闫雪修改后的最终论文

分类号学校代码10165密级学号201211000710硕士学位论文纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面2015年03月作者姓名闫雪学科、专业基础数学研究方向低维拓扑导师姓名韩友发王树新学位论文独创性声明本人承诺所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。学位论文作者签名学位论文版权的使用授权书本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。保密的学位论文在解密后使用本授权书。学位论文作者签名指导教师签名签名日期年月日辽宁师范大学硕士学位论文I摘要纽结和空间图补空间中不可压缩两两不可压缩曲面的存在性及其分类,对于给出纽结和空间图的分类具有非常积极的作用本论文从上述角度出发,利用纽结和空间图补空间中不可压缩两两不可压缩曲面的性质与三维流形的组合技巧,针对交错纽结补空间中不可压缩两两不可压缩曲面的亏格进行分类，给出时不可压缩两两不可压缩曲面的构造方法,且在此基础上研究的边界分支数不大于12时其拓扑图构造形式,指出当分别取0,1,2,3时,它们彼此之间的差别证明了一类交错空间图补空间中不可压缩两两不可压缩曲面都是穿孔球面特别地,本文将交错纽结补空间中不可压缩两两不可压缩曲面的分类技巧应用到交错空间图补空间中不可压缩两两不可压缩曲面的分类,本文得到的结果对于给出空间图的合痕分类具有非常重要的作用关键词不可压缩曲面；不可压缩两两不可压缩曲面；交错空间图；拓扑图；穿孔球面FGFGF3FFGF纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面IINCOMPRESSIBLEPAIRWISEINCOMPRESSIBLESURFACESINTHECOMPLEMENTSOFKNOTANDSPATIALGRAPHABSTRACTTHEEXISTENCEANDCLASSIFICATIONOFINCOMPRESSIBLEPAIRWISEINCOMPRESSIBLESURFACEINTHECOMPLEMENTSOFKNOTANDSPATIALGRAPHHAVEVERYACTIVEROLEINKNOTANDSPATIALGRAPHTHEORYTHISPAPERFROMTHEPERSPECTIVEOFTHEABOVE,BYUSINGTHEPROPERTIESOFINCOMPRESSIBLEPAIRWISEINCOMPRESSIBLESURFACEINTHECOMPLEMENTSOFKNOTANDSPATIALANDTHECOMBINATIONMETHODSOF3MANIFOLDS,BYTHEGENUSOFINCOMPRESSIBLEPAIRWISEINCOMPRESSIBLESURFACEFINTHECOMPLEMENTSOFALTERNATINGKNOT,ITGIVESACONSTRUCTINGMETHODOFINCOMPRESSIBLEPAIRWISEINCOMPRESSIBLESURFACESWITHGENUSATMOSTTHREE,ANDSINGULARTHEFORMOFTOPOLOGICALGRAPHOFINCOMPRESSIBLEPAIRWISEINCOMPRESSIBLESURFACESWITHBOUNDARIESATMOSTTWELVEANDANALYSESTHEDIFFERENCEBETWEENTHEMFORGENUSATMOSTTHREEFURTHERMORE,ITPROVESTHATINCOMPRESSIBLEPAIRWISEINCOMPRESSIBLESURFACESINACLASSOFALTERNATINGSPATIALGRAPHCOMPLEMENTSAREPUNCTUREDSPHERESINPARTICULAR,THISPAPERWILLAPPLYTHETECHNIQUESOFTHECLASSIFICATIONOFINCOMPRESSIBLEPAIRWISEINCOMPRESSIBLESURFACESINTHECOMPLEMENTSOFALTERNATINGKNOTTOTHECLASSIFICATIONOFINCOMPRESSIBLEPAIRWISEINCOMPRESSIBLESURFACESINALTERNATINGSPATIALGRAPHTHERESULTSOBTAINEDINTHISPAPERPLAYSAVERYIMPORTANTROLEFORTHECLASSIFICATIONOFKNOTSANDSPATIALGRAPHSUPTOISOTOPYKEYWORDSINCOMPRESSIBLESURFACE；INCOMPRESSIBLEPAIRWISEINCOMPRESSIBLESURFACE；ALTERNATINGSPATIALGRAPH；TOPOLOGICALGRAPH；PUNCTUREDSPHERE辽宁师范大学硕士学位论文III目录摘要IABSTRACTII引言11预备知识211纽结与链环的基本概念212纽结补空间中的不可压缩基本曲面513纽结补空间中不可压缩基本曲面的拓扑图及特征数112交错纽结补空间中不可压缩基本曲面的构造1321亏格为0的不可压缩基本曲面的构造1322亏格为1的不可压缩基本曲面的构造1623亏格为2的不可压缩基本曲面的构造1924亏格为3的不可压缩基本曲面的构造213一类交错空间图补空间中的不可压缩基本曲面25结论28参考文献29攻读硕士学位期间发表学术论文情况31致谢32辽宁师范大学硕士学位论文1引言纽结、空间图补空间中不可压缩两两不可压缩曲面的性质对于研究纽结和空间图的分类具有非常重要的意义近年来，纽结、空间图补空间中不可压缩基本曲面的研究结果主要包括WMENASCO在文献12中证明了交错纽结补空间中具有子午线边界分支的不可压缩基本曲面的合痕有限性,确定了具有子午线边界分支的、穿孔不大于6的不可压缩基本曲面都是穿孔球面；韩友发在文献3中证明了几乎交错纽结补空间中具有子午线边界分支的、穿孔不大于6的不可压缩基本曲面都是穿孔球面由于纽结理论与空间图理论具有天然和紧密地联系,所以研究空间图补空间中不可压缩基本曲面的性质及其分类,显然是值得关注的特别的,CADAMS等人在文献4中证明了交错图补空间中穿孔不大于7的不可压缩基本曲面都是穿孔球面研究一类交错空间图补空间中不可压缩基本曲面的性质,利用三维流形组合拓扑的技巧和方法构造一类交错纽结补空间中小亏格的具有子午线边界分支的不可压缩基本的曲面的构造方式本论文主要研究两个方面的内容一方面,本文利用交错纽结补空间中不可压缩基本曲面的性质,对交错纽结补空间中不可压缩基本曲面的拓扑图进行研究,给出其补空间中具有子午线边界分支的不可压缩基本曲面的构造方法具体的本文给出当的拓扑图的分支数为3和4时,交错纽结补空间中亏格为0的具有子午线边界分支的不可压缩基本曲面的构造方式；给出当的拓扑图的分支数为3和4时,交错纽结补空间中亏格为1的具有子午线边界分支的不可压缩基本曲面的构造方式；给出当的拓扑图的分支数为3时,交错纽结补空间中一类亏格为2的具有子午线边界分支的不可压缩基本曲面的构造方式；给出当的拓扑图的分支数为3时,交错纽结补空间中一类亏格为3的具有子午线边界分支的不可压缩基本曲面的构造方式；另一方面,本文利用WMENASCO的纽结补空间中不可压缩基本曲面的拓扑图理论,结合三维流形的组合讨论技巧和方法,证明一类交错空间图补空间中具有子午线边界分支的不可压缩基本曲面是穿孔球面本文共分为四部分第一部分为预备知识,给出本文所需的定义、引理及典型例子；第二部分为本论文两个研究方面之一,即交错纽结补空间中具有子午线边界分支的不可压缩基本曲面对应的的拓扑图的分支数不大于4时小亏格不可压缩基本曲面的构造方法；第三部分为本论文研究的另一方面,一类交错空间图补空间中具有子午线边界分支的、连通的不可压缩基本曲面是中的穿孔球面；第四部分为本文总结FS2FS2FS2FS2FS2FS3G纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面21预备知识11纽结与链环的基本概念定义111纽结是三维空间中的简单闭曲线简单说,纽结是一个封闭的圆圈一个没有结的纽结称为平凡纽结,如图111所示图111通过纽结理论的基本知识可知,纽结中存在无数个非平凡纽结,如图112所示为非平凡纽结中的三叶结图112辽宁师范大学硕士学位论文3定义112设是一个纽结,选定一个合适的方向对其投影,令在平面上的投影的自相交点仅为二重交叉点,用虚线和实线来表示交叉的情况,这样的图形为纽结的投影图注111一般的,纽结的投影图用来表示定义113设是一个纽结或链环,是它的一个投影图,如果沿着中的每一条线,交叉点都是一上一下一上一下地交替出现的,则称是的一个交错投影图,此时称是一个交错纽结或交错链环下面是方结的两个投影图,图113是方结的非交错的投影图,图114是方结的交错投影图图113图114KKDKKDKDKDKKK纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面4定义114设,为两个有向纽结,如图115所示,把它们分别放在平面的左侧和右侧,分别把它们的一小部分（任意一小部分）拉向它们中间的平面,如图116,然后如图117把它们在相应平面处接通,使得走向互相协调这就得到原来两个有向纽结的和,又称连通和,记作图115图116K1K2K1K2辽宁师范大学硕士学位论文5图117定义115设是一个非平凡纽结,若不能再分解成两个非平凡纽结的连通和，则称是素纽结12纽结补空间中的不可压缩基本曲面定义121设是一个可定向三维流形,是中的一个真嵌入曲面如果上存在一条本质闭曲线,使得在中界定一个2圆片（2圆盘）且,则称是中的可压缩曲面；否则称为中的不可压缩曲面例121设是中的一个纽结,为在中的一个正则开邻域,则是中的可压缩曲面当且仅当是平凡纽结设是一个交错纽结,将投影到某一个得到的一个投影图,将的每一个交叉点对应一个空心球（）,如图121所示如果存在个交叉点,则存在个实心球图121KKKMFMFCCMDDINTDFFMFMKS3KKS3EKS3KEKEKFKKS2R2S3KDKDKBUBBLEDKNNB31,B32,B3N纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面6那么不失一般性,设进一步的,设,其中分别是的上下半球面设是一个交错纽结,是中具有子午线边界分支的曲面通过合痕变换可以使得的边界不与空心球相交且与的交点对应的空心球横截相交,的内部交实心球的内部为马鞍形圆盘,如图122所示图122通过上述标记和合痕变换,的每一个分支都是简单闭曲线将投影到图所在的投影球面上,其局部如图123图123B31S2I,B3IS2II1,2,NS2S2NI1INI1S2IS2S2NI1INI1S2IB3S2B3S2S2I,S2IS2IKFS3KFFDKFB31,B32,B3NSADDLEFS2FDK辽宁师范大学硕士学位论文7此时的每一个分支都对应一个简单的字表示,字表示的规则是若曲线被穿越一次则记一个,若曲线经过某一个马鞍形圆盘的边界则记一个,若记的字表示为,则的一般表示为,若记为的长度,则必有的长度为偶数例122如图124,有两个分支,分别用曲线和表示,则它们的字表示分别为,图124FS2KPSCFS2CWCWCWCPI1SJ1PI2SJ2PINSJNI1J1I2J2INJNWCWCFS2C1C2WC1PSPSWC2PSPS纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面8引理1211如果是一个非分离的素的交错链环,且如果是一个闭的不可压缩曲面,那么包含的一个在中合痕于的子午线的环路引理1221一个非分离的素的交错链环是简单的,即每一个在中的不可压缩环面都是边界平行的引理1231若是一个非分离的素的交错链环,并且不是一个环面链环,则有一个完全双曲结构在引理121之后,很自然的要研究不可压缩闭曲面,考虑其子午线割补术的运算,在图125中表明这种子午线割补术总保留其不可压缩性,这点很容易确认在有限次多个子午线手术之后,成为“不可压缩两两不可压缩曲面”注122以下我们把不可压缩两两不可压缩曲面称为不可压缩基本曲面图125引理1241设是非分离素的交错链环,且假设是不可压缩基本曲面,有个边界分支,这些都是的子午线（必为偶数）那么（1）如果,是一个圆环,必是边界平行的；（2）如果,亏格为0；（3）对固定,在合痕的定义下,只有有限个定义122设是一个交错纽结,是中的一个不可压缩基本曲面如果对于中任意一个横截相交于一点且满足的圆盘,都存在一个与具有相同边界且横截相交于一点的圆盘,则称是中的一个不可压缩基本曲面LFS3LFS3LLS3LLS3LFS3LFLFS3LN0LNN2FLN4,6FNFKFS3KS3KDFDDDKDFKFS3K辽宁师范大学硕士学位论文9我们考虑以下情况之一（1）是连通的且是一个在中不界定球的二维球面；（2）是不可约的,是一个平环,含有非平凡连通和部分；3是不可约的,其中是素的,且是不可压缩两两不可压缩的引理1251在上述这些情况中,曲面可以被另一个有相同型的代替（在第三种情况下合痕于（1）中每条闭曲线对应的字非空,是的任意一条闭曲线；（2）中的环路没有交多于一个弧如果满足引理125中的（1）和（2）,则称处在标准位置定义123设是交错纽结补空间中的曲面若满足下列条件,则称处于标准位置1中每条曲线对应的字表示都是非空的；2中的任意一个分支至多经过每一个空心球一次；3的每个分支在中都界定一个圆盘引理1267设是一个非分离的素的交错链环,是中处于标准位置的曲面若下面两种情况都不发生,那么是不可压缩基本曲面（1）的任何一个环路与的一个分支相交不止一次；（2）对于的任何一个环路,的任何一个环路,存在弧段,且使得落在的分支相邻的一个公共空心球引理1277设是一个素的交错链环,是中的不可压缩基本曲面,则一定可经过合痕变换使得处于标准位置引理1287设是一个素的交错链环,是中处于标准位置的不可压缩基本曲面,进一步的我们还可以通过合痕变换使得满足KFS3KS3KFKK1K2S3KKFFFFFS2WCCFS2FS2BUBBLEFFFS2FFS2FS2FS2FS2B3B3LFS3LFFS2S2S2LFS2FS2A,CS2S2LB,CS2S2LCA,B,CS2S2LLFS3LFLFS3LF纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面101中的曲线不能同时经过某一个空心球及端点落在此空心球上的的弧；2的任何一个分支至多与的一个分支相交一次；3对于的任一分支,的任一分支,不存在弧段使得和落在的相邻分支,且13纽结补空间中不可压缩基本曲面的拓扑图及特征数定义131设是三维流形中的两个横截相交曲面,是与相交的一条曲线若在曲面上界定某一子曲面,且的内部不与相交,则在上称是的在上的一条最内曲线定义132设分别是和的拓扑图,而且这两个图是分离的,和分别是的最内环路,分别在这两条曲线上截去一段弧（这段弧即不与相交,也不与任何一个相交,必存在这样的弧）,用不同的两个弧连接4个点,从而得到一个新图,则称此新图是的连通和,记为如图131图131通过以上论述可知,是由有限条简单闭曲线组成,那么我们定义这些闭曲线和全部马鞍形圆盘构成的图为的拓扑图,记为,也可以简写为我们用表示拓扑图中的分支数,用表示拓扑图中的分支数；则表示拓扑图中FS2LS2FS2LS2FS2FS2A,BABS2S2LABS1,S2MCS1S2CS1SSS2S1CS1S2S1T1,T2F1S2F2S2C1C2T1,T2KBUBBLET1,T2T1T2FS2FTFTNFS2NFS2NS辽宁师范大学硕士学位论文11马鞍形圆盘的个数我们用表示拓扑图的特征数,则为拓扑图的特征数关于纽结补空间中不可压缩基本曲面对应的拓扑图特征数已有的结果包括引理1316若,则引理1326设是一个交错纽结,是不可压缩基本曲面,则例131如图132,可知,，由引理132,此时此图中对应曲线和的字表示为,图132EETNNNSTT1T2ETET1ET22KFS3KETFFS2C1,C2N2N2NS2ETFNNNS2GF0FS2C1C2WC1PSPSWC2PSPS纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面122交错纽结补空间中不可压缩基本曲面的构造21亏格为0的不可压缩基本曲面的构造引理2114若有一个或者两个分支,则注211由引理211知,分支数不大于2,不可压缩基本曲面亏格为0的方向已有研究,所以在本文中只考虑分支数为3或4的情况引理2124设是一个交错纽结,是不可压缩基本曲面,则当时,注212迟昊妍在文献4中给出当,的分支数不大于4时,本文将给出当时,的某些分支数为3或4的拓扑图的构造方法定理211设是一个交错纽结,是不可压缩曲面,如果满足图211和212,则是不可压缩基本曲面，且证明由引理127可知,我们可以通过合痕变换使得处于标准位置,那么我们可以认为满足引理128由连通及处于标准位置可知,的投影图的每个交叉点对应的处都有偶数条封闭曲线经过,并且相应的曲线成对的出现在每一个交叉点对应穿线的左右两侧我们通过对含有3或4个分支数分别进行研究（1）分支数为3,如图211图211FS2GF0FS2FFS2KFS3KF8GF0F8FS2GF0GF0FS2KFS3KTFFGF0FFS2FFKDKBUBBLEFS2FS2辽宁师范大学硕士学位论文13显然,可知,由引理132可知,从而得证分支数为3时,亏格为0（2）分支数为4,如图212图212,可知,由引理132可知,从而得证当分支数为4时,亏格为0综上,结合引理212,定理211得证推论211设是一个交错纽结,是不可压缩基本曲面,分别为的三个分支,若通过图211和图213相同的方式构造不可压缩基本曲面,那么添加任意多偶数个,都有成立证明如图211,通过此种方法构造的不可压缩基本曲面满足推论211,下面我们证明图213所示也满足推论211如图213所示,显然,可知,由引理132可知,从而FS2C1,C2,C3N3N9NS10ETFNNNS2GF0FS2FFS2FS2C1,C2,C3,C4N4N8NS10ETFNNNS2GF0FS2FKFS3KC1,C2,C3FS2BUBBLEGF0FS2C1,C2,C3N3N11NS12ETFNNNS2GF0纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面14综上,图213也满足推论211,那么我们可以认为,通过这种方法可以构造出有限多个亏格为0的不可压缩基本曲面图213推论212设是一个交错纽结,是不可压缩基本曲面,分别为的四个分支,若通过图212和图214相同的方式构造不可压缩基本曲面,那么添加任意多偶数个,都有成立注213此推论证明过程与推论211证明过程相同,所以在此不再给出详细证明,只给出图例以供参考分支数为4时,如图214图214,可知，,由引理132可知,从而KFS3KC1,C2,C3,C4FS2BUBBLEGF0FS2FS2C1,C2,C3,C4N4N10NS12ETFNNNS2GF0辽宁师范大学硕士学位论文1522亏格为1的不可压缩基本曲面的构造根据定理211,我们可以用同样的方法可以得到当分支数为3和4时,亏格为1的不可压缩基本曲面定理222设是一个交错纽结,是不可压缩曲面,如果满足图221图226,则是不可压缩基本曲面，且证明由定理211,我们可以通过对分支数的不同进行分情况讨论注221这里的证明与定理211证明过程相同,这里就不多加叙述,只简单给出分类（1）分支数为3注222在这里我们对再次进行分情况讨论（A）当时，如图221所示图221,可知,由引理132可知,从而（B）当时，如图222所示FS2KFS3KTFFGF1FS2FS2NSNS6FS2C1,C2,C3N3N3NS6ETFNNNS0GF1NS8纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面16图222,可知,由引理132可知,从而（C）当时,如图223所示图223,可知,由引理132可知,从而所以，当分支数为3,（2）分支数为4（A）当时,如图224所示FS2C1,C2,C3N3N5NS8ETFNNNS0GF1NS10FS2C1,C2,C3N3N7NS10ETFNNNS0GF1FS2GF1FS2NS6辽宁师范大学硕士学位论文17图224,可知,由引理132可知,从而（B）当时,如图225所示图225,可知,由引理132可知,从而（C）当时,如图226所示FS2C1,C2,C3,C4N4N2NS6ETFNNNS0GF1NS8FS2C1,C2,C3,C4N4N4NS8ETFNNNS0GF1NS10纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面18图226,可知,即,由引理132可知,从而所以,当分支数为4,综上所示,当用这种相同的构造方式,我们可以得出每增加偶数个,且不改变的分支数的前提下,不可压缩基本曲面的亏格不变,且23亏格为2的不可压缩基本曲面的构造根据以上定理,我们同样可以构造亏格为2的不可压缩基本曲面,在这里本文给出分支数为3和4的不可压缩基本曲面构造方法定理231设是一个交错纽结,是不可压缩曲面,分支数为3,如果满足图231和图232,则是不可压缩基本曲面，且以下是对和两种情况进行的讨论（A）当时,如图231所示FS2C1,C2,C3,C4N4N6NS10ETFNNNS0GF1FS2GF1BUBBLEFS2FGF1FS2KFS3KFS2TFFGF2NS10NS12NS10辽宁师范大学硕士学位论文19图231,可知,由引理132可知,从而（B）当时，如图232所示图232,可知,由引理132可知,从而得证当分支数为3时,如果满足图231和图232,则定理232设是一个交错纽结,是不可压缩曲面,分支数为4,如果满足图233,则是不可压缩基本曲面，且当时,如图233所示图233FS2C1,C2,C3N3N5NS10ETFNNNS2GF2NS12FS2C1,C2,C3N3N7NS12ETFNNNS2GF2FS2TFGF2KFS3KFS2TFFGF2NS10纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面20,可知,由引理132可知,从而得证当分支数为4时,如果满足图233,则通过对比本论文中以上小亏格分支数为3和4的一些构造方法可知,若曲面亏格越大,则我们构造不可压缩基本曲面所需的越多24亏格为3的不可压缩基本曲面的构造根据以上定理,我们可以构造亏格为3的不可压缩基本曲面,通过对分支数为3和4两种情况进行研究,并考虑当亏格越大时,所需的最少值定理241设是一个交错纽结,是不可压缩曲面,分支数为3,如果满足图241,则是不可压缩基本曲面，且分支数为3,如图241所示图241,可知,由引理132可知,从而得证当分支数为3时,如果满足图241,则根据图241对分支数为3时的不可压缩基本曲面进行构造,那么当时,如图242FS2C1,C2,C3,C4N4N4NS10ETFNNNS2GF2FS2TFGF2FS2BUBBLEFS2BUBBLEKFS3KFS2TFFGF3FS2FS2C1,C2,C3N3N1NS8ETFNNNS4GF3FS2TFGF3FS2NS6辽宁师范大学硕士学位论文21图242,可知,由引理132可知,从而当时,我们用相同的方法构造出图243图243,可知,由引理132可知,从而FS2C1,C2,C3N3N1NS6ETFNNNS2GF2NS4FS2C1,C2,C3N3N1NS4ETFNNNS0GF1纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面22综上,由图241,图242及图243可知,当的分支数为3,用这种方法构造的不可压缩基本曲面,随着数的改变,的分支数不变都为1,每增加两个,其亏格数增加1定理242设是一个交错纽结,是不可压缩曲面,分支数为4,如果满足图244和图245,且不小于10,则是不可压缩基本曲面，且（1）当时,已知,若想得到亏格为3的不可压缩基本曲面,由知,那么此曲面无法构造（2）当时,如图243所示图244,可知,由引理132可知,从而（3）当时,如图245所示FS2FBUBBLEFS2BUBBLEKFS3KFS2TFNSFGF3NS8N4ETFNNNS4N0NS10FS2C1,C2,C3,C4N4N2NS10ETFNNNS4GF3NS12辽宁师范大学硕士学位论文23图245,可知,由引理132可知,从而得证当分支数为4时,如果满足图244和图245,不小于10,则FS2C1,C2,C3,C4N4N4NS12ETFNNNS4GF3FS2TFNSGF3纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面243一类交错空间图补空间中的不可压缩基本曲面定义31设是一个有限抽象图,称在中的一个嵌入为一个空间图,记为定义32设是一空间图,是在中的开的正则邻域,称是空间图的补空间定义33设是一个空间图,是的一个投影图,是所有顶点和不被穿越边的并集,是在投影平面上的一个正则邻域如果满足下列两个条件（1）沿着的任何一条边前进,交叉点都是一上一下交替出现；（2）沿着的任何一个方向前进,离开的相邻边之间的第一个交叉点都是一上一下交替出现,则称是的一个交错投影图定义34设是一个空间图,如果的某一个投影图是交错的,则称是一个交错空间图,其中定义35设是具有一个顶点的连通空间图若，其中是与同样的空间图且顶点均为,则称是的束命题31设是一个交错空间图，其投影图如图31所示若是补空间中的具有子午线边界分支的、连通的不可压缩基本曲面,则是中的穿孔球面图31辽宁师范大学硕士学位论文25证明首先由引理127可知,我们可以通过合痕变换使得处于标准位置进一步的,我们可以要求满足引理128假设含有个分支由连通及处于标准位置可知,的每一个交叉点对应的空心球处都有偶数条曲线经过,并且相应的曲线成对的出现在每一个交叉点对应穿线的左右两侧为了说明的方便,我们将的交叉点从下到上依次标记为,如图31所示交叉点,对应的空心球依次标记为不失一般性,假设的经过的一条最外的曲线为,如图31所示由于满足引理128,则或者经过,或者经过,或者与交点对应的上穿线相交下面我们将分情况说明的以上三种可能走势均与处于标准位置矛盾1经过此时,由于满足引理128,则必存在的某一条曲线或者经过两次,或者经过两次,这与处于标准位置矛盾2经过此时,由于满足引理128,则必经过两次,这与处于标准位置矛盾3与交点对应的上穿线相交由于满足引理128,则必存在的某一条曲线或者经过至少两次,这与处于标准位置矛盾综上,有且仅有一个分支不失一般性,设,由处于标准位置可知,其中是的边界分支数目由引理127可知是中的穿孔球面定理31设是一个交错空间图束，其中的投影图如图31所示,且顶点均为，若是补空间中的具有子午线边界分支的、连通的不可压缩基本曲面,则是中的穿孔球面证明首先通过合痕变换使得处于标准位置且满足引理128假设含有条曲线,则由连通可知，的每一条曲线的字表示均非形式不失一般性，,设,其中均为非负整数,且不全纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面26为零由对应曲线字表示的定义,易知曲线必经过的某一个,由处于标准位置可知的每一个交叉点对应的空心球处都有偶数条曲线经过,通过命题31可知，此时一定不能处于标准位置,与假设矛盾,故有且仅有一个分支进一步的由命题31可知,是中的穿孔球面辽宁师范大学硕士学位论文27结论众所周知,纽结理论和三维流形理论是低维拓扑的两个重要方向,而确定三维流形中不可压缩曲面及三维流形的亏格又是三维流形理论研究的核心问题本文利用三维流形组合拓扑的技巧和方法,给出了一类交错纽结补空间中亏格为0,1,2,3的不可压缩基本曲面一类构造方式,将WMENASCO和韩友发教授关于交错纽结、几乎交错纽结补空间中不可压缩两两不可压缩曲面的结果进行了推广；证明了一类交错空间图补空间中不可压缩两两不可压缩曲面都是穿孔球面本文得到的一系列结果对于给出一类交错纽结、几乎交错纽结和交错空间图的分类具有积极的指导性作用关于纽结和空间图补空间中不可压缩基本曲面对应拓扑图的进一步研究将有助于更广泛的处理纽结和空间图的分类,在接下来的时间里本人将从上述方向出发,深入探讨和分析纽结补空间中不可压缩基本曲面对应拓扑图的性质,为后续的工作做理论的准备纽结、空间图补空间中的不可压缩两两不可压缩曲面28参考文献1MENASCOWCLOSEDINCOMPRESSIBLESURFACESINALTERNATINGKNOTANDLINKCOMPLEMENTS,1984,23137442MENASCOW,MBTHISTLETHWAITE,SURFACESWITHBOUNDARYINALTERNATINGKNOTEXTERIORS,JREINEANGEWMATH,1992,42647653HANYFINCOMPRESSIBLEPAIRWISEINCOMPRESSIBLESURFACESINALMOSTALTERNATINGKNOTCOMPLEMENTSJTOPOLOGYANDITSAPPLICATION,1997,802392494ADAMSC,DORMANR,FOLEYKETALALTERNATINGGRAPHSJJOURNALOFCOMBINATORIAL,1999,77B961205HANYF,CHIHYINCOMPRESSIBLESURFACESINALMOSTALTERNATINGKNOTEXTERIORSDDALIANLIAONINGNORMALUNIVERSITY,20036HANYF,ZHAOYAN,YANGSHPROPERTIESOFINCOMPRESSIBLESURFACESINALTERNATINGLINKCOMPLEMENTSJOURNALOFJILINUNIVERSITY,2005,4316197MENASCOWDETERMININGINCOMPRESSIBILITYOFSURFACESINALTERNATINGKNOTANDLINKCOMPLEMENTSJPACIFICJOURNALOFMATHEMATICS,1985,11723533708HEMPELJ3MANIFOLDSPRINCETONUNIVERSITYPRESS,19769HATCHERA,THURSTONWINCOMPRESSIBLESURFACESIN2BRIDGEKNOTCOMPLEMENTSINVENTMATH,1