同济第五版高数下第七章课件22388

1、第七章第七章空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数引引 言言 在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有序的数对应起来，把平面上的图形和点与一对有序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题问题. . 空间解析几何也是按照类似的方法建立起空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的来的. . 空间解析几何作为学习多元函数微积分的空间解析几何作为学习多元函数微积分的准备知识准备知识. .第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 混

2、合积混合积第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程第五节第五节 平面及其方程平面及其方程第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程内 容 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算向量：向量： 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：模长为模长为1的向量的向量.零向量零向量：模长为模长为0的向量的向量. .向量的模：向量的模： 向量的大小向量的大小, ,记为记为 单位向量单位向量：一、向量的概念一、向量的概念21mm00a或或| a12m m 或或a21mm或或几何上：以几何上：以 为起点为起点 为终点的有向线段为

3、终点的有向线段. .1m2m0记为记为任意方向任意方向1m2ma.rom 以以坐坐标标原原点点为为起起点点的的向向量量称称为为向向径径自由向量：自由向量： 不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .aba aa 记作记作向量平行：向量平行： 两个方向相同或相反的非零向量两个方向相同或相反的非零向量. .记作记作ababaa1. 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）（或三角形法则）（或三角形法则）二、向量的线性运算二、向量的

4、线性运算bac| |abab三角不等式三角不等式特殊地特殊地：若若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向ac|bac b同向同向反向反向cba cba 向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：）交换律：.abba （2）结合律：）结合律：()abc ()abc 1234aaaac abcba cb cba 1a4a 3a 2a cabc 首尾相接首尾相接起点起点 终点终点 连加连加2. 减法减法)( baba abb b ba ba ab()0.aa | |abab特别地特别地ba ()ab , 0)1( |aa , 0)2( 0 a , 0)3( |a

5、a aa2a21 3.向量与数的乘法向量与数的乘法的乘积的乘积是一个数是一个数,向量向量设设 a a 与与规定为规定为:（数乘）（数乘）a a与 反向，数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(0.ababa 定定理理设设向向量量，那那末末向向量量平平行行于于的的充充分分必必要要条条件件是是：存存在在唯唯一一的的实实数数 ，使使两个向量的平行关系：两个向量的平行关系：必要性必要性证证 充分性显然；充分性显然；设设 b a ,ba 取取ba 当当与与同同向向时时取取正正值值，ba

6、 当当与与反反向向时时取取负负值值，.ba 即即有有.ba 此此时时与与同同向向aa 且且aab .b 的的唯唯一一性性：，设设ab ba 又又设设，两式相减两式相减,得得，0)( a 0a 即即，0a ，0故故，. 即即0aa设设表表示示与与非非零零向向量量同同方方向向的的单单位位向向量量，按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量结果是一个与原向量同方向的单位向量. .b aba 存存在在唯唯一一的的数数 ，使使，单位化单位化例例1 1 化简化简 532

7、15abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 试用向量方法证明：对角线互相试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形平分的四边形必是平行四边形. .证证ammc bmmd ad am mdmc bmbc 与与 平行且相等平行且相等, ,adbc结论得证结论得证. .abcdmabx横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o正方向符合正方向符合右手系右手系, , 构成空间直角坐标系构成空间直角坐标系. . 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系, , ,oi j k 取取点点 和和三三个个两两两两垂垂直直的的单单位位向向量量ijk确定三个坐标轴：

8、横轴确定三个坐标轴：横轴, ,纵轴和竖轴，纵轴和竖轴，xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系有三个坐标面，将整个空间直角坐标系有三个坐标面，将整个空间分为八个部分，称为空间分为八个部分，称为八个卦限八个卦限. .m xyzopqrabcoppa ,opxi oqyj orzk 设设,romxiyjzk 则则分向量分向量坐标分解式坐标分解式 , ,momxiyjzkx y z空间点空间点 有序数有序数 opoqor xzy,m 空空间间点点rom 有有am 有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的坐标表示特殊点的坐标表示: :(0,0,0)o坐坐标标原原点点),(zyxm xyz

9、o)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc坐标轴上的点坐标轴上的点,p,q,r坐标面上的点坐标面上的点,a,b,c空间点空间点mxzy , , ,.x y zmm x y z称称为为点点的的坐坐标标，记记作作 , , ,.x y zromrx y z也也称称为为向向量量的的坐坐标标, ,记记作作rom (,)xyzaaaa (,)xyzbbbb (,)xxyyzzababab (,)xyzaaa ()()()xxyyzzabab iabjab k ()()()xyzaaiaja k 设设四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标

10、作向量的线性运算加（减）法：加（减）法：数乘：数乘：,xyza ia ja k,xyzb ib jb k0,/ababa 当当时时yzxxyzbbbaaa (,)xyzaaa (,)(,)xyzxyzbbbaaa ba 与与 的的对对应应坐坐标标成成比比例例. .ba 向向量量 与与 平平行行的的充充分分必必要要条条件件是是(,)xyzaaaa 111222(,)(,).a xy zb xyzab 已已知知和和，求求向向量量的的坐坐标标解解 由向量的加法，有由向量的加法，有,aboaob aboboa 即即111222(,),(,)oaxy zobxy z 212121(,)abxxyy zz

11、 因此因此oab例例3解解pnma 34,15713kji 358mijk ，kjin742 54pijk ，pnma 34例例4 设设求向量求向量的横坐标和沿的横坐标和沿y轴上的分向量轴上的分向量.13xaa 的的横横坐坐标标为为，4(3,5,8)3(2, 4, 7)(5,1, 4) (13,7,15) 7 . j 在在y轴上的分向量为轴上的分向量为五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离向量的模与两点间的距离mxyzopqrabcxzy),(zyxr 设设,opx oqy orz 模模的的坐坐标标表表示示：222rxyz r有有222romopoqo

12、r romopoqor ,opxi oqyj orzk 模模的的坐坐标标表表示示：222rxyz 111222(,)(,)a xy zb xy z设设空空间间点点和和，ab则则 和和 间间abab 的的距距离离就就是是的的模模，aboboa 222111(,)(,)xy zxy z212121(,)xxyy zzab 、 两两点点间间的的距距离离abab 即即abab 222212121+xxyyzz解解设设p点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x 1pp 222()23x,112 x2p p 22211 x, 22 x 1pp,22pp112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 ,

13、 0 , 1(),0 , 0 , 1( 因为因为p在在x轴上轴上，例例5解解 所求向量有两个所求向量有两个, ,一个与一个与 同向同向, ,一个反向一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 例例6两向量的夹角的概念：两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab ),(ba ),(ab 它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. . 0() 2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦特殊地，当两个向量中有一个零向量时，特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定规定: :非零向量非零向量 与三条坐标轴的正

14、向的夹角与三条坐标轴的正向的夹角, ,0 ,0 .0 m 称为称为非零向量非零向量 的的方向角方向角：r ,rxyzo|cosxr |cosyr |coszr 方向余弦方向余弦方向余弦用来表示向量的方向方向余弦用来表示向量的方向. .xyzo m pqrcos,| |xr cos,| |yr cos,| |zr cos,cos,cos 1( , , )| | |rrx y zerr ,| | |xyzrrr 222coscoscos1 单位单位向量向量特性特性例例7解解已知两点已知两点和和计算向量计算向量的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . .12m m1(2,2,2 )m2(1

15、,3,0),m12m m(12,32,02 ) ( 1, 1,2 ), 12m m222( 1)1(2) 2. 方向余弦为方向余弦为12cosxam m 1,2 12cosyam m 1,2 12coszam m 2.2 方向角为方向角为2,3 ,3 3.4 221 pp轴的夹角分别为轴的夹角分别为解解 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 22121cos1( )()222 ,21cos ,22cos 21ppxy3 4 1p)3 , 0 , 1(2p例例8 设有向量设有向量 ，已知，已知，它与，它与轴和轴和和和 ，如果，如果的坐标为的坐标为，求，求的坐标的坐标. .1cos

16、x 21pp21 x21 , 2 x0cos y 21pp20 y22 , 2 y3cos z 21pp23 z, 2, 4 zz).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 2p的坐标为的坐标为12(1,0,3).ppxyz,21cos ,22cos 1cos2 由前面得由前面得u投影轴投影轴过点过点m 作与作与u 轴垂直的平面轴垂直的平面,点点m在在u轴上的投影轴上的投影.此平面与此平面与在在 u 轴上的投影轴上的投影.m ommr3. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影om u 轴的交点轴的交点而而即为即为则称为则称为向量向量om pr.uj omom 记为记为omomu 称称为为向向

17、量量在在 轴轴上上的的分分向向量量. . 称为称为 在三条坐标轴上的分向量在三条坐标轴上的分向量.a 轴轴上的投影上的投影,按照投影定义按照投影定义,xyzaaa(,).xyzxyzaaaaa ia ja k 向量向量a 在直角坐标系在直角坐标系中的坐标中的坐标就是向量就是向量a oxyz在三条坐标在三条坐标即即jpr,xxaa pr j,yyaa pr j.zzaa 或记作或记作( ) ,xxaa ( ) ,yyaa ( ) .zzaa pr jcos).uaa 向量的投影具有与坐标具有相同的性质向量的投影具有与坐标具有相同的性质: :( )cos ,uaa 性质性质1 1(即即与与为向量为

18、向量au的夹角的夹角.uoa ua)(xyzo m pqr|cosxr |cosyr omr |coszr jjjpr()pr( )pr( ).uuuabab ()( )( ) ,uuuabab 性质性质2即即uaabbccab两个向量的和在轴上的投影等于两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和两个向量在该轴上的投影之和.ba jjpr()pr( ).uuaa ()( ) ,uuaa 性质性质3即即例例9设立方体的一条对角线为设立方体的一条对角线为om ,一条棱为一条棱为oa, 且且,oaa 求求 oa 在在 om 方向上的投影方向上的投影pr j.omoa 注注:是指向量是指向

19、量r在某条与向量在某条与向量a (0)a 同方向同方向的轴上的投影的轴上的投影.aomajprar aoma解解 如图所示如图所示, ,设设,moa 则则cosoaom jpromoa cosoa 3aa 1,3 .3a pr j.omoa 例例9设立方体的一条对角线为设立方体的一条对角线为om ,一条棱为一条棱为oa, 且且,oaa 求求 oa 在在 om 方向上的投影方向上的投影1.空间直角坐标系空间直角坐标系 2.空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）小 结 21221221221zzyyxxmm

20、 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系1.向量的概念向量的概念2.向量的加减法向量的加减法3.向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）二、向量的概念及其线性运算二、向量的概念及其线性运算（三角形法则）（三角形法则）三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示111222(,)(,)a xy zb xy z设设空空间间点点和和，212121(,)xxyy zzab 222212121+xxyyzz 则则ab 212121()()()xx iyyjzz k向量的坐标向量的坐标向量的模向量的模(,),xyzaaaa 设设则则222=xyzaaaa cos,xaa cos,yaa cos.zaa 0a|aa .cos,cos,cos 方方向向余余弦弦为为单位向量单位向量222coscoscos1,cosprj,xxaaa cosprj,yyaaa prj,ua= a cos.au 为为向向量量 与与 轴轴的的夹夹角角向量的投影向量的投影cosprj ,zzaaa 思考题思考题 1. 1.在空间直角坐标系中，指出下列在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦