2016上海市中考数学压轴题解题策略：梯形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略 梯形的存在性问题解题策略 2015 年 9 月 23 日星期三 专题攻略 解梯形的存在性问题一般分三步： 第一步分类，第二步画图，第三步计算 一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形 过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点 因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便 例题解析 例 如图 1边形 直角梯形， B 90， 248 出发以 1cm/s 的速度向点 同时出发，以 3cm/s 的速度向点 B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动从运动开始，经过多长时间，四边形 为等腰梯形？ 图 1解析】这 道题目中蕴含了一个经典的判断题：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？回答是否定的 可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，区别在于另一组对边是否平行 如图 1果四边形 么 所以 24 t 3t解得 t 6 如图 1果四边形 足分别为 M、 N，那么 以 t (28 3 t) 4解得 t 8 图 1 图 1 如图 2 ， C 90， 3， 5点 P 从点 C 出发沿 个单位长的速度向点 A 匀速运动；同时点 Q 从点 A 出发沿 每秒 1 个单位长的速度向点 点 时停止运动，点 随着 P、 持垂直平分 设 P、 Q 运动的时间是 t 0），在运动的过程中，四边形 能，求出 不能，请说明理由 图 2解析】在四边形 ， B 是确定的锐角， 直角如果要成为梯形，存在 Q/ 站在梯形的外部看梯形，问题就迎刃而解 如图 2当 90，此时 如图 2 边形 这样就 转化为解 知 3t ， t， 3 如图 2 335AQ t时，解得 98t如图 2335AP t时，解得 158t 解题时，只需要画出图 2图 2样的示意图就好了 图 2 图 2 图 2 图 2 如图，已知 A、 的两个点， A、 和 1， 足为 C在双曲线上是否存在点 D，使得以 A、 B、 C、 果存在，求出点 果不存在，请说明理由 图 3解析】 确定的，过 每个顶点画对边的平行线，与双曲线的交点就是要求的点 D已知 A(2,1)， B( 1, 2)， C( 1,0)设 2( , ) 如图 3点 行线，不存在点 D 如图 3 以 F 解方程 2 2131，得 x 1 或 x 6此时 1(6, )3D 如图 3 以 M 解方程 2 313，得 x 1 或 x 2此时 D(1,2)或 ( 2, 1) 图 3 图 3 图 3上面的解题过程我们可以感受到：画图可以快速找到目标，计算可以准确定位根据等角的正切值相等列方程比较简便在图 3，解方程还达到了“一石二鸟”的目的 例 如图 4知抛物线233384y x x 与 、 D（ 的右侧），与，设点 ，在抛物线上是否存在点 P，使得以 A、 B、 C、 P 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 图 4 解析 】 过 行线，与抛物线的交点就是点 P 易知 A(4, 0)， D( 2, 0)， C(0, 3)， B(2, 3) 设 , 3)84x x x 如图 4 ，此时 P( 2, 0) 如图 4 足分别为 E、 F 根据 F，得 233( 3 ) ( 3 ) 3842 解得 x 6此 时 P(6, 6) 如图 4设 么 F所以 233( 3 ) ( 3 ) 38424 解得 x 2此时点 重合，梯形不存在 图 4 图 4 图 4 如图 5两个全等的 t 直角边 知点 A(1， 2)抛物线 y 、 A、 （ 1）求该抛物线的函数解析式； （ 2）点 点 P作 ，交 ，问是否存在这样的点 P，使得四边形 等腰梯形？若存在，求出此时点 不存在，请说明理由 图 5解析】在等腰梯形中，构造辅助线常见的方法，就是把等腰梯形分割为一个矩形和两个全等的直角三角形如图 5 5坐标平面内，如果梯形的两底与坐标轴平行，一般根据 图 5， 图 5， （ 1）抛物线的解析式为23722y x x （ 2）如图 5果梯形 么 因此 直线 2设点 ( , )2么237( , )22M x x x 解方程23 7 12 ( )2 2 2x x x ，得1 23x，2 2x x 2 的几何意义是 重合，此时梯形不存在所以 21( , )33P 事实上，我们事先并不知道点 M（或点 P）的准确位置在哪里？甚至不知道点 M（或点P）在 右侧还是左侧？但这不影响我们解题，先假设，再列方程，然后根据方程的解验证位置 图 5 图 5 图 5 如图 6矩形 3， 4，动点 出发沿 运动，同时动点 出发沿对角线 运动过点 E/ 点 P、 Q 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到点 A 时