空间向量的正交分解及其坐标表示

1、3.1.43.1.4空间向量的正交分解空间向量的正交分解及其坐标表示及其坐标表示由平面向量基本定理知,平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示,对于空间的任意一个向量,有没有类似的结论呢?p ,a b 如图，设如图，设 是空间三个两两垂直的向量，且有公共是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点起点o。对于空间任意一个向量。对于空间任意一个向量 ,设点设点q为点为点p在在 所确定的平面上的所确定的平面上的正投影正投影，由平面基本定理可知，由平面基本定理可知，在在 所确定的平面上，存在实数所确定的平面上，存在实数z，使得，使得 ,而在而在 所确定的平面上，由平面向量基本定理所确定的平面

2、上，由平面向量基本定理可知，存在有序之前数对可知，存在有序之前数对(x,y)，使得使得 .从而从而.xyzqpo一、空间向量基本定理：空间向量基本定理：kji,opp ji,koq,kzoqop ji,jyixoq kzjyixkzoqop ijk如果如果 是空间三个两两垂直的向量，是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量对空间任一个向量 ，存在一个有序，存在一个有序实数组使得实数组使得 为向量为向量 在在 上的分向量。上的分向量。xyzqpoijkkji,pkzjyixp kzjyix、pkji,思考：思考：在空间中，如果用任意三个不在空间中，如果用任意三个不共面向量共面向量 代替两两垂直

3、的代替两两垂直的 向量向量,能得能得到类似的结论吗？到类似的结论吗？空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果三个向量如果三个向量不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量 ,存在有序存在有序实数组实数组x,y,z,使得使得 .空间所有向量的集合空间所有向量的集合 | ,x,y,zr 叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底， 都叫做都叫做基向量。基向量。cba,kji,cba,pczbyaxp pczbyaxp cba,cba,二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为

4、1，则这个，则这个基底叫做单位正交基底，常用基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表表示示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点o和一和一个单位正交基底个单位正交基底 i、j、k 。以点。以点o为原点，为原点，分别以分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了这样就建立了一个空间直角坐标系一个空间直角坐标系o-xyz 点点o叫做原点，向量叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量都叫做坐标向量.通通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。 在空间

5、直角坐标系在空间直角坐标系o-xyz中，对空间任一点，中，对空间任一点，a,对应一个向量对应一个向量oa，于是存在唯一的有序实数组，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使，使 oa=xi+yj+zk 在单位正交基底在单位正交基底i, j, k中与向量中与向量oa对应的有对应的有序实数组序实数组(x,y,z)，叫做，叫做点点a在此空间直角坐标系中在此空间直角坐标系中的坐标，记作的坐标，记作a(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点a的横坐标，的横坐标，y叫做点叫做点a的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点a的竖坐标的竖坐标.例例1 设设 且且 是空是空间的一个基底间的一个基底,给出下列向量组给出下列

6、向量组 ,其中可以作为空间的基底的向量组有其中可以作为空间的基底的向量组有( )a. 1个个 b. 2个个 c. 3个个 d.4个个,xab ybc zca , ,a b x , ,b c z , ,x y z , ,x y abc , ,a b c 分析分析:能否作为空间的基底能否作为空间的基底,即是判即是判断给出的向量组中的三个下向量断给出的向量组中的三个下向量是否共面是否共面,由于由于 是不共面的是不共面的向量向量,所以可以构造一个平行六面所以可以构造一个平行六面体直观判断体直观判断, ,a b c a1ad1c1b1dcb1,aab baa cad 设 ,易判断出答案c例题讲解：例题讲

7、解：bancomqp例例2、如图，、如图，m，n分别是四面体分别是四面体oabc的边的边oa，bc的中点，的中点，p，q是是mn的三等分点。用向量的三等分点。用向量 表示表示 和和 。,oa ob oc op oq 12:23121()232111633opommpoamnoaonoaoaoboc 解解112311111()()23236111366o qo mm qo am no ao no ao ao bo co ao bo c 变式空间四边形空间四边形oabc中中,m在在oa上上,om=3ma,n在在bc上上,且且bn=2nc,设设 ,用向量用向量 表示表示,oaa obb occ ,a b c ,.an mn cbmnoa小结：小结：1、选定空间不共面的三个向量作为基向、选定空间不共面的三个向量作为基向量量,并用它们表示出指定的向量并用它们表示出指定的向量,是用向量是用向量解决立体几何问题的基本要求；解决立体几何问题的基本要求；2、求解时要结合已知和所求观察图形、