广东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：统计与概率

广东省 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 统计与概率 一、选择、填空题 1、（ 2016 年全国 I 卷） 某公司的班车在 7:30， 8:00， 8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （ A） 13 （ B） 12 （ C） 23 （ D） 34 2、（ 2016 年全国 ） 从区间 0,1随机抽取 2n 个数1x,2， ，y，2， ，成 n 个数对 11, 22,， ， 中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 （ A）4B）2C）4D）2 2015 年全国 I 卷） 投篮测试中，每人投 3次，至少投中 2次才能通过测试 。已知某同学每次投篮投中的概率为 各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （ A） （ B） （ C） （ D） 、（佛山市 2016届高三二模） 广铁集团针对今年春运客流量进行数据整理 ,调查广州南站从 2 月 4 日到 2 月 8 日的客流量 ,根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图如图 3 所示 按日期用分层抽样的方法抽样 ,若从 2 月 7 日这个日期抽取了 40 人 ,则一共抽取的人数为 _. 5、（茂 名市 2016 届高三二模） 先后掷两次骰子 (骰子的六个面上分别有 1,2,3,4,5,6 个点 )，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为 x， y， 记 事件 A 为 “ x， y 都为偶数 且 x y” ，则 A 发生的 概率 P（ A）为（ ） A. 41B. 16C. 31D. 1126、（深圳市 2016 届高三二模） 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，则 3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率是 （ ） A 310B 35C 25D 157、（潮州市 2016 届高三上期末） 在区间 1,1上任取两数 s 和 t，则关于 x 的方程 2 20x s x t 的两根都是正数的概率为 A、 124B、 112C、 14D、 168、（佛山市 2016 届高三 教学质量 检测（一） 某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织 4 位同学参加 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给 4 位同学，且所发信息都能收到 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A52B2512C2516D549、（揭阳市 2016 届高三上期末） 利用计算机在区间（ 0,1）上产生随机数 a,则不等式 1) 0a 成立的概率是 （ A） 13（ B） 23（ C） 12（ D） 1410、（ 茂名市 2016 届高三第一次高考模拟考试 ） 2015 年高中生技能大赛中 三所 学校分别有 3 名、 2 名、 1 名学生获奖，这 6 名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是 （ ） A30B15C10D511、（清远市 2016 届高三上期末） 投掷一 枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件 A，“骰子向上的点数是偶数”为事件 B，则事件 A， B 中至少有一件发生的概率是（ ） A、 14B、 12C、 34D、 71212、（珠海市 2016 届高三上期末） 现有 1000 件产品 ,甲产品有 10件 ,乙产品有 20 件 ,丙产品 有 970 件 ,现随机不放回抽取 3 件产品 ,恰好甲乙丙各一件的概率是 ( ) A 3 1 1 13 10 20 970331000()A C C 3 1 1 13 10 20 970131000()A C C 3 1 1 13 10 20 97031000A C C 3 1 1 13 10 20 97031000A C C 答题 1、（ 2016 年全国 I 卷） 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 果备件不足再购买，则每个 500 元 此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . （ I）求 X 的分布列； （ 要求 ( ) 0 n，确定 n 的最小值； （ 购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 19n 与 20n 之中选其一，应选用哪个？ 2、（ 2016 年全国 ） 某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年 度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5保 费 a a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5概 率 ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （ ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费 比基本保费高出60%的概率； （ ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 3、（ 2015 年全国 I 卷） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位： t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 年销售量 i=1,2， 8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 x y w 21()n 21()n 1( ) ( )n x y y 1( ) ( )n w y y 469 中 x 1, ， w =18 1w （） 根据散点图判断， y=a+ y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 给出判断即可，不必说明理由） （）根据（）的判断结果及表中数据，建立 x 的回归方程； （）已知这种产品的年利率 z与 x、 z=）的结果回答下列问题： （ i） 年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ 年 宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据11( , )2( , ) ， ( , )回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 121( ) ( )=()u v ， = 4、（佛山市 2016 届高三二模） 从 2016 年 1 月 1 日起，广东、湖北等 18 个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率 ，具体关系如下表： 上一年的出险次数 01 2 3 4 5 次以上（含 5 次） 下一年保费倍率 85100125150175200 连续两年没有出险打 7 折，连续三年没有出险打 6 折 经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的 8 组数据 ( , )其中 x（万元）表示购车价格， y （元）表示商业车险保费）： (8,2150) 、 (11,2400) 、 (18,3140) 、 (25,3750) 、(25, 4000) 、 (31, 4560) 、 (37,5500) 、 (45,6500) ，设由这 8 组数据得到的回归直线方程为：1055y （ 1）求 b ； ( ) 有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取 1000 辆调查 ,得到一年中出险次数 的频数分布如下 (并用相应频率估计车辆 2016 年度出险次数的概率 ): 广东李先生 2016 年 1月购买一辆价值 20 万元的新车 试估计该车辆在 2017 年 1月续保时应缴交的保费 (精确到元 ),并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担 .(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保 ） 5、（广州市 2016 届高三二模） 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班 24 名女同学，18名男同 学中 随机抽取一个容量为 7 的样本进行分析 . ( )如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必 计算出结果） ( )如果 随机抽取的 7 名同 学的数学，物理成绩 (单位：分 )对应如下表： ( )若规定 85 分以上 （包括 85 分） 为优秀，从这 7 名同学中抽取 3 名同学，记 3 名同 学 中数学和物理成绩均为优秀的人数为 ， 求 的分布列和数学期望； ( )根据上表数据，求物理成绩 y 关于数学成绩 x 的线性回归方程 (系数精确到 ; 若班上某位同学的数学成绩为 96 分 ,预测该同学的物理成绩 为多少分 ? 学生序号 i 1 2 3 4 5 6 7 数学成绩5 70 75 85 87 90 物理成绩7 80 85 90 86 93 x y 7 21 71 x y y 附：线 性 回 归 方 程y bx a， 其中 121x y ， a y . 6、（茂名市 2016 届高三二模） 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验， 所 得数据如下 列联表： 从服药的动物中任取 2 只， 记 患病动物 只 数为； （ I） 求出列联表中数据 x， y， t 的值 ， 并求 的分布列和期望 ； （ 据参考公式，求 2k 的值（精确到小数后三位）； （） 能够 把握认为药物有效吗？ （ 参考数据 如下） （参考公式：22 ()( ) ( ) ( ) ( )n ad b c d a c b d ） P(K2k 0) 、（深圳市 2016 届高三二模） 某市在以对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于 80 分为“优秀”，小于 60 分为“不合格”，其它为“合格” (1)某校高一年级有 男生 500 人，女生 4000 人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了 45 名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表： 等级 优秀 合格 不合格 男生（人） 15 x 5 女生（人） 15 3 y 根据表中统计的数据填写下面 22 列联表，并判断是否有 90% 的把 握认为“综合素质评介测评结果为优秀与性别有关”？ 76 83 812 526 患病 未患病 总计 没服用药 22 y 60 服用药 x 50 60 总计 32 t 120 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 （ 2）以（）中抽取的 45 名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取 3 人 （ i）求所选 3 人中恰有 2 人综合素质评价为“优秀”的概率； （ X 表示这 3 人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求 X 的数学期望 参考 公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d ， 其中 n a b c d 临界值表： 2 0()P K k 8、（佛山市 2016 届高三 教学质量 检测（一） 未来制造业对零件的精度要求越来越高 3 D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于 制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件 该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间 某制造企业向 A 高校 3 D 打印实验团队租用一台 3 D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件 该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取 10 件零件，度量其内径的茎叶图如图（单位： m ） （ 1）计算平均值 与标准差 ； （ 2）假设这台 3 D 打印设备打印出品的零件内径 Z 服从正态分布 ),( 2N ，该团队到工厂安装调试后， 试打了 5 个零件，度量其内径分别为（单位： m ）： 86 、 95 、 103 、 109 、 18 ，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？ 参考数据： 2( 9 9 7 3( ， ， ， 9、（广州市 2016 届高三 1 月模拟考试 ） 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在 40 以上 足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年9 7 7 8 10 2 5 7 8 9 11 3 4 份有 5 年 假设各年的年入流量相互独立 （ ）求在未来 4 年中，至多 1 年的年入流 量超过 120 的概率； （ ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系； 年入流量 X 40 80X 80 120X 120X 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发 电机运行，则该台发电机年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 10、（惠州市 2016 届 高三第三次调研考试 ） 某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、 3、 4 层停靠 。 已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客，假设每位乘客在 2、 3、 4 层下电梯是等可能的 。 （ ）求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率； （ ）用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数，求 X 的分布列和数学期望 。 11、（揭阳市 2016 届高三上期末） 某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利 500 元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费 100 元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润 200 元。 （ ） 若该商场周初购进 20 台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量 n（单位：台， ）的函数解析式 () （ ） 该商场记录 了去年夏天（共 10 周）空调器需求量 n（单位：台），整理得下表： 周需求量 n 18 19 20 21 22 频数 1 2 3 3 1 以 10 周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进 20 台空调器， X 表示 当周的利润（单位：元），求 X 的分布列及数学期望。 参考答案 一、选择、填空题 1、 如图所示，画出时间轴： 8:208:107:507:40 8:308:007:30 D 小明到达的时间会随机的落在图中线段 ，而当他的到达时间落在线段 ，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟 根据几何概型，所求概率 10 10 140 2P 故选 B 2、 【解析】 C 由题意 得： 12y i n ， ， ， ，在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在 如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知1 4 故选 C 3、 【答案】 A 【解析】 试题分析： 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 2 2 33 0 . 6 0 . 4 0 . 6C =选 A. 4、 200 5、 答案 B， 正面朝上的点数 (x， y)的不同结果共有 116636 36(种 )事件 A 为 “ x， y 都为偶数且 x y”包含的基本事件总数为 11333所以 1133 3 1()3 6 6。 6、 【答案】 B 【解析】 2 2 2 23 2 2 355() 35C A A 7、 B 8、 C 9、 A 10、 C 11、 C 12、 D 二、解答题 1、 每台机器更换的易损零件数为 8， 9， 10， 11 记事件 年内换掉 7i 个零件 1, 2,3, 4i 记事件 年内换掉 7i 个零件 1, 2,3, 4i 由题知 1 3 4 1 3 4 0 . 2P A P A P A P B P B P B ， 220 . 4A P B设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X ， 则 X 的可能的取值为 16， 17， 18， 19， 20，21， 22 111 6 0 . 2 0 . 2 0 . 0 4P X P A P B 1 2 2 11 7 0 . 2 0 . 4 0 . 4 0 . 2 0 . 1 6P X P A P B P A P B 1 3 2 2 3 11 8 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 4 0 . 2 4P X P A P B P A P B P A P B 1 4 2 3 3 2 4 11 9 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 2P X P A P B P A P B P A P B P A P B 2 4 3 3 4 22 0 0 . 4 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 2 0 . 2 0 . 2P X P A P B P A P B P A P B 3 4 4 32 1 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 0 8P x P A P B P A P B 442 2 0 . 2 0 . 2 0 . 0 4P x P A P B X 16 17 18 19 20 21 22 P 要令 0 x n ， 0 . 0 4 0 . 1 6 0 . 2 4 0 . 5 ， 0 . 0 4 0 . 1 6 0 . 2 4 0 . 2 4 0 . 5 则 n 的最小值为 19 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用 当 19n 时，费用的期望为 1 9 2 0 0 5 0 0 0 . 2 1 0 0 0 0 . 0 8 1 5 0 0 0 . 0 4 4 0 4 0 当 20n 时，费用的期望为 2 0 2 0 0 5 0 0 0 . 0 8 1 0 0 0 0 . 0 4 4 0 8 0 所以应选用 19n 2、 【解析】 设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A， ( ) 1 ( ) 1 ( P A 设续保人保费比基本保费高出60%为事件 B， ( ) () ( ) 1P A A 解：设本年度所交保费为随机变量 X 2 E X a a a a a a a a a a a ， 3、 【答案】 （） y c d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型 （）1 0 0 8（） y 关于 x 的回归方程为 1 0 0 8. 6 分 4、 【解析】（ 1） 1 2 0 0( 8 1 1 1 8 2 5 2 5 3 1 3 7 4 5 ) 2 588x 万元， 1 3 2 0 0( 2 1 5 0 2 4 0 0 3 1 4 0 3 7 5 0 4 0 0 0 4 5 6 0 5 5 0 0 6 5 0 0 ) 4 0 0 0y 元， 直线 1055y b x 经过样本中心 ( , )即 (25, 4000) 1 0 5 5 4 0 0 0 1 0 5 5 1 1 7 . 825yb x ( )设该车辆 2017 年的保费倍率为 X ,则 X 为随机变量 , X 的取值为 1, 2 . 7 分 且 X 的分布列为 计算得下一年保费的期望倍率为 1 2 10 分 该车辆估计 2017年应缴保费为 :(1 20 +1055) 3280 元 . 11 分 因 1 (或 3280 3411 ),基于以上数据可知 ,车险新政总体上减轻了车主负担 . 12 分 5、 ( )解：依据分层抽样的方法， 24 名女同学中应抽取的人数为 7 24 442名， 1 分 18 名男同学中应抽取的人数为 7 18 342名， 2 分 故不同的样本的个数为 4324 18 3 分 ( ) ( )解 : 7 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 3 名 , 的取值为 0,1,2,3 . 0 P 3437C 4C 35, 1P 2143378C 35, 2 P 1243372C 35, 3P 3337C 1C 35. 7 分 的分布列为 8 分 4 1 8 1 2 10 1 2 33 5 3 5 3 5 3 5 E 97. 9 分 ( )解 : 526 0 812b , 8 3 0 . 6 5 7 5 3 3 . 6 0a y b x . 10 分 线性回归方程为 0 3 3 . 11 分 当 96x 时 , 0 . 6 5 9 6 3 3 . 6 0 9 6y . 可预测该同学的物理成绩为 96 分 . 12 分 6、 解 ：（ ） x=10， y=38， t=88 3 分 取值为 0， 1， 2 4 分 354245)0(260250 ，354100)1(260110150 ， 3549)2(260210 （不全对时，对一个给 1 分） 分布列为 01 2 3 P 43518351235135 0 1 2 P 3542453541003549 6 分 17759354118354 9235410013542450 E 7 分 （ ）22 ()( ) ( ) ( ) ( )n ad b c d a c b d 60608832 )381050(2 21202 8 分 22135 9 分 注：如果没有“22135”这一步不扣分 10 分 （ ） 因为 11 分 故有 把握认为药物有效 12 分 7、 【解析】 （ 1）设从高一年级 男生中抽出 m 人，则 45 , 2 55 0 0 5 0 0 4 0 0m m 2 5 2 0 5 , 2 0 1 8 2 男生 女生 总计 优秀 15 15 30 非优秀 10 5 15 总计 25 20 45 而 24 5 ( 1 5 5 1 0 1 5 ) 9 1 . 1 2 5 2 . 7 0 63 0 1 5 2 5 2 0 8k 没有 90% 的把握认为“测评结果为优秀与性别有关” （ 2）（ i）由（ 1）知等 级为“优秀”的学生的频率为 15 15 245 3 ， 从该市高一学生中随机抽取 1名学生，该生为“优秀”的概率为 23 记“所选 3 名学和 g 中恰有 2 人综合素质评 价优秀学生 ”为事件 A ， 则事件 A 发生的概率为：223 2 2 4( ) ( ) ( 1 )3 3 9P A C ； （ 题意知，随机变量 2 (3, )3 随机变量 X 的数学期望 2( ) 3 23 8、 【 解析 】 ( ) 9 7 9 7 9 8 1 0 2 1 0 5 1 0 7 1 0 8 1 0 9 1 1 3 1 1 4 10510 m 3 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 8 8 7 3 0 2 3 4 8 9 3610 5 分 所以 6 m 6 分 ( )结论 :需要进一步调试 . 8 分 方法 1理由如下 :如果机器正常工作 ,则 Z 服从正态分布 2105, 6N , 9分 3 3 8 7 1 2 3 0 . 9 9 7 4P Z P Z 零件内径在 87,123 之外的概率只有 11 分 而 86 87,123 ,根据 3 原则 ,知机器异常 ,需要进一步调试 . 12 分 方法 2理由如下 :如果机器正常工作 ,则 Z 服从正态分布 2105, 6N , 9 分 3 3 8 7 1 2 3 0 . 9 9 7 4P Z P Z 正常情况下 5 个零件中恰有一件内径在 87,123 外的概率为 : 145 0 . 0 0 2 6 0 . 9 9 7 4 5 0 . 0 0 2 6 0 . 9 9 0 . 0 0 1 2 8 7 , 11 分 为小概率事件 ,而 86 87,123 ,小概率事件发生 ,说明机器异常 ,需要进一步调试 . 12 分 方法 3理由如下 :如果机器正常工作 ,则 Z 服从正态分布 2105, 6N , 9 分 2 2 9 3 1 1 7 0 . 9 5 4 4P Z P Z 正