2015年高考新课标I卷理科数学试题及答案详细解析(河南、河北、山西、江西)

1、.2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学新课标I卷（河南、河北、山西、江西）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。全卷满分150分。考试时间120分钟。第卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 设复数z满足=i，则|z|=（A）1 （B） （C） （D）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20cos10-con160sin10= （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】试题分析：原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的

2、正余弦公式（3）设命题P：nN，则P为 （A）nN, （B） nN, （C）nN, （D） nN, =【答案】C【解析】试题分析：:，故选C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648 （B）0.432（C）0.36（D）0.312【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若0，则y0的取值

3、范围是（A）（-，）（B）（-，）（C）（，） （D）（，）【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【答案】B考点：圆锥的体积公式（7）设D为ABC所在平面内一点，则（ ）（A） (B)

4、 （C） (D) 【答案】A【解析】试题分析：由题知=，故选A.考点：平面向量运算 (8) 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为(A)（k-14,k+34,）,kz (b)（2k-14,2k+34）,kz(C)（k-14,k+34）,kz (D)（2k-14,2k+34）,kz【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，解得，所以，令，解得，故单调减区间为（，），故选D.考点：三角函数图像与性质（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 【答案】C【解析】试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=

5、0.5,=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第2次，S=S-m=0.25,=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第3次，S=S-m=0.125,=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第5次，S=S-m=0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，执行第7次，S=S

6、-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选C.考点：程序框图（10） 的展开式中，的系数为（A）10 （B）20 （C）30（D）60【答案】C【解析】试题分析：在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.考点：排列组合；二项式定理（11） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】B考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测

7、面积公式12. 设函数=,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得0，则的取值范围是（ ）A.-32e，1） B. -32e，34） C. 32e，34） D. 32e，1）【答案】D【解析】试题分析：设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得1，故选D.考点：导数的综合应用第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若函数f(x)=xln（x+）为偶

8、函数，则a= 【答案】1考点：函数的奇偶性（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。【答案】【解析】试题分析：设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程（15）若x,y满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.考点：线性规划解法（16）在平面四边形ABCD中，A=B=C=75，BC=2，则AB的取值范围是 【答案】（，）【解析】试题分析：如图所示，延长BA，CD交于E

9、，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在BCE中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在BCF中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.考点：正余弦定理；数形结合思想三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分） 为数列的前n项和.已知0，=.（）求的通项公式：（）设bn=1anan+1 ,求数列bn的前n项和【答案】（）（）【解析】试题分析：（）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列的递推公式，可以判断数列是等差数列，利

10、用等差数列的通项公式即可写出数列的通项公式；（）根据（）数列的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和. 试题解析：（）当时，因为，所以=3，当时，=，即，因为，所以=2，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（）由（）知，=，所以数列前n项和为= =.考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法（18）如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）证明：平面AEC平面AFC（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值【答案】（）见解析（），EGFG，ACFG=G，EG平

11、面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分（）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得A（0，0），E(1,0, )，F（1,0，），C（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. 12分考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的

12、散点图及一些统计量的值。46.656.36.8289.81.61469108.8表中w1 =1, ， =（）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据,，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【答案】（）适合作为年销售关于年宣传费用的回归

13、方程类型（）（）46.24关于的回归方程为.6分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线(0)交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由。【答案】（）或（）存在【解析】试题分析：（）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率

14、为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.试题解析：（）由题设可得，或，.，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为，即. 故所求切线方程为或. 5分（）存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. . =. 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故OPM=OPN，所以符合题意. 12分考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=.()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（）用 表示m,n中

15、的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.【答案】（）；（）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.试题解析：（）设曲线与轴相切于点，则，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线. 5分（）当时，从而， 在（1，+）无零点. 当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.()若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，所以当时，在（0，1）有

16、一个零点；当0时，在（0，1）无零点. ()若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=. 若0，即0，在（0,1）无零点. 若=0，即，则在（0,1）有唯一零点； 若0，即，由于，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.10分综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 12分考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑

17、。（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E （I） 若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（）若，求ACB的大小.【答案】（）见解析（）60考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I） 求，的极坐标方程；（II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积 【答案】（）,（）【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.试题解析：（）因为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.5分 （）将代入，得，解得=，=，|MN|=，因为的半径为1，