表面等离极化激元(SPP)基本原理

1、Part 1：从Maxwell 方程组出发：0DBBEtDHJt 001,J=-t,J= EDEPHBMPPt 同时考虑电荷守恒得到： J此外还有一个重要的公式：因为我们考虑的都是线性材料，而且处理问题的尺度都远大于材料本身的晶格常数，所以可以认为材料是均匀的，以及材料对外界信号的响应时非局域化的，金属对光学信号的响应具有频率依赖性，所以我们把其响应函数写成如下形式：0D r (,) ( , )( , ) (,) ( , )dt drrr tt E r tJ r tdt drrr tt E r t （ ,t）=0(,)(,) (,)(,)(,) (,)D KKE KJ KKE K 0(,)(,

2、) (,)(,)(,) (,)D KKE KJ KKE K 0(,)(,)1iKK 如果波长明显大于金属的特征长度（如电子平均自由程），金属对光波德介电响应可以只考虑对频率有依赖性，即 。当金属的结构单元小于电子平均自由程时，比如一些极小尺寸的金属针尖，就要考虑到介电函数对空间位置的色散关系。我们习惯吧介电函数和电导率写为复数的形式： (0,)( )K 1212( )( )( )( )( )( )ii 可以看出电导率的实部对应介电函数的虚部代表吸收，而电导率的虚部对应于介电函数的实部表示极化强度的大小如果没有外界的激励源，Maxwell方程组的行波解形式可以写为：202222()(,)DEtK

3、 K EK EKEc (1)横波时，K.E=0,其色散关系为222(,)KKc (2) 纵波时,K.E=KE,则：(,)0K 这表面只有在某一个频率下，介电函数为0，电子的振荡为集体纵振荡，此对应着金属中体等离激元的激发，下面会继续讨论。我们知道，在凝胶模型中，金属可以看成是以正离子为背景的电荷密度为n的自由电子。金属中的电子在外加电磁场的驱动下振动，其运动阻尼主要来自电子间的碰撞，电子连续两次碰撞的时间为称为弛豫时间，室温下金属中的电子的弛豫时间约为10e-14s，而弛豫时间的倒数被称为电子的特征碰撞频率。在外电场E的驱动下，电子的运动可以写为：0222202,( )( )()P=-nexn

4、e( )()(1)( )itpmxm xeEeex tE tmiPE tmiDE ti 如果外电场的振动是简谐的， E(t)=E可得到：由于极化强度，所以22p0p2p2,Plasma Frequencynemi 这里，称为金属的等离子体频率（ ），它所对应的介电函数（）=0,进而可以得到金属介电函数的表达式为：（ ）=1-当wwp时，由于w1，其介电损耗就可以忽略，此时的介电常数是以正数，金属就完全变成了电介质，这就是著名的Drude模型推导的介电函数的表达式，金属的电磁性质它都可以反映出来。但实际中的金属往往都存在带间跃迁，从而引起介电函数的虚部在相应的频率范围内增大。如果希望更准确地描述

5、金属的介电性质，则必须在原来的基础上加入带间跃迁的影响，也就是将Drude模型修正为Drude-Lorentz模型12221222222( ),( )11( )1(1)pp 如果写为（ ）=（ ）+i则现在讨论wwp的情况。 当w很大时， w1，金属的介电函数可以忽略虚部只考虑实部，可以近似为：22( )1p 2222pK c当wwp，则允许电磁波以群速度vg=dw/dKc在金属中传播。当w=wp时，epsilon(w)=0,它所对应的激发必然是电子的集体纵振动。因为D=0，可以知道电场在wp是一个纯粹的退极化场E=-P/epsilon0.其运动状态可以想象为：离子是一块固定的正电薄板，而电子

6、行成的电子层相对薄板会作来回不停地纵振动。表面等离子体激元（SPP）是电磁波河金属表面的电子耦合，电子在金属/电介质界面上作集体振荡，它是一种表面波，其能量是沿着金属的表面传播，垂直于金属表面的方向能量是指数衰减的。其中，alpha_d,alpha_m分别满足下面的关系22202220ddmmkkkk利用电磁场边界条件,可得/dmdm mdsppmdkc 对于TE偏振，计算无解。也就是说，TE偏振不能形成表面模。所以看出，spp的存在条件有二。首先，为了使电磁场能够局域于金属的表面，alpha_d和alpha_m都应该为正值，那么epsilon_d和epsilon_m互为异号。这就要求界面的一

7、侧为具有负介电常数的材料，比如金属。其次，为了能使得spp能够沿着金属表面传播，kspp应为实数，这就要求epsilon_d+epsilon_m0.mdsppmdkc SPP的激发需要同时满足能量和动量守恒。由于其色散关系位于光线的右侧，因而SPP不能由入射光直接来激发。棱镜耦合1968年Otto采用衰减全反射（ATR)的方法首次实现光波与表面等离子体的耦合；A.otto,Z,Physik216,398(1968)随后，Otto方法被Kretschmann作了进一步的改进（Kretschmann方式）;E.Kretchmann,Z,Physik 248,313(1971)波导耦合(J.Homo

8、la,Analy. Bioanaly.Chem.377(3),528(2003)：将金属薄膜做在光波导的一侧；当波导模的传播常数与SPP相匹配时，金属外侧的SPP即可被共振激发。光栅耦合：当光波入射到金属光栅表面时，由于散射和干涉作用，衍射波得以产生，其切向波矢分量由光栅的倒格矢提供，在特定波长处，某一阶衍射波刚好与spp匹配，表面等离激元能够被有效地激发。除此以外，利用近场光学显微镜，金属表面的缺陷结构等都可以激发sppPart 2我们知道，在透镜成像的过程中，由于衍射效应的存在，物点所成的像实为一衍射光斑（Airy斑）。这一光斑的大小约为波长的二分之一，这就是通常所谓的“分辨极限”。为突破

9、衍射极限，1944年，Bethe 针对理想导电且又无限薄的金属屏上的亚波长小孔，推导出了一个确切的透射率的表达式（正入射）2464()( )27aT可以看出，一个明显的特征是，透射谱中出现了一系列的峰、谷结构。除了位于紫外（ = 326nm，对应于体plasmon 频率）的透射峰以外，在长波长的范围内还有两组突出的透射极大（1000nm、1370nm）和透射极小（900nm、1270nm）。尤其让人感到惊奇的是，后一个透射峰位于1370nm；此波长约为小孔直径的10倍。而且，其透射效率为4.4%；如果对小孔的占空比（2.2%）进行归一化，则相对透射率将达到2。这意味着，将有两倍于直接入射到小孔

10、上的光能够被透射；或者说，有一部分光即使没有入射到小孔上也能被透射。而根据Bethe 的理论，这样大的小孔，其透射效率充其量也不过3.4e3。据此可知，小孔阵列能够产生近600 倍的透射增强。此外，他们还测试了透射谱对一些参数（如周期、孔径、膜厚及金属材料等）的依赖关系，并发现了一些共同的特征。如:透射峰的位置决定于周期，而与孔径、膜厚及金属的种类无关；透射峰的宽度决定于孔径与膜厚的比，孔径越大、膜厚越小，则峰越宽；而且，透射峰的高度依赖于膜厚，膜越厚，则峰越低。另外，至关重要的一点是，薄膜必须为金属膜；如果是非金属材料，则无透射增强效应。应该指出，早期的实验数据以及结论未必全都可信。这在很大

11、程度上与测量所带来的误差大小有关，也与当时实验资料的占有程度有关。比如，后来的工作就表明，透射峰的位置不仅与周期有关，而且还与孔的大小、形状有关。近来，原作者之一Thio 撰文指出T.Thio, American Scientist94,40(2006)，上面的增强因子被严重高估。原因在于，实际所用的孔径比名义上的数值（d =150nm）要大得多。翻开他们同一年在PRB上发表的文章（见原文13中的图1）就可发现，小孔的直径差不多要有300nm。这样一来，增强因子就从600 减为区区的不到10 了！物理机制的讨论：（1）表面等离子体激元模型（2）动力学衍射模型（3）双波模型a.表面等离子体激元模

12、型诚然，Ebbesen 等人的观点既合乎常理，又能解释部分实验事实。尤其是SPP在其中起着至关重要的作用，这不能不让人感到兴奋。因而，SPP 模型得到广泛的认同和接受。不过，在解释一些实验事实上，SPP 却遇到了困难。比如，理论所预言的透射峰的位置与实验测量并不相符（通常要小10%左右）；而且，透射峰的宽度也比SPP 共振大得多；另外，理论研究还表明，穿孔的理想金属膜（或非金属膜）也能产生类似的增强透射现象，而它却不支持SPP。这样，SPP 模型受到了一些人的强烈反对。为此，双方展开了激烈的争论。首先，Treacy 发表文章认为Appl.Phys.Lett.75,606(1999)&P

13、hys.Rev.B,66,195105(2002)，金属光栅中的增强透射效应可完全依据动力学衍射理论来解释；SPP 仅仅是衍射波场的固有组成部分，因而不起任何独立的作用。他对一维金属光栅作了理论计算并得到了类似的透射特征，但结果未能与实验比较。2002 年，Cao 等再次指出Q.Cao and P.Lalanne, Phys. Rev.Lett,88,057403(2002)，在一维金属光栅的透射中，SPP 实际上起着一个负效应。这一点与Lochbihler 在较早时提出的观点一致H.Lochbihler,Phys.Rev.B,50,4795(1994)；b. 动力学衍射模型2004 年，Le

14、zec 和Thio 针对增强透射现象也提出了一个类似的模型消逝波复合衍射（CDEW，Composite Diffracted Evanescent Waves）模型36，他们也认为增强透射效应本质上就是光的散射过程。如图2-4 所示，光入射在样品表面时，就会被小孔（或狭缝）都散射为可以自由传播的辐射波（蓝线）和只能沿表面传播的消逝波（红线）；这些消逝波在表面则进行相干叠加（如图2-4 所示）。他们认为，在小孔（或狭缝）的入口处，如果消逝波干涉加强，则可导致透射极大；如果干涉相消，则对应于透射极小。如果某一消逝波和SPP模式匹配就可激发表面等离激元，所以SPP也是消逝波，但SPP只是众多消逝波中

15、的一分子，其作用也是微不足道的。为了证明增强透射和SPP没有直接的联系，他们还用非金属材料作了对比实验，并观测到了增强透射效应，只是强度比金属材料低得多，他们将此归因于所用材料对光有强烈散射造成的。可是这究竟是因为SPP 的缺失导致的还是材料的散射造成的，从这个实验还不能得到答案，因此该实验不能有力地反驳SPP模型。同时他们还做了一系列其他的实验，证明当样品加工的尺寸达到结构单元周期的10倍左右，约15*15大小，样品信号的强度就趋于饱和。从而说明透射强度是个近程作用，符合消逝波传播的特性。而在光图2-4 动力学衍射模型示意图 (Opt. Express 12,3629 (2004) 频段SP

16、P一般都可以传播几十个微米，相比较而言SPP是个长程作用，如果是SPP在透射中起主要作用，则透射效率就不应该在十几个微米的区域就达到饱和。这从另一个方面说明SPP对透射不起主要作用。但我们要注意到此文中所给公式中的一些重要参数均需要根据实验结果去进行拟合，而不能给一个严格的表达式，这是给人遗憾的地方。此后，他们针锋相对地认为，SPP在增强透射中的作用可忽略不计。 c.双波模型H.T.Liu and P.Lalanne,”Microscopic theory of the extraordinary optical transmission”Nature(London)452,728,2008该模型的观点和动力学衍射理论相一致，但是作者将SPP和衍射波在增强透射中所扮演得角色给了明确