人教a版高中数学必修2第4章圆与方程全部教案 同步单元测试卷

第四章圆与方程本章教材分析上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素点、直线、圆然后对坐标和方程进行代数运算最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论这就是坐标法解决几何问题的三步曲坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题本章教学时间约需9课时,具体分配如下仅供参考411圆的标准方程1课时412圆的一般方程1课时421直线与圆的位置关系2课时422圆与圆的位置关系2课时431空间直角坐标系1课时432空间两点间的距离公式1课时本章复习1课时41圆的方程411圆的标准方程整体设计教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题三维目标1使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力2会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力3理解掌握圆的切线的求法包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美重点难点教学重点圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确教学难点会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程课时安排1课时教学过程导入新课思路1课前准备用淀粉在一张白纸上画上海和山说明在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是日出,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳课堂估计一种是非尺规作图指出数学作图的严谨性；一种作出后有同学觉得不够美点评其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点然后上升到数学层次不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程从用圆规作图复习初中所学圆的定义到定点的距离等于定长的点的轨迹那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程教师板书本节课题圆的标准方程思路2同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗圆的方程怎样来求呢这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题圆的标准方程推进新课新知探究提出问题已知两点A2,5,B6,9,如何求它们之间的距离若已知C3,8,DX,Y,又如何求它们之间的距离具有什么性质的点的轨迹称为圆图1中哪个点是定点哪个点是动点动点具有什么性质圆心和半径都反映了圆的什么特点图1我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么如果已知圆心坐标为CA,B,圆的半径为R,我们如何写出圆的方程圆的方程形式有什么特点当圆心在原点时,圆的方程是什么讨论结果根据两点之间的距离公式,得2121YX|AB|,25962|CD|83YX平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径教师在黑板上画一个圆圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|R,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为CA,B,半径为R其中A、B、R都是常数,R0设MX,Y为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是引导学生自己列出PM|MA|R,由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件R22BYAX将上式两边平方得XA2YB2R2化简可得XA2YB2R2若点MX,Y在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程,反之若点M的坐标满足方程,这就说明点M与圆心C的距离为R,即点M在圆心为C的圆上方程就是圆心为CA,B,半径长为R的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程这是二元二次方程,展开后没有XY项,括号内变数X,Y的系数都是1点A,B、R分别表示圆心的坐标和圆的半径当圆心在原点即C0,0时,方程为X2Y2R2提出问题根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么确定圆的方程的方法和步骤是什么坐标平面内的点与圆有什么位置关系如何判断讨论结果圆的标准方程XA2YB2R2中,有三个参数A、B、R,只要求出A、B、R且R0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于A、B、R的方程组,求A、B、R或直接求出圆心A,B和半径R,一般步骤为1根据题意,设所求的圆的标准方程XA2YB2R2；2根据已知条件,建立关于A、B、R的方程组；3解方程组,求出A、B、R的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程点MX0,Y0与圆XA2YB2R2的关系的判断方法当点MX0,Y0在圆XA2YB2R2上时,点M的坐标满足方程XA2YB2R2当点MX0,Y0不在圆XA2YB2R2上时,点M的坐标不满足方程XA2YB2R2用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为1点到圆心的距离大于半径,点在圆外X0A2Y0B2R2,点在圆外2点到圆心的距离等于半径,点在圆上X0A2Y0B2R2,点在圆上3点到圆心的距离小于半径,点在圆内X0A2Y0B2R2,点在圆内应用示例思路1例1写出下列各圆的标准方程1圆心在原点,半径是3；圆心在点C3,4,半径是53经过点P5,1,圆心在点C8,3；4圆心在点C1,3,并且和直线3X4Y70相切解1由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为X02Y0232,即X2Y292由于圆心在点C3,4,半径是5,所以圆的标准方程是X32Y4252,即X32Y4253方法一圆的半径R|CP|5,因此所求圆的标准方程为X82Y32255318522方法二设圆的标准方程为X82Y32R2,因为圆经过点P5,1,所以582132R2,R225,因此所求圆的标准方程为X82Y3225这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定4设圆的标准方程为X12Y32R2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以R因此25|16|73|所求圆的标准方程为X12Y3256点评要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程例2写出圆心为A2,3,半径长等于5的圆的方程,并判断点M15,7,M2,1是否在这个圆上5解圆心为A2,3,半径长等于5的圆的标准方程是X22Y3225,把点M15,7,M2,1分别代入方程X22Y3225,则M1的坐标满足方程,M1在圆上M2的坐标不满足方程,M2不在圆上点评本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上从代数到几何例3ABC的三个顶点的坐标是A5,1,B7,3,C2,8,求它的外接圆的方程活动教师引导学生从圆的标准方程XA2YB2R2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定A、B、R三个参数另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法解法一设所求的圆的标准方程为XA2YB2R2,因为A5,1,B7,3,C2,8都在圆上,它们的坐标都满足方程XA2YB2R2,于是382371,15222RBA解此方程组得所以ABC的外接圆的方程为X22Y32255,R解法二线段AB的中点坐标为6,1,斜率为2,所以线段AB的垂直平分线的方程为Y1X621同理线段AC的中点坐标为35,35,斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为Y353X35解由组成的方程组得X2,Y3,所以圆心坐标为2,3,半径R5,所以ABC的外22315接圆的方程为X22Y3225点评ABC外接圆的圆心是ABC的外心,它是ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路思路2例1图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB20M,拱高OP4M,在建造时每隔4M需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度精确到001M图2解建立坐标系如图,圆心在Y轴上,由题意得P0,4,B10,0设圆的方程为X2YB2R2,因为点P0,4和B10,0在圆上,所以解得01422RB,514022B所以这个圆的方程是X2Y10521452设点P22,Y0,由题意Y00,代入圆方程得22Y010521452,解得Y01051436105386M254答支柱A2P2的长度约为386M例2求与圆X2Y22X0外切,且与直线XY0相切于点3,的圆的方程33活动学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程解设所求圆的方程为XA2YB2R2圆X2Y22X0的圆心为1,0,半径为1因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即R1,01BA由圆与直线XY0相切于点3,得33331|2,12RBA解得A4,B0,R2或A0,B4,R63故所求圆的方程为X42Y24或X2Y4236点评一般情况下,如果已知圆心或易于求出或圆心到某一直线的距离或易于求出,可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径变式训练一圆过原点O和点P1,3,圆心在直线YX2上,求此圆的方程解法一因为圆心在直线YX2上,所以设圆心坐标为A,A2则圆的方程为XA2YA22R2因为点O0,0和P1,3在圆上,所以解得,231022RA825,41A所以所求的圆的方程为X2Y2417解法二由题意圆的弦OP的斜率为3,中点坐标为,213所以弦OP的垂直平分线方程为YX,即X3Y5023因为圆心在直线YX2上,且圆心在弦OP的垂直平分线上,所以由解得,即圆心坐标为C,0532YX471YX417又因为圆的半径R|OC|,82512所以所求的圆的方程为X2Y247点评1圆的标准方程中有A、B、R三个量,要求圆的标准方程即要求A、B、R三个量,有时可用待定系数法2要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用例3求下列圆的方程1圆心在直线Y2X上且与直线Y1X相切于点2,12圆心在点2,1,且截直线YX1所得弦长为22解1设圆心坐标为A,2A,由题意知圆与直线Y1X相切于点2,1,所以,解得A1所以所求圆心坐标为1,2,半径22211|AAR所以所求圆的标准方程为X12Y22222设圆的方程为X22Y12R2R0,由题意知圆心到直线YX1的距离为D又直线21|YX1被圆截得弦长为2,所以由弦长公式得R2D22,即R2所以所求圆的标准方程为X22Y124点评本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决知能训练课本本节练习1、2拓展提升1求圆心在直线Y2X上且与两直线3X4Y70和3X4Y30都相切的圆的方程活动学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法解首先两平行线的距离D2,所以半径为R121BAC2D方法一设与两直线3X4Y70和3X4Y30的距离相等的直线方程为3X4YK0,由平行线间的距离公式D,得,即K2,所以直线方程为3X4Y20解3X4Y20与Y2X组21|BAC2234|3|7|KK成的方程组得,因此圆心坐标为,又半径为R1,所以所求圆的方程为X,2,04XY1YX1242Y2114方法二解方程组因此圆心坐标为,13,67,4,2,034,2,0743XYXYXY和得与12又半径R1,所以所求圆的方程为X2Y21141点评要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理课堂小结圆的标准方程点与圆的位置关系的判断方法根据已知条件求圆的标准方程的方法利用圆的平面几何的知识构建方程直径端点是AX1,Y1、BX2,Y2的圆的方程是XX1XX2YY1YY20作业1复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容2预习有关圆的切线方程的求法3课本习题41A组第2、3题设计感想圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此我布设了由浅入深的学习环境,先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生应用数学的意识另外,为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心,高效地完成本节的学习任务备课资料备用习题1圆X22Y329的圆心坐标和半径分别是A2,3、3B2,3、C2,3、3D2,3、33答案A2点PM,5与圆X2Y225的位置关系是A在圆外B在圆上C在圆内D在圆上或圆外分析把点PM,5代入X2Y225,得M20,所以在圆上或圆外答案D3已知圆C与圆X12Y21关于直线YX对称,则圆C的方程是AX12Y21BX2Y21CX2Y121DX2Y121分析圆C与圆X12Y21关于直线YX对称,其半径不变,只求出圆心即可,而关于直线YX对称,则横、纵坐标交换位置,并取相反数,由圆X12Y21的圆心为1,0,知对称的圆心为0,1答案C4点1,1在圆XA2YA24的内部,则A的取值范围是A1A1B0A1CA1或A1DA1分析由于点1,1在圆XA2YA24的内部,所以1A21A24,A21所以1A1答案A52006重庆高考以点2,1为圆心且与直线3X4Y50相切的圆的方程为AX22Y123BX22Y123CX22Y129DX22Y123分析R3243|51|答案C设计者刘玉亭412圆的一般方程整体设计教学分析教材通过将二元二次方程X2Y2DXEYF0配方后化为X2Y2后只需讨论DF42FED2E24F0、D2E24F0、D2E24F0与圆的标准方程比较可知D2E24F0时,表示以,为圆D心,为半径的圆；当D2E24F0时,方程只有实数解X,Y,即只表示一个点1FE4,当D2E24F0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形从而得出圆的一般方程的特点1X2和Y2的系数相同,不等于0；2没有XY这样的二次项；3D2E24F0其中1和2是二元一次方程AX2BXYCY2DXEYF0表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件同圆的标准方程XA2YB2R2含有三个待定系数A、B、R一样,圆的一般方程X2Y2DXEYF0中也含有三个待定系数D、E、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆同样可以用待定系数法求得圆的一般方程在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢应根据具体问题确定圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可避免解三元二次方程组圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性三维目标1在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径掌握方程X2Y2DXEYF0表示圆的条件,通过对方程X2Y2DXEYF0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力2能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力重点难点教学重点圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F教学难点对圆的一般方程的认识、掌握和运用课时安排1课时教学过程导入新课思路1说出圆心为A,B,半径为R的圆的标准方程学生练习将以CA,B为圆心,R为半径的圆的标准方程展开并整理得X2Y22AX2BYA2B2R20指出如果D2A,E2B,FA2B2R2,得到方程X2Y2DXEYF0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式能不能说方程X2Y2DXEYF0所表示的曲线一定是圆呢这就是我们本堂课的内容,教师板书课题圆的一般方程思路2问题求过三点A0,0,B1,1,C4,2的圆的方程利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式教师板书课题圆的一般方程推进新课新知探究提出问题前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢给出式子X2Y2DXEYF0,请你利用配方法化成不含X和Y的一次项的式子把式子XA2YB2R2与X2Y2DXEYF0配方后的式子比较,得出X2Y2DXEYF0表示圆的条件对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点讨论结果以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式点斜式、两点式、展开整理而得到的我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般把式子X2Y2DXEYF0配方得X2Y2DE42FXA2YB2R2中,R0时表示圆,R0时表示点A,B,R0时不表示任何图形因此式子X2Y2DE42F当D2E24F0时,表示以,为圆心,为半径的圆；2DE21FE42当D2E24F0时,方程只有实数解X,Y,即只表示一个点,当D2E24F0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形综上所述,方程X2Y2DXEYF0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成X2Y2DXEYF0的形式,但方程X2Y2DXEYF0表示的曲线不一定是圆,只有当D2E24F0时,它表示的曲线才是圆因此X2Y2DXEYF0表示圆的充要条件是D2E24F0我们把形如X2Y2DXEYF0表示圆的方程称为圆的一般方程圆的一般方程形式上的特点X2和Y2的系数相同,不等于0没有XY这样的二次项圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显应用示例思路1例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程如果是,请求出圆的圆心及半径14X24Y24X12Y9024X24Y24X12Y110解1由4X24Y24X12Y90,得D1,E3,F,49而D2E24F19910,所以方程4X24Y24X12Y90表示圆的方程,其圆心坐标为,半径为；213212由4X24Y24X12Y110,得D1,E3,F,D2E24F191110,41所以方程4X24Y24X12Y110不表示圆的方程点评对于形如AX2BY2DXEYF0的方程判断其方程是否表示圆,要化为X2Y2DXEYF0的形式,再利用条件D2E24F与0的大小判断,不能直接套用另外,直接配方也可以判断变式训练求下列圆的半径和圆心坐标1X2Y28X6Y02X2Y22BY0解1把X2Y28X6Y0配方,得X42Y3252,所以圆心坐标为4,3,半径为5；2X2Y22BY0配方,得X2YB2B2,所以圆心坐标为0,B,半径为|B|例2求过三点O0,0、M11,1、M24,2的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标解方法一设所求圆的方程为X2Y2DXEYF0,由O、M1、M2在圆上,则有024,0FED解得D8,E6,F0,故所求圆的方程为X2Y28X6Y0,即X42Y3252所以圆心坐标为4,3,半径为5方法二先求出OM1的中点E,M1M2的中点F,53再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程YX,AB的垂直平分线PF的直线方程Y3X,23联立得得则点P的坐标为4,3,即为圆心OP5为半径,93YX,4X方法三设所求圆的圆心坐标为PA,B,根据圆的性质可得|OP|AP|BP|,即X2Y2X12Y12X42Y22,解之得P4,3,OP5为半径方法四设所求圆的方程为XA2YB2R2,因为O0,0、A1,1、B4,2在圆上,所以它们的坐标是方程的解把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于A、B、R的方程组,即24,1222RBAR解此方程组得所以所求圆的方程为X42Y3252,圆心坐标为4,3,半径为55,34R点评请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程例3已知点P10,0,Q为圆X2Y216上一动点当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程活动学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求图1解法一如图1,作MNOQ交X轴于N,则N为OP的中点,即N5,0因为|MN|OQ|2定长21所以所求点M的轨迹方程为X52Y24点评用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法转移法就是一种很重要的方法用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M的运动情况,探求它是由什么样的点控制的解法二设MX,Y为所求轨迹上任意一点QX0,Y0因为M是PQ的中点,所以21,2,100YXYX即又因为QX0,Y0在圆X2Y216上,所以X02Y0216将代入得2X1022Y216故所求的轨迹方程为X52Y24点评相关点法步骤设被动点MX,Y,主动点QX0,Y0求出点M与点Q坐标间的关系,021YXF从中解出,201YXG将代入主动点Q的轨迹方程已知曲线的方程,化简得被动点的轨迹方程这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用变式训练已知线段AB的端点B的坐标是4,3,端点A在圆X12Y24上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程解设点M的坐标是X,Y,点A的坐标是X0,Y0由于点B的坐标是4,3且M是线段AB的中点,所以X,Y于是有X02X4,Y02Y3240X30Y因为点A在圆X12Y24上运动,所以点A的坐标满足方程X12Y24,即X012Y024把代入,得2X4122Y324,整理,得X2Y213所以点M的轨迹是以,为圆心,半径长为1的圆3思路2例1求圆心在直线LXY0上,且过两圆C1X2Y22X10Y240和C2X2Y22X2Y80的交点的圆的方程活动学生审题,教师引导,强调应注意的问题,根据题目特点分析解题思路,确定解题方法由于两圆的交点可求,圆心在一直线上,所以应先求交点再设圆的标准方程解解两圆方程组成的方程组得两圆交点为0,2,4,0082,412YX设所求圆的方程为XA2YB2R2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线L上,所以得方程组0,24BAR解得A3,B3,R故所求圆的方程为X32Y32101点评由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程例2已知圆在X轴上的截距分别为1和3,在Y轴上的截距为1,求该圆的方程解法一利用圆的一般方程设所求的圆的方程为X2Y2DXEYF0,由已知,该圆经过点1,0,3,0和0,1,则有,解0132FED之得D4,E4,F3故所求圆的方程为X2Y24X4Y30解法二利用圆的标准方程由题意该圆经过P1,0,Q3,0,R1,0,设圆的方程为XA2YB2R2,则圆心CA,B在PQ的垂直平分线上,故A2因为|PC|RC|,所以将A2代入,得B2,所以C2,222211BAA而R|PC|,故所求圆的方程为X22Y2255例3试求圆CX2Y2X2Y0关于直线LXY10对称的曲线C的方程活动学生先思考,然后解答,教师引导学生抓住本质的东西,即圆的圆心坐标变化、半径不变,另外可利用相关点法来求解法一设PX,Y为所求曲线C上任意一点,P关于L的对称点为PX0,Y0,则PX0,Y0在圆C上由题意可得解得,1,0200XY1,0XY因为PX0,Y0在圆C上,所以X02Y02X02Y00将代入得Y12X12Y12X10,化简得X2Y24X3Y50,即为C的方程解法二特殊对称圆C关于直线L的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心C,即求,1关于直线21LXY10的对称点C2,因此所求圆C的方程为X22Y223345点评比较解法一与解法二看出,利用几何性质解题往往较简单知能训练课本练习1、2、3拓展提升问题已知圆X2Y2X8YM0与直线X2Y60相交于P、Q两点,定点R1,1,若PRQR,求实数M的值解设PX1,Y1、QX2,Y2,由消去Y得5X24M60006,82YXM由题意,方程有两个不等的实数根,所以604M0,M15由韦达定理1254,21X因为PRQR,所以KPRKQR1所以1,即X11X21Y11Y210,21XY即X1X2X1X2Y1Y2Y1Y220因为Y13,Y23,所以Y1Y2339X1X29,X1234X21Y1Y26,代入得X1X250,即M12504545所以M10,适合M15所以实数M的值为10课堂小结1任何一个圆的方程都可以写成X2Y2DXEYF0的形式,但方程X2Y2DXEYF0表示的曲线不一定是圆,只有D2E24F0时,方程表示圆心为,半径为R的圆2DE21FED422求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程3要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法作业习题41A组1、6,B组1、2、3设计感想这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,引导学生探索,重视探索过程一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾、类比,学生从中领会探求方法；另一方面,“把标准方程展开认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法同时,通过类比进行条件的探求“D2E24F”与“”判别式类比在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程备课资料备用习题1若方程X2Y2AX2AY2A2A10表示圆,则A的取值范围是AA2或ABA0332C2A0D2A分析由二元二次方程表示圆的条件,有D2E24FA22A242A2A10解之,可得2A32答案D2过原点且在X,Y轴上的截距分别为P,QP,Q均不为0的圆的方程是AX2Y2PXQY0BX2Y2PXQY0CX2Y2PXQY0DX2Y2PXQY0分析由题意知圆过原点,且在X,Y轴上的截距分别为P、Q,则圆的圆心坐标为,且常数项为02PQ答案A3已知圆C的方程为FX,Y0,点AX0,Y0是圆外的一点,那么方程FX,YFX0,Y00表示的曲线是A与圆C重合的圆B过点AX0,Y0与圆C相交的圆C过点AX0,Y0与圆C同心的圆D可能不是圆分析设FX,YX2Y2DXEYF0,则FX0,Y0X02Y02DX0EY0F0,从而FX,YFX0,Y0X2Y2DXEYFX02Y02DX0EY0F0,过点AX0,Y0与圆C同心答案C设计者邓新国42直线、圆的位置关系421直线与圆的位置关系整体设计教学分析学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离D与半径R的关系判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离D与半径R的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法解决问题的方法主要是几何法和代数法其中几何法应该是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离D后,比较与半径R的关系从而作出判断适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”,并与“几何法”欣赏比较,以决优劣,从而也深化了基本的“几何法”含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,要控制难度虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质三维目标1理解直线与圆的位置关系,明确直线与圆的三种位置关系的判定方法,培养学生数形结合的数学思想2会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形,明确数与形的统一性和联系性重点难点教学重点直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法教学难点用坐标法判断直线与圆的位置关系课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1平面解析几何是高考的重点和热点内容,每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题,考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等,本节主要学习直线与圆的关系思路2复习导入1直线方程AXBYC0A,B不同时为零2圆的标准方程XA2YB2R2,圆心为A,B,半径为R3圆的一般方程X2Y2DXEYF0其中D2E24F0，圆心为,半径为2DE21FE42推进新课新知探究提出问题初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢判断直线与圆的位置关系有几种方法它们的特点是什么讨论结果初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种直线与圆的三种位置关系的含义是直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离D与半径R的关系图形相交两个DR相切只有一个DR相离没有DR方法一,判断直线L与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判断方法几何方法步骤1把直线方程化为一般式,求出圆心和半径2利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离3作判断当DR时,直线与圆相离；当DR时,直线与圆相切当DR时,直线与圆相交代数方法步骤1将直线方程与圆的方程联立成方程组2利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程3求出其判别式的值4比较与0的大小关系,若0,则直线与圆相离；若0,则直线与圆相切若0,则直线与圆相交反之也成立应用示例思路1例1已知直线L3XY60和圆心为C的圆X2Y22Y40,判断直线L与圆的位置关系如果相交,求出它们的交点坐标活动学生思考或交流,回顾判断的方法与步骤,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价方法一,判断直线L与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系解法一由直线L与圆的方程,得20421632YX消去Y,得X23X20,因为3241210,所以直线L与圆相交,有两个公共点解法二圆X2Y22Y40可化为X2Y125,其圆心C的坐标为0,1,半径长为,圆心C到直线L的距离5D所以直线L与圆相交,有两个公共点213|60|05由X23X20,得X12,X21把X12代入方程,得Y10把X21代入方程,得Y23所以直线L与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别是2,0和1,3点评比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是若要求交点,仍需联立方程组求解例2已知圆的方程是X2Y22,直线YXB,当B为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点没有公共点活动学生思考或交流,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价我们知道,判断直线L与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解,或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系反过来,当已知圆与直线的位置关系时,也可求字母的取值范围,所求曲线公共点问题可转化为B为何值时,方程组有两组不同实数根、有两组相同实根、无实根的问题圆BXY,22与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题,可转化为B为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题解法一若直线LYXB和圆X2Y22有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点,则方程组有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,BXY2消去Y,得2X22BXB220,所以2B242B22164B2所以,当164B20,即2B2时,圆与直线有两个公共点；当164B20,即B2时,圆与直线只有一个公共点；当164B20,即B2或B2时,圆与直线没有公共点解法二圆X2Y22的圆心C的坐标为0,0,半径长为2,圆心C到直线LYXB的距离D|1|0|2当DR时,即,即|B|2,即B2或B2时,圆与直线没有公共点|B当DR时,即,即|B|2,即B2时,圆与直线只有一个公共点；2|当DR时,即,即|B|2,即2B2时,圆与直线有两个公共点|B点评由于圆的特殊性,判断圆与直线的位置关系,多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法,而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断,则需要利用方程组解的个数来判断变式训练已知直线L过点P4,0,且与圆OX2Y28相交,求直线L的倾斜角的取值范围解法一设直线L的方程为YKX4,即KXY4K0,因为直线L与圆O相交,所以圆心O到直线L的距离小于半径,即2,化简得K21,所以1K1,即1TAN11|4|K当0TAN1时,0；当1TAN0时,443所以的取值范围是0,解法二设直线L的方程为YKX4,由,消去Y得K21X28K2X16K280842YXK因为直线L与圆O相交,所以8K224K2116K280,化简得K21以下同解法一点评涉及直线与圆的位置关系的问题,常可运用以上两种方法本题若改为选择题或填空题,也可利用图形直接得到答案思路2例1已知圆的方程是X2Y2R2,求经过圆上一点MX0,Y0的切线方程活动学生思考讨论,教师提示学生解题的思路,引导学生回顾直线方程的求法,既考虑通法又考虑图形的几何性质此切线过点X0,Y0,要确定其方程,只需求出其斜率K,可利用待定系数法或直接求解直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径,切线与法线垂直解法一当点M不在坐标轴上时,设切线的斜率为K,半径OM的斜率为K1,因为圆的切线垂直于过切点的半径,所以K1K因为K1所以K所以经过点M的切线方程是YY0XX00XY0YX整理得X0XY0YX02Y02又因为点MX0,Y0在圆上,所以X02Y02R2所以所求的切线方程是X0XY0YR2当点M在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用解法二设PX,Y为所求切线上的任意一点,当P与M不重合时,OPM为直角三角形,OP为斜边,所以OP2OM2MP2,即X2Y2X02Y02XX02YY02整理得X0XY0YR2可以验证,当P与M重合时同样适合上式,故所求的切线方程是X0XY0YR2解法三设PX,Y为所求切线上的任意一点,当点M不在坐标轴上时,由OMMP得KOMKMP1,即0XY1,整理得X0XY0YR2可以验证,当点M在坐标轴上时,P与M重合,同样适合上式,故所求的切线方XY0程是X0XY0YR2点评如果已知圆上一点的坐标,我们可直接利用上述方程写出过这一点的切线方程变式训练求过圆CXA2YB2R2上一点MX0,Y0的圆的切线方程解设X0A,Y0B,所求切线斜率为K,则由圆的切线垂直于过切点的半径,得K,所以所求方BYAXKCM01程为YY0XX0,即YBY0BXAX0AX0A2BYAY0B2又点MX0,Y0在圆上,则有X0A2Y0B2R2代入上式,得YBY0BXAX0AR2当X0A,Y0B时仍然成立,所以过圆CXA2YB2R2上一点MX0,Y0的圆的切线方程为YBY0BXAX0AR2例2从点P4,5向圆X22Y24引切线,求切线方程活动学生思考交流,提出解题的方法,回想直线方程的求法,先验证点与圆的位置关系,再利用几何性质解题解把点P4,5代入X22Y24,得42252294,所以点P在圆X22Y24外设切线斜率为K,则切线方程为Y5KX4,即KXY54K0又圆心坐标为2,0,R2因为圆心到切线的距离等于半径,即2,K1|4502|K01所以切线方程为21X20Y160当直线的斜率不存在时还有一条切线是X4点评过圆外已知点PX,Y的圆的切线必有两条,一般可设切线斜率为K,写出点斜式方程,再利用圆心到切线的距离等于半径,写出有关K的方程求出K,因为有两条,所以应有两个不同的K值,当求得的K值只有一个时,说明有一条切线斜率不存在,即为垂直于X轴的直线,所以补上一条切线XX1变式训练求过点M3,1,且与圆X12Y24相切的直线L的方程解设切线方程为Y1KX3,即KXY3K10,因为圆心1,0到切线L的距离等于半径2,所以2,解得K221|3|K43所以切线方程为Y1X3,即3X4Y130当过点M的直线的斜率不存在时,其方程为X3,圆心1,0到此直线的距离等于半径2,故直线X3也符合题意所以直线L的方程是3X4Y120或X3例31已知直线LYXB与曲线CY有两个不同的公共点,求实数B的取值范围；21X2若关于X的不等式XB解集为R,求实数B的取值范围21X图1解1如图1数形结合,方程YXB表示斜率为1,在Y轴上截距为B的直线L；方程Y表示单位圆在X轴上及其上方的半圆,21X当直线过B点时,它与半圆交于两点,此时B1,直线记为L1；当直线与半圆相切时,B,直线记为L2直线L要与半圆有两个不同的公共点,必须满足L在L1与L2之间包括L1但不包括L2,所以1B,即所求的B的取值范围是1,22不等式XB恒成立,即半圆Y在直线YXB上方,1X2X当直线L过点1,0时,B1,所以所求的B的取值范围是,1点评利用数形结合解题,有时非常方便直观知能训练本节练习2、3、4拓展提升圆X2Y28内有一点P01,2,AB为过点P0且倾斜角为的弦1当时,求AB的长；42当AB的长最短时,求直线AB的方程解1当时,直