： 4； 故选： C 【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记 相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键 5（ 2016 广西南宁 3 分）有 3 个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为 于（ ） A 1： B 1： 2 C 2： 3 D 4： 9 【考点】正方形的性质 【分析】设小正方形的边长为 x，再根据相似的性质求出 正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案 【解答】解：设小正方形的边长为 x，根据图形可得： = ， = ， = ， S 正方形 = ， = ， S 正方形 ： 9； 故选 D 【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出 正方形面积的关系 6.(2016 河北 3 分） 如图， ， A=78， ， 图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形 不相似 的是（ C ） 第 15 题图 答案： 解析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。项不成比例。 知识点：相 似三角形 7.（ 2016内蒙古包头 3 分 ） 如图，在四边形 ， 0， E 是 一点，且 ， ， ，则 数量关系正确的是（ ） A 考点】 相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质 【分析】 过 点 D 作 用勾股定理可得 长，利用相似三角形的判定定理可得 BE=x，由相似三角形的性质可解得 x，易得 关系 【解答】 解：过点 D 作 ， ， ， B= = =2 ， 0， A=90， 0， 0， ， 设 BE=x，则 ， 即 ， 解得 x= ， ， ， 故选 B 8. （ 2016湖北随州 3 分 ） 如图， D、 E 分别是 边 的点，且 E、 交于点 O，若 S S ： 25，则 S S 比是（ ） A 1： 3 B 1： 4 C 1： 5 D 1： 25 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 根据相似三角形的判定定理得到 据相似三角形的性质定理得到 = ， = = ，结合图形得到 = ，得到答案 【解答】 解： S S ： 25， = ， = = ， = ， S S 比是 1： 4， 故选： B 9. （ 2016江西 3 分 ） 如图，在 正方形网格中，每个 小正方形的边长均相等网格中三个多边形（分别标记为 ， ， ）的顶点均在格点上被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为 m，水平部分线段长度之和记为 n，则这三个多边形中满足 m=n 的是（ ） A只有 B只有 C D 【考点】 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 【分析】 利用相似三角形的判定和性质分别求出各多边形竖直部分线段长度之和与水平部分线段长度之和，再比较即可 【解答】 解：假设每个小正方形的边长为 1， ： m=1+2+1=4， n=2+4=6， 则 mn； 在 ， = ， ， 在 ， = ， = ， 得 ， ， m=2+ =n= +1+ + = m=n； 由 得： ， ， m=2+2+ +1+ =6， n=4+2=6， m=n， 则这三个多边形中满足 m=n 的是 和 ； 故选 C 10. （ 2016辽宁丹东 3 分 ） 如图，在 ， 高， 5，点 F 是 E、 别交于点 G、 H， 下列结论 ： E； D= S S 中正确的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 【分析】 由直角三角形斜边上的中线性质得出 明 等腰直角三角形，得出 E，证出 长 E， 正确； 证出 C，得出 C，由等腰三角形的性质得出 明 出 C=2 正确； 证明 出 = ，即 D=E，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出 D= 正确； 由 F 是 中点， D，得出 S S S 正确；即可得出结论 【解答】 解： 在 ， 高， 0， 点 F 是 中点， 5， 等腰直角三角形， E， 点 F 是 中点， E， 正确； C=90， 0， C， C， 在 ， ， C=2 正确； = ，即 D=E， BBD=E=E， D= 正确 ； F 是 中点， D， S S S 正确； 故选： D 11.（ 2016辽宁丹东 3 分 ） 如图，正方形 长为 3，连接 分 延长线于点 E， 长线于点 F，则 长为 6 【考点】 相似三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】 利用正方形的性质和勾股定理可得 长，由角平分线的性质和平行线的性质可得 E，易得 A，由 得 F，易得 C，可得 长 【解答】 解： 四边形 正方形，且边长为 3， ， 分 E， E， A=3 ， 0， F+ E=90， F， C=3 ， F+ =6 ， 故答案为： 6 12. （ 2016四川内江 ） 一组正方形按如图 3 所示的方式放置，其中顶点 y 轴上，顶点 在 x 轴上，已知正方形 边长为 1， 0， 则正方形 边长是 ( ) A ( 12)2015 B ( 12)2016 C ( 33)2016 D ( 33)2015 答案 D 考点 三角形的相似，推理、猜想。 x O y 1 1 2 4 2 2 3 3 图 3 解析 易知 2211 2211 1111 0 0 33 33 同理， 0 ( 33)2； 由此猜想 ( 33)n 1 当 n 2016 时， ( 33)2015 故选 D 13 （ 2016四川南充 ） 如图，正五边形的边长为 2，连结对角线 段 E 和 交于点 M， N给出下列结论： 08； ； S 1其中正确结论的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【分析】根据正五边形的性质得到 6，根据三角形的内角和即可得到结论；由于 08 36=72， 6+36=72，得到 据等腰三角形的判定定理得到 N，同理 M，根据相似三角形的性质得到 ，等量代换得到 据 方程得到 ；在正五边形 于 E=+ ，得到 ，根据勾股定理得到 ，根据三角形的面积得到结论 【解答】解： 08， E= 6， 80 08，故 正确； 08 36=72， 6+36=72， N， 同理 M， M， 6， ， 正确； 22=（ 2 4 ；故 正确； 在正五边形 ， E=+ ， ， = ， S 2 = ，故 错误； 故选 C 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键 14 （ 2016四 川泸 州） 如 图，矩 形 边长 ， ， E 为 中点， F 在边 ， 且 别与 交于点 M， N，则 ） A B C D 【考点】 相似三角 形 的判 定 与性 质 ；矩 形 的性 质 【分析】 过 F 作 H，交 O， 于是 得 到 F H= ， 根据 勾 股定理得到 = =2 ， 根 据平 行 线分 线 段成 比 例定 理 得到O H= ，由 相似 三 角形 的 性质 得 到 = = ， 求得 ，根据 相 似三 角 形的 性 质得 到 = = ，求得 ，即 可 得到 结 论 【解答】 解：过 F 作 H，交 O，则 F H= 2 ， H=2， 1， = =2 ， = = ， ， H = ， = = ， ， ， = = ， ， N = ， 故选 B 15.（ 2016黑龙江龙东 3 分 ） 如图，在正方形 ， E、 F 分别为 中点，连接 于点 G，将 折，得到 长 长线于点 Q，下列结论正确的个数是（ ） F； ； S 四边形 S A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 四边形综合题 【分析】 首先证明 利用角的关系求得 0，即可得到 F； 折，得到 用角的关系求出 B，解出 据正弦的定义即可求解；根据 证 似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解 【解答】 解： E， F 分别是正方形 中点， E， 在 ， ， F，故 正确； 又 0， 0， 0， 正确； 根据题意得， C， 0 B， 令 PF=k（ k 0），则 k 在 ，设 QB=x， x k） 2+4 x= ， = ，故 正确； ： ， 面积： 面积 =1： 5， S 四边形 S 错误 故选： B 二、 填空题 1（ 2016山东省滨州市 4 分 ）如图，矩形 ， ， ，点 E 在对角线，且 接 延长交 点 F，则 = 【考点】相似三角形的判定与性质； 矩形的性质 【分析】根据勾股定理求出 到 长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可求出 长，求出 算即可 【解答】解： 四边形 矩形， 0，又 ， ， =3， = ，即 = ， 解得， ， 则 D ， = = ， 故答案为： 【点评】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键 2（ 2016 贵州毕节 5 分）在 ， D 为 上一点，且 A已知 ，则 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 证明 = ，由此即可解决问题 【解答】 解： A， B= B， = ， = ， 故答案为 3.（ 2016广西桂林 3 分）如图，在 ， 0， C=3 ， ， ，点 O 是 点，连接 【考点】 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】 在 截取 H，连接 据相似三角形的性质得到 ，求得 ，根据等腰直角三角形的性质得到 B= A= 5，等量代换得到 据全等三角形的性 质得到 H， 出 等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论 【解答】 解：在 截取 H，连接 0 C=3， ， 10 ， ， ， 等腰直角三角形，点 O 是 点， B= A= 5， 5， 5， 在 ， ， H， 0， 即 等腰直角三角形， D = ， H = ， 故答案为： 4.（ 2016贵州安顺 4 分）如图，矩形 接于 边 在 ，若 C=3， ， 么 长为 【分析】 设 x，表示出 示出三角形 边 的高，根据三角形 三角形 似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出 x 的值，即为 长 【解答】 解：如图所示： 四边形 矩形， ， 设 x，则有 x， D 2x， ， 解得： x= ， 则 故答案为： 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解 本题的关键 5.（ 2016湖北随州 3 分 ） 如图（ 1）， 切于点 T， 交于 A、 B 两点，可证明 而有 A应用以上结论解决下列问题：如图（ 2）， 别与 交于 A、 B、 C、 D 四点，已知 ， ， ，则 【考点】 相似三角形的判定与性质；切线的性质 【分析】 如图 2 中，过点 P 作 O 的切线 点是 T，根据 AC出可解决问题 【解答】 解：如图 2 中，过点 P 作 O 的切线 点是 T AC ， ， ， 27=3 D 3= 6. （ 2016湖北武汉 3 分 ） 如图，在四边形 ， 90， 3， 4， 10， 5，则 长为 _ 【考点】 相似三角形，勾股定理 【答案】 241【解析】 连接 点 D 作 上的高，交 长线于点 H在 ， 3，4， 5，又 10， 5，可知 直角三角形，且 90，易证 6， 8， 28 2 41（ 4+6 ） 7.（ 2016黑龙江龙东 3 分 ） 已知：在平行四边形 ，点 E 在直线 ， 接 点 F，则 值是 或 【考点】 相似三角形的判定与性质 ；平行四边形的性质 【分析】 分两种情况： 当点 E 在线段 时，由四边形 平行四边形，可证得 出 ： 3，即可求得 值； 当当点 E 在射线 时，同 得： 出 ： 3，即可求得 C 的值 【解答】 解： 分两种情况： 当点 E 在线段 时，如图 1 所示 四边形 平行四边形， C， E： ： 3， ： 3； 当点 E 在线段 延长线上时，如图 2 所示： 同 得： E： ： 3， ： 3； 综上所述： 值是 或 ； 故答案为： 或 8 （ 2016黑龙江齐齐哈尔 3 分 ） 如图，在平面 直角坐标系中，矩形 两边 C 分别在 x 轴和 y 轴上，且 ， 在第二象限内，将矩形 原点 O 为位似中心放大为原来的 倍，得到矩形 将矩形 原点 O 为位似中心放大 倍，得到矩形 2 ，以此类推，得到的矩形 n 的对角线交点的坐标为 （， ） 【考点】 位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质 【分析】 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 k，即可求得 坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标 【解答】 解： 在第二象限内，将矩形 原点 O 为位似中心放大为原来的 倍， 矩形 矩形 位似图形，点 B 与点 对 应点， ， 点 B 的坐标为（ 2， 1）， 点 坐标为（ 2 ， 1 ）， 将矩形 原点 O 为位似中心放大 倍，得到矩形 ， 2 ， 1 ）， 2 ， 1 ）， 矩形 对角线交点（ 2 ， 1 ），即（ ， ）， 故答案为：（ ， ） 三、 解答题 1. （ 2016湖北武汉 10 分 ） 在 ， P 为边 一点 (1) 如图 1，若 B，求证： B； (2) 若 M 为 中点， 2， 如图 2，若 3，求 长； 如图 3，若 45， A 60，直接写出 长 【考点】 相似形综合，考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线性质，勾股定理。 【答案】 （ 1）证 可；（ 2） ； 71【解析】 （ 1）证明： B， C， B； （ 2） 如图，作 长线于 Q，设 x，则 2x Q 得： 22（ 3 x）（ 3 x）， x5 即 ； 如图：作 点 Q，作 点 2， 1， ， 设 1 x， 1 x， 00P， 2201 ( 3 ) (1 )22 x（3 1 x），解得 x73 17371 2. （ 2016辽宁丹东 1 2 分 ） 如图 ， 等腰直角三角形，直角边 M、 N 分别是斜边 中点，点 P 为 中点，连接 D （ 1）猜想 数量关系及位置关系，请直接写出结论； （ 2）现将图 中的 着点 C 顺时针旋转 （ 0 90），得到图 ， D 分别交于点 G、 H请判断（ 1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （ 3）若图 中的等腰直角三角形变成直角三 角形，使 BC=CD=图 ，写出 数量关系，并加以证明 【考点】 相似形综合题 【分析】 （ 1）由等腰直角三角形的性质易证 此可得 D，再根据三角形中位线定理即可得到 N，由平行线的性质可得 （ 2）（ 1）中的结论仍旧成立，由（ 1）中的证明思路即可证明； （ 3） PM=已知条件可证明 以可得 BD=为点 P、 M、 D、 中点，所以 而可证明 PM= 【解答】 解： （ 1） N， 由如下： 等腰直角三角形， C， D， 0 在 ， D， 点 M、 N 分别是斜边 中点，点 P 为 中点， M， 0， 0， 0， 即 （ 2） 等腰直角三角形， C， D， 0 D， 又 0 点 P、 M、 N 分别为 中点， N 80 0 0 （ 3） PM= 直角三角形， 0 BC=CD= =k BD= 点 P、 M、 N 分别为 中点， PM= 3. （ 2016四川泸州） 如图， 接 于 O， O 的 直径 ， ， 延长 线 与过 点 B 的直 线 相交 于 点 E，且 A= （ 1）求证： O 的切 线 ； （ 2）已 知 别 相 交于 点 F、 G，若 A=48， 值 【考点】 圆的综合 题 ；三 角 形的 外 接圆 与 外心 ； 切 线的 判 定 【分析】 （ 1）欲证 明 O 的 切 线， 只 要证 明 90 （ 2）由 = 求出 再由 F出 再通 过 计算 发 现 而 可 以证明 B，求出 可 解 决问 题 【解答】 （ 1）证明 ： 连 接 直径， 0，即 D+ 0， A= D， A= 0， O 切线 （ 2）解： A= = ，即 G8， ， F ， 在 ， =4 ， F+ ， 在 ， =3 ， A=48， 即 ， G， A= = = 90， B= 4 ， = ， = ， C 4 （ 2016四川内江 ） (12 分 )如图 15，已知抛物线 C： y 3x m，直线 l： y kx(k 0)，当 k 1 时，抛物线 C 与直线 l 只有一个公共点 (1)求 m 的值； (2)若直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A， B，直线 l 与直线 y 3x b 交于点 P，且 112求 b 的值； (3)在 (2)的条件下，设直线 y 轴交于点 Q，问：是否存在实数 k 使 S S 存在，求 k 的值；若不存在，说明理由 考点 二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。 解： (1) 当 k 1 时，抛物线 C 与直线 l 只有一个公共点， 方程组 2 3,y x x 有且只有一组解 2 分 消去 y，得 4x m 0，所以此一 元二次方程有两个相等的实数根 0，即 ( 4)2 4m 0 m 4 4 分 (2)如图，分别过点 A， P， B 作 y 轴的垂线，垂足依次为 C， D， E， 则 同理， 112 2 2 112 E 2 5 分 解方程组 ,3y x b 得 x3即 6 分 x y O P B A l 答案图 C E D x y O P B A l 图 15 由方程组2,34y k xy x x 消去 y，得 (k 3)x 4 0 以上一元二次方程的两根， k 3， E 4 7 分 34k 23 解得 b 8 8 分 (3)不存在理由如下： 9 分 假设存在，则当 S S 有 于是 2 由 (2)可知 k 3， 83k， k 3 2 83k，即 (k 3)2 16 解得 k 1(舍去 k 7) 11 分 当 k 1 时， A， B 两点重合， 存在 不存在实数 k 使 S S 12 分 5 （ 2016四川南充 ） 已知正方形 边长为 1，点 P 为正方形内一动点，若点 M 在，且满足 长 点 N，连结 （ 1）如图一，若点 M 在线段 ，求证： N； （ 2） 如图二，在点 P 运动过程中，满足 点 M 在 延长线上时， N 是否成立？（不需说明理由） 是否存在满足条件的点 P，使得 ？请说明理由 【分析】（ 1）由 出 0，推出 0即可证明 出 = = ，由 出 = ，得到 = ，由此即可证明 （ 2） 结论仍然成