培优专题讲解等腰三角形含解答-

1、等腰三角形专题练习题等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛等腰三角形的性质和判定为证明两 个角相等和两条线段相等提供了依据等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是 它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上 的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径.例 1 如图 1-1 , ABC中，AB=BC M N 为 BC边上两点，且/ BAM2 CAN MN=AN 求/ MAC的度数.练习11 .如图 1-2，已知 ABC中，AB=AC AD=AE / BAE=30DEC等

2、于（） A. 7. 5 B . 10 C . 12.5 D . 181-22 .如图1-3 ,AA、BB分别是 ABC的外角/ EAB和/ CBD的平分线，且AA =AB=BB, A、B、C在一直线上，则/ ACB的度数是多少？1-33.如图1-4，等腰三角形 ABC中，AB=BC / A=20. D是AB边上的点，且 AD=BC ? 连结CD则/ BDC=HE?交 AC练习21.已知如图1-6，在 ABC中，AB=CD D是AB上一点,长线交CA的延长线于点F,判断AD与AF相等吗？ED?勺延1-8DEL BC, E为垂足,例2 如图1-5 , D是等边三角形 ABC的AB边延长线上一点，B

3、D的垂直平分线 延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由.2 .如图1-7 , ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90点D是厶AB点，且/ DACM DCA=15 , 则BD与BA的大小关系是（）A . BDBA B . BD”或“=”或“ ”）1-16例5 已知：如图1-17 , ABC中，AB=AC CE是AB边上的中线，延长 AB到D,使BD=AB那么CE是CD的几分之几？练习51. 如图1-18 , D E分别是等边三角形 ABC两边BG AC上的点，且 AE=CD连结BE、 ?AD交于点P.过B作BQL AD于Q,请说明BP是PQ的2倍.2. 如图 1-19，在 ABC中，/

4、 BAC=90 , AB=AC BE平分/ ABC CEL BE,那么 CE?是BD的几分之几？1-193 .已知：如图1-20，在 ABC中，AB=AC AD和BE是高，它们相交于 H,且AE=BE ?那么AH是BD的倍.1-201-1往往需要做一些工作，如添加辅助1-5答案：例1 分析AB=AC MN=AN可知厶ABC和 AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性 质寻找所求角间的关系.解：设/ BAM2 CANa,/ AMN甲，/ MN=ANAMN/ MAN甲.设/ ABC=r,在厶ABC中，/ ABC/ BCA+/ CAB=180 ,由于/ BCA=/ CAB=2x +3, 二 4

5、a +2 3 + y =180.在厶 ABM中 ,3 = a + Y, 4 a +2 3 + (3 - a) =180.即 3 (a +3) =180 a + 3 =60,故/MAC=60 .例2分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等, 线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的.解：延长 AD到F,使AF=EF, ABC是等边三角形， AB=AC / A=60. AEF是等边三角形. EA=EF / AEF=/ A=60.又 EH垂直平分BD, EB=ED / EBD玄 EDB EADA EFB AD=BF又 BF=AF-AB=AE-AC=CE AD=CE例3分析 要说明一个三角形是等边

6、三角形，？只要能够证明这个三角形满足 “三条边相等或三个角相等或一个角是 60的等腰三角形”即可.本题只需利用三角形全等证得BM=BN且/ MBN=60 即可.解：在 ABE和厶DBC中,/ ABE=60 + / DBE / DBC=60+/ DBE / ABE=Z DBC/ AB=BD BE=EC ABEA DBC AE=DC/ MEB/ NCB又 M N分别是AE和DC的中点， ME=NC又 BEC为等边三角形, BE=BC MBEA NBC BM=BN/ MBNM MBE-Z NBE玄 NBC-/ NBE=60 . BMN为等边三角形.例4 分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和

7、，？常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解.解：在 BC上截取 BF=BE BD=BA连结FE、DE,/ AB=AC Z A=100,.ZABC玄 C=40,又BE平分Z ABC1 Z 1=Z 2= Z ABC=20 .21-13/ BF=BE Z BEF=Z 5=80在厶 BAE和 BDE中,BA=BD , Z 1 = Z 2, BE=BE BAEA BDE AE=DE Z 3=Z A=100. Z 4=180 Z 3=180, Z 4=Z 5, DE=FE AE=FE 又Z 6=Z 5- Z C=80 -40 =40 Z 6=Z C,. FE=FC

8、故 AE+BE=FC+BF=BC例5 分析 延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径 和必要手段.解：延长 CE到F,使EF=CE连结BF, CE是 AB的中线， AE=EB1-17又Z FEB=Z AEC EBFA EAC Z EBF=Z A.BF=AC=BD .在厶 FBHA DBC中,FB=BD , BC=BC Z FBC=Z FBE+Z EBC = Z A+Z ACBZ DBCZ A+Z ACB Z FBC=Z DBC BCF BCD1 CF=CD=2CE 故 CE=CD2练习11. 解：设/ DEC=x AD=AE/ ADE玄 AED x= / AEC-Z

9、ADE=( / B+30)- / ADE=( / B+30) - (/ C+x)/ AB=AC / B=Z C 2x=30 ,x=15，故选 C.2. 解：T AB=BB , Z BAB =Z BB A,Z B BD=/ BAB +Z BB A=2Z BAB .又Z CBB =/ DBB , Z ACB=/ CBB +Z CB B=3Z CAB设Z CAB=x / ACB=3x Z CBD=4x 又 AA =AB Z A =Z ABA =Z CBD=4x/ AA 平分Z EAB1 Z A AB= (180-x ).2又Z A AB=180- (Z A +Z ABA ) =180-8x1 ( 1

10、80-x ) =1808x .2 x=12，故 ZACB=36 .3. 解：如图，作 AEDA BAC 连结 EC则Z AED=/ BAC=20 ,Z DAEZ ADE玄 B=Z ACB=80 . Z CAE玄 DAE-Z BAC=80-20 =60.又 AB=AE=AC ACE是 正三角形， AE=EC=ED Z DECZ AEC-Z AED=40 .1 Z ED (180 - Z DEC =70 .2 Z BDC=180- (Z ADE+Z EDC =30.练习21 .解： AB=AC Z B=Z C./ DEI BC,.Z DEB玄 FEC=90 .在 Rt DEB与 Rt FEC中，/

11、 B=ZBDEW F./ FDA=Z BDE/ FDA=Z F,故 AD=AF2.解：以 AD为边在 ADB作等边 ADE连结 BE则/ 仁/ 2=/ 3=60. AE=ED=AD/ DAC=15 ,/ EAB=90- / 1- / DAC=15 ./ DAC/ EAB又 DA=AE AB=AC EABA DAC/ EBA=Z DCA=15 ./ BEA=180 - / EBA-/ EAB=150 ./ BED=360 - / BEA-/ AED=150 . / BEA=Z BED又 EB=EB AE=ED BEAA BED - BD=BA 故选择C.3 .解：延长 AD到G,使DG=AD连结

12、BG/ BD=DC/ BDG/ CDA AD=DG ADCA BDE AC=BG/ G=/ EAF,又 BE=AC - BE=BG / G=/ BED 而/ BED/ AEF, / AEF=/ AFE 故 FA=FE练习31.解： ABC是等边三角形， AB=BC=CA/ ABC/ ACB玄 BAC=60 .又 BD=AF=CE ABDA BCEA CAF / 仁/ 2=/ 3. / BAC-/ 1 = / ABC-/ 2= / ACB-/ 3.即/ CAK玄 ABG/ BCH又 AB=BC=CA ABGA BCHA CAK/ AGB=/ BHCM CKA即/ KGH2 GHKM GKH故厶G

13、KH是等边三角形.2解：由于 ABC与 CDE均为等边三角形， A C、E三点共线，得知:CA=CB，CD=CE / ACD=/ BCE故厶 ACD BCE/ ADC=/ BEC AD=BEf11又 DMAD, EN=BE,2 2 DCIW ECN/ DCMN ECN CM=CN又/ ECN+Z NCDM ECD=60 ,/ NCMZ MCDZ NCD=60 . CMN是等边三角形.3解：连结BP./ ABC与 CDF均为等边三角形， AC=BC CD=CPZ ACB玄 DCP=60 ./ 仁/ 2, ADCA BPC/ CBP=/ DAC=60 ./ RBP玄 RBA+Z ABC+Z CBP

14、=60+6O+60180, R、B P三点共线.又tZ RAQZ RAB+Z BAC+Z CAQ=60+60+60=180 R、A Q三点共线.而 AQ=AE=AD=BP RQ=RA+AQ=RB+BP=RP又Z R=60,aPQR是等边三角形.故以P、Q R为顶点的三角形是等边三角形.练习41 .解：T 9 AC=Sapb+Sapc,1 1 1即一 AB CF= AB PD+ AB -PE.2 2 2 CF=PD+PE2 .解：T AC=AB / CAE玄 BAD AE=AD AECA ADB CE=BD又 BD=BC+CD=AC+CD CE=AC+CD3. 解： ABC和 BDE均为等边三角形. / ABE=60 - / EBC玄 CBD AB=BC BE=BD ABEA CBD AE=CD 又T AB=AC AD=AC+CD=AB+AE练习51.解：t/ CAB玄 C=60 , AE=CD AB=AC ADC2 BEA / CADM EBA 又/ BPQ/ PAB+M PBA=Z PAB+Z CAD=60 ,在 Rt PQB中，/ PBQ=30 , BP=2PQ2 .解：延长 CE交BA的延长线于 F,tZ 1=Z 2，Z BEC玄 BEF=90，BE=BE BECA BEF. BC=BF CE=EF1 CE