解直角三角形

1、 解直角三角形【问题探索】问题：已知平顶屋面的宽度 l 和坡顶的设计高度 h（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角 吗？变：已知平顶屋面的宽度 l 和坡顶的设计倾角 （如图）。你能求出斜面钢条的长度和设计高度 h 吗？【新课引入】在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫解直角三角形.在三角形中共有几个元素？直角三角形 abc 中，c=90，a、b、c、a、b 这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）三边之间关系：a2 +b2 =c2 （勾股定理）.（2）锐角之间关系a+b=90（3）边角之间关系：a 的对边正弦函数：sin余弦函数：cos正切函数： tana =a =a =斜

2、边a 的邻边斜边a 的对边a 的邻边【精选例题】（一）求直角三角形中的边和角解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）例 1 在 rtabc 中，c=90，a、b、c 分别是a、b、c 的对边。解下列直角三角形：（1）已知 a=3，b=3，（2）已知 c=8，b=4，（3）已知 c=8，a=45。解析：2（1）已知两直角边的长，根据勾股定理可求斜边c=3 2 ，由三角函数公式可求 sina=，2推出 a=45，根据“直角三角形两锐角互余”可求 b=45；（2）已知斜边和一直角边，由勾股定理求得另一直角边a=4 3 ，通过三角函数公

3、式求角度3sina=，可知 a=60，根据“直角三角形两锐角互余”得 b=30； 2（3）已知斜边和一锐角，根据“直角三角形两锐角互余”得 b=45，由三角函数公式可知a=csin45=42 ， = cos45=4 2 。b c前思后想：第 1 页 共 10 页 已知一锐角求另一锐角“直角三角形两锐角互余”；已知直角三角形的两边求第三边勾股定理；已知一边和一锐角三角函数公式三角函数公式可变形为：a=csina，b=ccosa，a=btana，abac=，c=，b=sin acos atan a例 2 在 rtdabc 中， = 90 ，d= 6 ， 是上一accac1点，若 tan，=10，试

4、求。addbc =ab2解析：先由勾股定理求得 bc=出 ad=acdc=2.前思后想：=8，再根据三角函数可求 dc=bctandbc=4，即可求2ab2- ac本题用方程求解也可，解题过程如下：在 rt abc 中，由勾股定理得：bc=8，ab - acd221 6 -dcbcx设 ad=x，则在 rt dbc 中，由三角函数可知：tan=，=。ddbc28解得：x=2，即：ad=2。由方程求解时，列方程的依据是等量关系三角函数公式。牛刀小试：1已知直角三角形a msin 40中，斜边的长为 ，m，则直角边的长是（） = 40babcabbcmcos 40m tan 40bcd mtan

5、40rtabc = 90中， cac= 15 ，则a =（2在，= 5 ，）bca90b60c45d303在abc 中，c 为直角，a、b、c 所对的边分别为 a、b、c，且 a= 3 ，b=3 ，解这个三角形4如图，正方形abcd中， 是边上一点，以 为圆心、e ecebc为半径的半圆与以 为圆心， 为半径的圆弧外切，则sinabaeab的值为。（写明理由）答案：1b；2d；第 2 页 共 10 页 3在 rtabc 中，由勾股定理得：c=a 1=23a + b22sina= = ， a=30。 b=60。c 24设两圆半径分别为 r 和 r，在 rtabe 中，由勾股定理可知：r - r

6、3r 3(r - r) + r = ( r + r)， r = 4r。 sin eab = = = 。222r + r 5r 5（二）构造直角三角形求边角例 3 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10 米，a=26，求中柱 bc（c 为底边中点）和上弦 ab 的长。（精确到 0.01 米，tan26=0.4877,cos26=0.8988）解析：先由等腰三角形的性质可知中柱 bc 垂直平分横梁（跨度），即可把等腰三角形分成两个全等的直角三角形；再运用三角函数解直角三角形abc，即可。解答： 人字架是等腰三角形，bc 是中柱，bc 垂直平分横梁即： dabc是直角三角形，ac=5 ma

7、= 26bcacacabtana=，cosa=即：bc=actana=5 0.4877 2.44ac5ab=5.56cos a 0.8988答：中柱 bc 的长约为 2.44 米，上弦 ab 的长约为 5.56 米。前思后想：此题先要理解“中柱”的含义底边上的中线，其次能立即想到等腰三角形“三线合一”的性质找出直角三角形，最后才能运用三角函数解直角三角形。例 4 已知abc 中，c=90，ad 是角平分线，且 bd：cd=4：3，求 sinb 的值。解析：山穷水尽疑无路：首先想到“b 是 rtabc 的一个锐角，acsinb=”，再苦思冥想 ac、ab、bc 三边之间的数量关系，ab总是不得其

8、解。回头是岸：前面思路是由于审题时急功近利，过多的关注问题，没有仔细分析题目的条件，把自己带入了死胡同。解题不能“狭路相逢勇者胜”，应该及早醒悟，回头是岸！柳暗花明又一村：ad 是角平分线，哪个角的平分线？由它能想到哪些结论？（角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”），d 点到 ac 边得距离是什么？与它相等的 d点到 ab 的距离呢？图中又出现哪些直角三角形？b 是哪些直角三角形的锐角？我们能推出该直角三角形哪些边的数量关系？第 3 页 共 10 页 正确解答：过 d 点作 de ab，垂足为 e，ad 是bac 的角平分线，且c=90de=dcbd：cd=4：3de dc 3在

9、 rtbde 中，sinb=bd bd 4前思后想：本题是根据角平分线的性质来构造新的直角三角形，求某个锐角的三角函数的。虽然题目给了我们一个直角三角形，但是它不能解决问题，此时就要及时回到已知条件，逐个条件进行推导，寻找新思路。例 5 如图，ab 是半圆的直径，弦 ad，bc 相交于 p，已知dpb60，d 是bc的中点，则 tanadc 等于（）13（a）2（b）2（c） 3（d）3解析：错误思路：按照部分学生的解题思路，首先想到的就是在图形中找adc 所在的直角三角形，继而想到过 c 点作 ad 得垂线，但是又不符合垂径定理，结果发现无法进行下去。正确思路：从已知条件出发，每个条件逐一推

10、导，就能找到解决问题的方法。解答：连接 bd，ab 是半圆的直径adb=90dpb60pbd=30d 是bc的中点bd=cda=c=pbd=30abd=60adc=abc=abdpbd=303tanadc=tan30=3前思后想：求一个角的三角函数值，寻找直角三角形是关键，但是也不是千篇一律，方法如下：没有直角三角形时，就要根据题目条件构造直角三角形；根据条件进行等角转移，求相等角的三角函数值；根据条件求出该角的度数，再由特殊角的三角函数值求解。第 4 页 共 10 页 例 6 小刚有一块含有 30角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获

11、得了相关数据：第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径ab的长度为 9cm；第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得boc 为 80（o 为 ab 的中点）请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边 ac 的长（参考数据：sin800.98，cos800.17，tan805.67；sin400.64，cos400.77，tan400.84，结果精确到 0.1cm）解析：审题回答问题：d abc 是什么三角形？bac 多少度？在 abc 中我们知道哪几个d因素？要咱们求什么因素？解答： acb 是直角三角板的直角, d abc 为直角三角形.1由题意可知：在 rt abc

12、 中，ab=9，bac= boc=40.d2accosbac=, ac=ab cosbac=9 0.77 6.9 ab答：直角三角板的短直角边长为 6.9cm。前思后想：本题考察了“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”、运用三角函数解直角三角形两个方面的知识，它是把问题放在具体的测量操作中进行考察的。解决此题的关键是读题，找到所求线段所在的直角三角形，从操作步骤中找出已知边的长度和已知角的度数。牛刀小试：1等腰三角形的周长为2 + 3，腰长为 1，则底角等于_；2如图，1 的正切值等于_；3如图，两条宽度都是 1 的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为a ，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面

13、积是（）11a、b、sinacosac、sin ad、1a - ab - b = 0，4在 rtabc 中，c90，a、b 的对边分别是a 、b ，且满足22则 tana 等于（a、1 b、）1+ 51- 51 5c、d、2225如图，abc 中，ab=ac，a=45，ac 的垂直平分线分别交 ab，第 5 页 共 10 页 ac 于 d，e 两点，连接 cd。如果 ad=1，那么 tanbcd=_。6在正方形abcd 中，n 是 dc 的中点，m 是 ad 上异于 d 的点，且nmbmbc，则 tanabm_。答案：113130； 2. ； 3. a； 4. b； 5. 2 1； 6.-3【

14、课后作业】1在下列直角三角形中不能求解的是（ ）a、已知一直角边一锐角c、已知两边b、已知一斜边一锐角d、已知两角2. 已知：在 rtabc 中，c=90，b=2 3 ，c=4。求：a、b、a3解直角三角形在 rtabc 中，c=90a= 3 ，b=3b=5，c=5 2a=6，a=30b=30,c=5 34如图，两建筑物的水平距离 bc 为 24 米，从点 a 测得点 d 的俯角a30测得点 c 的俯角 b 60，求 ab 和 cd 两座建筑物的高（结果保留根号）5abc 内接于圆 o，若圆的半径是 2，ab=3，求 sinc4 26已知abc 中 ，ab7平行四边形 abcd 两邻边长分别为

15、 4cm 和 6cm，它们夹角 60，则较短的对角线的cm。，b45，c60，ahbc 于 h，则 ch长8等腰三角形底边长 10cm，周长为 36cm，则一底角的正切值为.9如图，在abc 中，c=90，ac=8cm，ab 的垂直平分线 mn 交bc3nac 于 d，连结 bd，若 cosbdc = ，则 bc 的长是（）5aa、4cmb、6cmc、8cmd、10cmdm10如图，abc 是等腰三角形，acb=90，过 bc 的中点 d作 deab，垂足为 e，连结 ce，求 sinace 的值。11在正方形 abcd，点 e 在 cd 边上，且 ce : de=1 : 3，求aeb 的正弦

16、值。第 6 页 共 10 页 12在一堂学习解直角三角形课时，刘老师准备了道具：两根定在一起的木条， 一根 ab长 20 厘米，另一根 ac 长 30 厘米。（如图所示）刘老师进行了如下提问：（1）、（2）、（3）直接填空，（4）写过程）（1）当两根木条垂直时， abc 的面积是（2）当两根木条成 30夹角时， abc 的面积是（3）当两根木条成夹角为 时（ 是锐角）， abc 的面积是（4）同学们认真思考两根木条成 150夹角时， abc 的面积是多少？13ad是abc的高，ad在abc的外部，ad=bd=1，dc= ，则bac=（a15 d.15或105b.60 c.10514在abc中，

17、c=90，点d在ac上，且ad=bd，bc=3，dc=4，bdc=，则tan =（）1ab.c.3d.15abc中，c=90，bac=30，ad是中线，则tandac=（）3ab.c.3d.616如图，abc中，cd是中线，且cdca，cd=3，tanbcd= ，求abc各边的长。17.如图所示，等腰梯形 abcd，adbc，dbc=45，翻折梯形abcd，使点 b 重合于点 d，折痕分别交边 ab、bc 于点 f、e，若 ad=2，bc=8求：（1）be 的长；（2）coe 的正切值18已知：如图，在梯形 abcd 中，adbc，abc=90，c=45，becd 于点 e，ad=1，cd=2

18、 2 求：be 的长第 7 页 共 10 页 19如图，已知bec 是等边三角形，aeb=dec=90ae=de，ac、bd 的交点为 o（1）求证：aecdeb；（2）若abc=dcb=90，ab=2cm，求图中阴影部分的面积答案：1d；2在 rtabc 中，c=90，b=2 3 ，c=4， 由勾股定理可知：c-b2 =2 。=a23bcsinb=，b = 60 ，a = 30 。23在 rtabc 中，c=90，（1） b=3，a= 3 ， c= 2 3 ，2+ba21asina= = ， a=30，b=60。2c（2） b=5，c=5 2 ， a=5。-b2c2a2sina= =c， a

19、=45，b=45。2（3） a=6，a=30， b=60。13aabsina= = ，tana=， c=12，b=6 3 。=23c（4） c=5 3 ，b=30， a=60。13515bacsinb= = ，cosb=， b=c sinb= 3 。a=ccosb= 。=2222c4延长 cd，交水平线于 e 点。由题意可知：deaeceaet a na =， tan b =，de ae=tan30 = 8 3 ，ce aetan 60 = 24 3 。= a b = c e=2 4 3，cd = ce - de =16 3 。答：ab、cd 两座建筑物的高度分别为24 3 、16 35连接过 a、b 两点的半径，过 o 点作 ab 得垂线段 od，3根据垂径定理可知：ad=2由“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，可知：34adoasinc=sin aod=41256； 7. 2 7 ； 8.； 9. a；33第 8 页 共 10 页 10过 e 点作 ef bcacb=90ef/acace=cefabc 是等腰三角形，且 d 是 bc 中点，设 cd=bd=x，则 ac=2x，3212cf=，ef=xx3