中学考试专题中线倍长法及截长补短

1、文档几何证明中常用辅助线)中线倍长法(一、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。1例1 (AB+AC)已知：如图，ZABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD - 21也就是证明两 条线段之和分析：要证明AD AC+CE1 (AB+AC)AD 2AD,即2即中线倍长法。涉及三角形中线问题时，常采用延 长中线一倍的办法，小结：集中于同一个三CAD和两个角ZBAD和Z它可以 将分居中线两旁的两条边AB、AC角形中，以利于问题的获解。BAC?ABC?AB二AC是BD二CD,求证课题练习：的平分线，且中，ADAC BD文档中线一倍辅助线作法2:例A方式1:AD是BC边中线 连接 BE BCBC

2、DD 间接倍长AA延长MD到NAD于F,作CF丄F作BE丄AD的延长线于E 连接 CD CBDdCBE N使DN二MD, M连接BE例3： ZkABC中，AB二5, AC二3,求中线AD的取值范围例4：已知在AABC中，AB二AC, D在AB, E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF二EF, a求证:BD二CEBCF E课堂练习：已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE二AC,延长BE交a?ABCAB?AC, D：已知：如图，在 AC 于例 5、E 中，/DF/BAA交AE于点F, DF二AC.作DE二EC在BC上，且，过Dfe?BAC求证：AE平分FED第1题文档B

3、AE ZABD的中线，求证：ZC二ZBAD, AE是课堂练习：已知CD二AB, ZBDA二ABC DE作业：的延长线相交于DC, ZEAFAF与ABDC, E为BC边的中点，ZBAE二1、在四边形ABCDD,过于 TCM 于 D,交 BCBAC?, CMAB 于 M, AT 平分?交 C二90?2、已知：如图，ABC 中,?CT=BE. E于，求证：作DE/AB交BC M ABDET C,于F交上一点，且ADBE二AC,延长BEAC是边上的中线，是中，：已知在 3ABCADBCEJF二EF文档BAE C二ZAEBAD,是ZXABD 的中线，求证：Z4：已知 CD二AB, ZBDA二Z ABC

4、DE的延长线相交于，AF与DCBAE二DC, E为BC边的中点，ZZEAFAB5、在四边形ABCD中， AF、d bce f 二）截长补短法（ABCDCBDADABCDBCAB.,例仁已知，如图1T在四边形，中，二平分乙ABCDBAD.=80求证：Z +ZD ,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转因为平角等于180分析：因 而解题的关键在于构造直角三角形，化成为平角，图中缺少全等的三角形，B.可通过“截长补短法”来实现C1-1氧FBCBADEDF、如图，作丄证明：过点作DE垂直的延长线于点于点曰-22DFABCBDDE、T平分Z, :二CDFADERtRt 在与中，BCF1-2图文档 DFDE

5、? ?CDAD?DCFHLOAERtADERtCOF. /.）. AZ A Z &DCFBADDAEBAD + Z 又 Z ,+ Z二 180 , Z二 18030初ID+Z 即 Z=13QECBADEABCDEDCEADBCE.二Z,例2.如图2-1 = /7, Z,点Z在线段上，ABCCDAD.求证：+二DAEC B2-1 图BDDABBCBCPBNPD.,二2丄23T例3已知，如图，=于点为上一点，且七BCPBAP.求证：ZP80+Z。AN P1 2BCD3-1图文档BABCC2.,Z中，Z1=2Z = Z已知：如图例 4. 4-1,在4CDABAC. 求证：二+A12CBD 4-1图作

6、业：AEBEFAEDFABCDFAD.求证：是正方形，Z+二ZH、已知：如图,FCBECDEABCDEAEABCDEABBCCDADAED 平分Z ,求证：、五边形 2 中，二，+二，Z + Z=180abedc文档（三）其它几种常见的形式：、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全1等 三角形。例：4. =Z = Z2, Z3如图仁已知AD为AABC的中线，且Z1A。 CFEF 求证：BE+ NFE 32 41C DB 1 图有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全、2等三角形。CF+=Z4,求证：BE的中线，且ABC1 = Z2, Z3：例： 如图2EF AFE 23

7、41C DBM 2图边为直角边各边v ABAC是练习：已知AABC, ADBC边上的中线，分别以。2ADEF 4向形外作等腰直角三角形，如图，求证=文档E FABCD 4 图延长已知边构造三角形：、3E于B,于丄ACA , BCBD：已知例如：如 图 6AC = BD, ADBC 求证：AD =BAoDC6图、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解4决。求证：AB二CD, ADBC 例如：如图 7： ABCDDA3 12 4 CB7 图有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。、5BDCE,丄1BAC, Z=90 , Z = Z2ACABABCRt8 例如：如图：在中，=2CE =E 的延长于。求证:连接已知点，构造全等三角形6。A=BD,求证：ZAB = D