弹性力学课件第三章 平面问题的直角坐标解答

第三节位移分量的求出第四节简支梁受均布荷载第五节楔形体受重力和液体压力例题第一节逆解法与半逆解法多项式解答第二节矩形梁的纯弯曲第三章平面问题的直角坐标解答31逆解法和半逆解法多项式解法1当体力为常量，按应力函数求解平面应力问题时，应满足按求解多连体中的位移单值条件。CS上应力边界条件,A内相容方程第三章平面问题的直角坐标解答对于单连体，C通常是自然满足的。只须满足A,B。由求应力的公式是D第三章平面问题的直角坐标解答2逆解法先满足A,再满足B。步骤E逆解法先找出满足的解在给定边界形状S下，由式B反推出各边界上的面力，代入D,求出第三章平面问题的直角坐标解答从而得出，在面力E作用下的解答，就是上述和应力。逆解法逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。第三章平面问题的直角坐标解答例2二次式，分别表示常量的应力和边界面力。如图示。例1一次式对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减一次式，不影响应力。逆解法2A2AOYXOYXOYXBBBB2C2C第三章平面问题的直角坐标解答例3逆解法设图中所示的矩形长梁，LH，试考察应力函数能解决什么样的受力问题YXOLH/2H/2LH第三章平面问题的直角坐标解答解按逆解法。1将代入相容方程，可见是满足的。有可能成为该问题的解。2由求出应力分量第三章平面问题的直角坐标解答因此，在的边界面上，无任何面力作用，即3由边界形状和应力分量反推边界上的面力。在主要边界（大边界）上，第三章平面问题的直角坐标解答在X0，L的次要边界（小边界）上，第三章平面问题的直角坐标解答在X0,L小边界上的面力如下图中A所示，而其主矢量和主矩如B所示。由此，可得出结论上述应力函数可以解决悬臂梁在X0处受集中力F作用的问题。第三章平面问题的直角坐标解答FFMAB第三章平面问题的直角坐标解答代入，解出；3半逆解法步骤半逆解法由应力D式，推测的函数形式；假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；第三章平面问题的直角坐标解答由式（D），求出应力；半逆解法校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。第三章平面问题的直角坐标解答思考题半逆解法1在单连体中，应力函数必须满足哪些条件逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的2试比较逆解法和半逆解法的区别。第三章平面问题的直角坐标解答32矩形梁的纯弯曲梁LH1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。问题提出H/2H/2LYXLHOMM第三章平面问题的直角坐标解答由逆解法得出，可取，且满足求应力A求解步骤本题是平面应力问题,且为单连体，若按求解，应满足相容方程及上的应力边界条件。第三章平面问题的直角坐标解答检验应力边界条件，原则是边界条件B后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。A先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第三章平面问题的直角坐标解答主要边界从式A可见，边界条件B均满足。满足。主要边界次要边界X0,L,C的边界条件无法精确满足。第三章平面问题的直角坐标解答次要边界用两个积分的条件代替第三章平面问题的直角坐标解答当时，即使在边界上面力不同于的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式D的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力解E第三章平面问题的直角坐标解答如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。思考题第三章平面问题的直角坐标解答33位移分量的求出在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移。问题提出第三章平面问题的直角坐标解答1由物理方程求形变求形变第三章平面问题的直角坐标解答2代入几何方程求位移求位移第三章平面问题的直角坐标解答对式A两边乘积分,对式B两边乘积分,求位移第三章平面问题的直角坐标解答再代入C,并分开变量，上式对任意的X,Y都必须成立，故两边都必须为同一常量。求位移第三章平面问题的直角坐标解答由此解出求位移得出位移为3待定的刚体位移分量，须由边界约束条件来确定。第三章平面问题的直角坐标解答2代入几何方程，积分求；归纳从应力求位移步骤3由边界约束条件确定确定刚体位移分量1由物理方程求出形变；第三章平面问题的直角坐标解答2铅直线的转角故在任一截面X处，平面截面假设成立。纯弯曲问题的讨论1弯应力与材料力学的解相同。3纵向纤维的曲率同材料力学的结果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力学解相同。第三章平面问题的直角坐标解答思考题2试证明刚体位移实际上表示弹性体中原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以验证。提示微分体的转动分量为1弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学的解答在应力、形变等方面完全一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截面假设成立第三章平面问题的直角坐标解答34简支梁受均布荷载简支梁，受均布荷载及两端支撑反力。问题YXOLLH/2H/2第三章平面问题的直角坐标解答现采用此假设。半逆解法按半逆解法求解。假设应力分量。由材料力学因为因为所以，可假设所以，可假设因为所以，可假设第三章平面问题的直角坐标解答由应力分量推出应力函数的形式。由对X积分，对X再积分，A半逆解法第三章平面问题的直角坐标解答将代入相容方程，求解相容方程对于任何均应满足,故的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。半逆解法第三章平面问题的直角坐标解答式B中已略去对于的一次式。将式B代入式A，即得。B半逆解法解出第三章平面问题的直角坐标解答对称性条件由于结构和荷载对称于轴，故应为的偶函数，为X的奇函数，故。由求应力。半逆解法在无体力下，应力公式如书中式F,G,H所示。第三章平面问题的直角坐标解答考察边界条件。由此解出系数A,B,C,D。主要边界主要边界第三章平面问题的直角坐标解答次要边界次要边界由此解出H，K另一次要边界XL的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件，第三章平面问题的直角坐标解答最后应力解答应力第三章平面问题的直角坐标解答应力的量级当时,XL同阶，YH同阶第一项同阶,（与材料力学解同）第二项同阶,（弹性力学的修正项）同阶,（与材料力学解同）应力的量级同阶,（材料力学中不计）第三章平面问题的直角坐标解答当时,量级的值很小,可以不计。应力与材料力学解比较最主要量级,和次要量级,在材料力学中均已反映，且与弹性力学相同。最小量级,在材料力学中没有。当时,仅占主项的1/156,应力比较中的弹性力学修正项第三章平面问题的直角坐标解答弹性力学与材料力学的解法比较应力比较弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微分方程,几何方程和物理方程,以及S上的所有边界条件在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域。材料力学在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。第三章平面问题的直角坐标解答几何条件中引用平截面假定沿为直线分布；例如边界条件也没有严格考虑；平衡条件中没有考虑微分体的平衡，只考虑的内力平衡；材料力学解往往不满足相容条件。第三章平面问题的直角坐标解答对于杆件，材料力学解法及解答具有足够的精度；对于非杆件，不能用材料力学解法求解，应采用弹性力学解法求解。第三章平面问题的直角坐标解答1当问题中的Y轴为对称轴时，试说明和应为X的偶函数，而应为X的奇函数。思考题2对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学中是如何考虑平衡条件的第三章平面问题的直角坐标解答3试说明从弹性力学得出的解答（36）不符合平面截面假设。4材料力学的解答往往不满足相容条件，为什么第三章平面问题的直角坐标解答35楔形体受重力及液体压力设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。OYXN第三章平面问题的直角坐标解答用半逆解法求解。因为应力,而应力的量纲只比高一次（L），所以应力X,Y一次式）,即可假设应力为X,Y的一次式。（1）用量纲分析法假设应力第三章平面问题的直角坐标解答（2）由应力关系式，应为X,Y的三次式，（3）满足相容方程（4）由求应力，第三章平面问题的直角坐标解答（5）考察边界条件本题只有两个大边界，均应严格满足应力边界条件。X0铅直面，解出解出第三章平面问题的直角坐标解答斜边界上，须按一般的应力边界条件来表示，有第三章平面问题的直角坐标解答其中由式（B解出A、B,最后的应力解答,应力第三章平面问题的直角坐标解答水平截面上的应力分布如图所示。第三章平面问题的直角坐标解答楔形体解答的应用作为重力坝的参考解答；分逢重力坝接近平面应力问题；在坝体中部的应力，接近楔形体的解答。重力坝规范规定的解法材料力学解法（重力法）重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。第三章平面问题的直角坐标解答思考题重力法是按应力求解的，试回忆应力分量必须满足哪些条件在重力法中考虑了哪些条件第三章平面问题的直角坐标解答例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5第三章平面问题的直角坐标解答例题1设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，图35，试用应力函数求解应力分量。第三章平面问题的直角坐标解答图35YDYYXLH/2H/2O第三章平面问题的直角坐标解答解本题是较典型的例题，已经给出了应力函数，可按下列步骤求解。1将代入相容方程，显然是满足的。2将代入式224，求出应力分量。第三章平面问题的直角坐标解答3考察边界条件主要边界上应精确满足式215,第三章平面问题的直角坐标解答在次要边界X0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意X0是负X面，图35中表示了负X面上的的正方向，由此得第三章平面问题的直角坐标解答第三章平面问题的直角坐标解答由A,B解出最后一个次要边界条件XL上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。第三章平面问题的直角坐标解答代入应力公式，得第三章平面问题的直角坐标解答例题2挡水墙的密度为，厚度为B,图示,水的密度为，试求应力分量。YOX第三章平面问题的直角坐标解答解用半逆解法求解。1假设应力分量的函数形式。因为在YB/2边界上，YB/2边界上，所以可假设在区域内沿X向也是一次式变化，即第三章平面问题的直角坐标解答2按应力函数的形式，由推测的形式，所以第三章平面问题的直角坐标解答3由相容方程求应力函数。代入得要使上式在任意的X处都成立，必须第三章平面问题的直角坐标解答代入，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。第三章平面问题的直角坐标解答4由应力函数求解应力分量。将代入式224,注意，体力求得应力分量为第三章平面问题的直角坐标解答5考察边界条件主要边界上,有得得得第三章平面问题的直角坐标解答由上式得到第三章平面问题的直角坐标解答求解各系数，由得得得得第三章平面问题的直角坐标解答由此得又有代入A,得第三章平面问题的直角坐标解答在次要边界（小边界）X0上，列出三个积分的边界条件由式G,H解出第三章平面问题的直角坐标解答代入应力分量的表达式得最后的应力解答第三章平面问题的直角坐标解答例题3已知试问它们能否作为平面问题的应力函数第三章平面问题的直角坐标解答解作为应力函数，必须首先满足相容方程，将代入，A其中A0，才可能成为应力函数；B必须满足3AEC0,才可能成为应力函数。第三章平面问题的直角坐标解答例题4图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。第三章平面问题的直角坐标解答BBAYXHOFFB/2第三章平面问题的直角坐标解答解应用应力函数求解1校核相容方程，满足2求应力分量，在无体力时，得3考察主要边界条件，均已满足第三章平面问题的直角坐标解答考察次要边界条件，在Y0上，满足。得得第三章平面问题的直角坐标解答上述应力已满足了和全部边界条件，因而是上述问题的解。代入，得应力的解答，第三章平面问题的直角坐标解答4求应变分量，第三章平面问题的直角坐标解答5求位移分量，第三章平面问题的直角坐标解答将U,V代入几何方程的第三式，两边分离变量，并全都等于常数，即第三章平面问题的直角坐标解答从上式分别积分，求出代入U,V,得第三章平面问题的直角坐标解答再由刚体约束条件，得得得第三章平面问题的直角坐标解答代入U,V,得到位移分量的解答在顶点XY0，第三章平面问题的直角坐标解答例题5图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数求解应力分量。第三章平面问题的直角坐标解答YXOH/2H/2L第三章平面问题的直角坐标解答解应用上述应力函数求解1将代入相容方程，由此，第三章平面问题的直角坐标解答2代入应力公式，在无体力下，得3考察主要边界条件第三章平面问题的直角坐标解答对于任意的X值，上式均满足，由此得ABCD第三章平面问题的直角坐标解答由34得由34得由51得E第三章平面问题的直角坐标解答4考察小边界上的边界条件X0,由得由式2和6解出（F）第三章平面问题的直角坐标解答另两个积分的边界条件，显然是满足的。第三章平面问题的直角坐标解答于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。第三章平面问题的直角坐标解答读者试校核在XL的小边界上，下列条件是满足的，第三章平面问题的直角坐标解答例题6矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数求解其应力分量。MQQHYXOB/2B/2第三章平面问题的直角坐标解答解应用上述应力函数求解1代入相容方程，2求应力分量，在无体力下，第三章平面问题的直角坐标解答3考察边界条件，在主