【期末试卷】高三第一学期期末数学(文科)试卷及答案

1、高三第一学期期末数学（文科）试卷第卷（选择题 共 40 分）一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项1已知集合 a = x | 0 x 0，那么 ab =（a） x | 0 x 1（c） x | -1 x 02下列函数中，定义域为 r 的奇函数是（b） x |1 x 2（d）x | -1x 0)的一个焦点是 (2,0)，则其渐近线的方程为（a）x 3 y =0（b）3 x y =0（c） x 3 y =0（d） 3 x y =05实数x， y满足 x +1 0, x -y +1 0,则 y -4 x的取值范围是x +y -

2、2 0,（a） ( -,4（b） ( -,7（c） -12, 4（d） -12,716设 a , b是非零向量，且 a b则“ | a | =| b | ”是“ ( a +b) ( a -b)”的（a）充分而不必要条件 （c）充要条件（b）必要而不充分条件（d）既不充分也不必要条件7某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（a）20 +2 5（b）（c）14 +4 526（d）12 +2 588 名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）规定两人对局胜者得 2 分，平局各得 1 分，负者得 0 分，并按总得分由高到低进行排序比赛结束后，8 名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名

3、选手得分之和相等则第二名选手的得分是（a）14（b）13（c）12（d）11第卷（非选择题 共 110 分） 22 2 2二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9复数1 +i1 -i=_10在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 a(1,1)， b(3, -1) ， aob 的面积是_11已知圆( x -1) +y =4 与抛物线 y =2 px ( p 0)的准线相切，则 p =_12函数y =x +4x的定义域是_；最小值是_13在abc中，角a, b , c的对边分别为a , b, c若c =3， c =p3，sin b =2sin a，则a =_14设函数 f (

4、x) =x , 0 x a , log x, x a ,3其中 a 0 若a =3，则 f f (9) =_； 若函数 y = f ( x ) -2有两个零点，则 a 的取值范围是_三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13 分）在等差数列a 中， a =3 ， a +a =11 n 2 3 6（）求数列a n的通项公式；（）设 b =a + n n12 an，其中 n n*，求数列b n的前n项和sn16（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x ) =sin(2wx - ) +2cos 62wx -1 (w 0)的最小

5、正周期为（）求w的值；（）求 f ( x)在区间 0,712上的最大值和最小值17（本小题满分 13 分）32122f fc1 2手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之 间所能维持的时间称为手机的待机时间为了解 a，b 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取 a，b 两 个型号的手机各 5 台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1 2345a 型待机时间（h） 120 b 型待机时间（h） 118125123122127124120124a已知 a，b 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等（）求 a 的值；（）判断 a，b 两

6、个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）； （）从被测试的手机中随机抽取 a，b 型号手机各 1 台，求至少有 1 台的待机时间超过 122 小时的概率（注：n 个数据x , x ,1 2, xn的方差 s21= ( x -x ) n+( x -x )2+( x -x )n，其中 x 为数据 x , x , 1 2, xn的平均数）18（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 p - abcd中， ad / bc ， bad =90 ，pa =pd ， ab pa ，ad =2 ，ab =bc =1（）求证： ab pd ；（）若 e 为 pd 的中点，求证： ce /平面 pab

7、；（）设平面 pab平面pcd=pm ，点 m 在平面abcd上当 pa pd 时，求 pm 的长19（本小题满分 14 分）已知椭圆 c :x 2 y 2+ =1 ( a b 0) 的两个焦点是 ， ，点 p ( 2,1) 在椭圆 上，且 a 2 b 2| pf | +| pf | =4 1 2（）求椭圆 c 的方程；4（）设点 p 关于x轴的对称点为q， m是椭圆c上一点，直线 mp 和 mq 与x轴分别相交于点 e ， f ，o为原点证明：| oe | |of |为定值20（本小题满分 13 分）对于函数 f ( x)，若存在实数x0满足f ( x ) =x 0 0，则称x0为函数 f

8、( x )的一个不动点已知函数f ( x) =x 3 +ax 2 +bx +3，其中 a, b r（）当 a =0 时，（）求 f ( x )的极值点；（）若存在x0既是 f ( x)的极值点，又是 f ( x)的不动点，求b的值；（）若 f ( x)为 f ( x )有两个相异的极值点 x ， x ，试问：是否存在 a ， b ，使得 x ， x 均1 2 1 2的不动点？证明你的结论5n高三第一学期期末数学（文科）试卷参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1b 2 d 3c 4b5a 6c 7a 8c二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，

9、共 30 分.9 i12 (0, +)；410 213 311 214 2；4,9)注：第 12，14 题第一空 2 分，第二空 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分 13 分）解：（）设等差数列a 的公差为 d ，则有 na +d =3, 12 a +7 d =11. 14 分解得a =21，d =1 6 分所以数列a n的通项公式为a =a +( n -1)d =n +1 n 1 7 分（）b =a + n n12 an=n +1 +12 n +1 8 分1 因为数列 2 n +11 1是首项为 ，公比为 的等比数

10、列， 9 分 4 2所以n ( n +3) s = +21 11-( )4 211 -1n11 分=n2 +3n +1 1- 2 2n +1 13 分6， ss16（本小题满分 13 分）解：（）因为 f ( x) =sin(2wx - ) +(2cos 62 wx -1)=(sin 2wx cos -cos 2wx sin ) +cos 2wx 6 6 4 分3 1= sin 2wx + cos 2wx 2 2=sin(2w x + )6， 6 分所以 f ( x)的最小正周期 t =22w=,解得 w =1 7 分（）由（）得 f ( x ) =sin(2 x +6)因为 0 x 7 4，

11、所以 2 x + 12 6 6 3 9 分所以，当 2 x + = ，即 x =6 2 6时， f ( x)取得最大值为 1； 11 分当 2 x + 4 7 = ，即 x =6 3 12时， f ( x)取得最小值为-32 13 分17（本小题满分 13 分）解：（） x =120 + a0 +5 +2 +4 +45=123 (h)， 2 分x =120 +b-2 +3 +7 +0 +( a -120)5， 3 分由 x =xa b， 解得 a =127 4 分2 2（）设 a，b 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为 s 则 sa b2 2a b， 7 分（）设 a 型号手机为 a ，

12、a ，a ，a ，a ；b 型号手机为 b ， b ，b ，b ，b ，1 2 3 4 5 1 2 3 4 5“至少有 1 台的待机时间超过 122 小时”为事件 c 8 分 从被测试的手机中随机抽取 a，b 型号手机各 1 台，不同的抽取方法有 25 种10 分72抽取的两台手机待机时间都不超过 122 小时的选法有：(a , b )1 1，(a , b ) 1 4，(a , b ) 3 1，(a , b ) 3 4，共 4 种 11 分因此 p (c) =4 21 ， 所以 p (c) =1 -p (c) =25 2521所以 至少有 1 台的待机时间超过 122 小时的概率是 13 分2

13、518（本小题满分 14 分）解：（）因为bad =90，所以 ab ad ， 又因为 ab pa ， 所以 ab 平面 pad ，1 分2 分 3 分所以 ab pd 4 分（）取 pa 的中点 f ，连接 bf ，ef 5 分因为e 为棱 pd 中点，所以 ef / ad ，1ef = ad2，又因为bc /ad，1bc = ad2，所以 bc /ef，bc =ef所以四边形 bceg是平行四边形， ec /bf 又 bf 平面 pab ， ce 平面 pab ， 所以 ce / 平面 pab 8 分 9 分（）在平面abcd上，延长ab，cd交于点 m 因为 m ab ，所以 m 平面

14、pab ； 又 m cd ，所以 m 平面 pcd ，所以 平面 pab平面 pcd =pm 11 分在 adm 中，因为 bc /ad ， bc =12ad，所以 am =2 ab =212 分因为 pa pd ，所以 apd 是等腰直角三角形，所以 pa =由（）得 am 平面 pad ， 所以 am pa 2 13 分在直角 pam 中，pm =pa+am2= 6 14 分819（本小题满分 14 分）解：（）由椭圆的定义，得| pf | +| pf | =2a =41 2，a =2 2 分将点p ( 2,1)的坐标代入x 2 y 2 2 1+ =1 ， 得 + =1 ， 4 b 2 4

15、 b 2解得b =2 4 分所以，椭圆c的方程是x 24+y 22=1 5 分（）依题意，得q ( 2, -1)设m (x, y0 0)，则有x02+2 y02=4，x 2 ， y 1 0 0 6 分直线 mp 的方程为y -1y -1 = 0 ( x - 2) x - 20， 7 分2 y -x令 y =0 ，得 x = 0 0y -10， 8 分所以oe =2 y -x0 0y -10y +1直线 mq 的方程为 y +1 = 0x - 20( x - 2)， 9 分令 y =0，得2 y +xx = 0 0y +10，10 分所以of =2 y +x0 0y +10所以oe of =2

16、y -x0 0y -102 y +x 2 y 2 -x 2 0 0 = 0 0y +1 y 2 -1 0 02 y 2= 0=4-(4 -2 y 20y 2 -10)12 分所以oe of为定值14 分9是 f ( x)x 是 f ( x)20（本小题满分 13 分）解：（） f ( x)的定义域为 ( -,+)，且f(x) =3 x2+2ax +b 1 分当 a =0 时， f(x) =3 x2+b（） 当b 0时，显然 f ( x )在 ( -,+)上单调递增，无极值点 2 分 当 b 0， g ( x )在 ( -,+)上单调递增又 g (1) =0，所以函数 g ( x )有且仅有一个零点 x =1 ，即方程2 x 30+x -3 =0 0的根为x =10，所以b =-3x 2 0=-3 8 分（）因为 f ( x )有两个相异的极值点 x ， x ，1 2所以方程 3 x2+2 ax +b =0有两个不等实根x1，x2，所以d=4 a2-12 b 0 ，即 a2-3b 0 9 分假设存在实数 a ， b ，使得 x ， x 均为 f ( x)1 210的不动点，则 x ， x 是方程1 2x3+ax2+(b -1)x +3 =0的两个实根，显然 x ， x 01 2对于实根 x ，有 x3 +ax 2 +(b -1) x +3 =0 1 1 1 1 又因为3 x