浅谈高中数学化归思想方法

1、浅谈高中数学化归思想方法摘要：化归思想是解决数学问题的基本思想解题的过程实际上就是化归的 过程.即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择 恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解 决原问题的这种解决问题的思想，称为化归思想。中学的数学教学也越來越重视对学生“用 数学”的意识和能力的培养。所以，熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换方法去灵 活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力。有利于提高解决数学 问题的思维能力和技能、技巧。关键词：化归思想 思维模式 解题途径一、高中数学化归思想方法学习的必要性

2、。化归思想是解决数学问题的基本思想之一，解题的过程实际上就是化归的过程.即把 数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法 进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的 这种解决问题的思想，称为化归思想.数学中的转化比比皆是，比如将未知向已知转化；复 杂问题向简单问题转化；命题间的转化；数与形的转化；空间向平面的转化；高次向低次的 转化；多元向少元的转化；无限向有限的转化等都是化归思想的体现。数学高考试题注重 “考基础、考能力、考思想”。中学的数学教学也越来越重视对学生“用数学”的意识和能 力的培养。所以，熟悉数学化归的思

3、想，有意识地运用数学变换方法去灵活解决有关的数学 问题，将有利于强化在解决数学问题川的应变能力。有利于提高解决数学问题的思维能力和 技能、技巧。二、化归思想方法的主要特点。化归思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用化归的思想方法去解决数学问题 时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形z间进行转换；它可以 在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译; 它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值 求范围问题等等，都体现了化归思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转 化。可以说，等价转化是将

4、恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于 其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。在数学操 作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到 的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比 较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较 难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如 数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省 时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高

5、解题的水平和能力。简单的说化 归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想.三、运用化归思想的基本原则。1、化归思想的核心：是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问 题时，不是对问题进行直接处理，而是采取迂回的战术，通过适当变形来解决问题。它的基 本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直等等。2、化归包含三个基本要素：（1）化归对象，即把什么东西进行化归；（2）化归目标，即化归到何处去；（3）化归途径，即如何进行化归。3化归思维模式：问题二新问题二解决新问题二解决原问题。四. 化归思想在中学数学中的运用。人们在研究、探索、解决数学问题的长期实践中，获収了大量的成

6、果，积累了丰富的 经验，许多数学问题的解决都己形成了相对固定的方法和约定俗成的程序，建立了具有规范 性、代表性的数学模型。在中学数学中常把一个问题转化成数学模型来解决。诸如，常把数 列问题化归成等差数列和等比数列问题，把复数问题化归为实数问题来解决，把空间问题化 归成平血问题来解决，把罪标准方程表示的曲线问题化归成标准方程表示的曲线问题来解决 等等。化归思想的培养不仅有助于解决实际问题，也有助于培养思维的灵活性和多样性，防 止思维的僵化，培养学生用运动变化的观点、联系的观点观察和处理问题的习惯，有利于发 展学生的辩证思维能力。除了以上所提到的各种转化的形式与方法外，无处不存在的数学屮 的等量转

7、化，亦体现了化归的思想方法。如解题中常用的代数式的各种恒等变形，儿何量的 等量转移，包括等比代换、等积代换，以及几何图形的各种变换，都是实现等量转移的具体 手段。在解综合题时，由于有些条件比较隐蔽，或所给的条件比较分散，或是所求的结论比 较复杂，这是我们就更需要熟练运用化归的思想，把问题转化为我们比较熟悉的问题，从而 较快的找到解题思路。五、几种常见的化归方法思想解题途径。1. 具体与抽象的转化。把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识, 在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。例1、对于函数人兀），若存在使.心）二兀0成立，则称兀0为.心）

8、的不动点，已知函数 夬兀）d+e+qx+e 一 1）ho）（1） 若a=l,b= - 2时,求的不动点；（2）若对任意实数b,函数/u）恒有两个相异的不动点，求d的取值范围；解：（1）当a=,b= - 2时，.心）二兀彳一兀一 3,由题意可知x=jc - x - 3,得北=-1/2=3,故当二-2时，/u）的两个不动点为- 1,3（2）./（兀）=0+（決1）兀+- l）（ah0）恒有两个不动点，*.x=ax1+（b+1 ）x+（z? - 1）,即d,+/zr+（b - 1）=0恒有两相异实根a =b2 - 4ab+a0（b r）恒成立，于是 a' =（4g）2 - 16g0 解得 o

9、vgvi故当方er,代x）恒有两个相异的不动点时，0v臼1,2、整体与局部的转化。在解数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构，全面关注己知条件和待求结论 在这“整体”中的地位与作用，然后通过对整体结构的调节与转化使问题获解，这种解题的 “整体思想”往往能为我们找到问题获解的简捷解法.彖整体构造，整体换元，设而不求、 整体转化都是常用的方法.例2、对任意函数几丫）,兀wd,可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： 输入数据aod,经数列发生器输出小=/（心）； 若qed,则数列发生器结束工作；若qwd,则将匕反馈回输入端，再输出也曲七）， 并依此规律继续下去.现定义/（%）=4x-2兀

10、+1（1）若输入无尸才，则由数列发生器产生数列无,请写出冷的所65有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据心的值；（3）若输入丸时，产生的无穷数列不，满足对任意正整数刃均有心x+i ；求x（）的取值范围.解：（1）兀r）的定义域d= （- 8, - 1）u （- 1,+8）：数列%“只有三项，x） = ,x2 =-,x3 =一11954r-2（2） t /（%）=兀，即 / - 3x+2=0x + 1.*.x=l 或 x=2,即 x（）=i 或 2 吋3£+1故当兀（）二1 时，x=l,当川）二2 时，x=2 （nn"）4r-2（3）解不等式xv,

11、得；iv - 1或1 vx2x + 1要使兀兀2，则疋-1或1 匕24 兀一 26对于函数/（劝=竺上=4 兀+1x+若 x|v-1,贝 1兀2=（兀1）4, x3=j（x2）x2若 1 七2 时，x2=j（x）x 且 1 也2依次类推可得数列兀”的所有项均满足 兀什1 兀“（m en*） 综上所述，xi e（1,2） 由q次兀0）,得丸丘（1,2） 此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为 数学语言，这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换。3、数与形的转化。数形结合的思想，其实质是将抽彖的数学语言与直观的 图像结合起来，关键是代数问题与图形之i'

12、;可的相互转化，它可 以使代数问题几何化，几何问题代数化。例 3、曲线 y=l+4-x2 （ - 2wxw2）与直线 y=r（x - 2）+4 有两个交点时，实数厂的取值范围.解析：方程y=l + v4-x2的曲线为半圆,尸心-2）+4为过（2, 4）的直线,5 3答案:（去斗12 44、几何与向量的转化。对于一些较特殊的儿何体或平面图形中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，都可以 通过转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，从而利用向量的求解, 单化。例4、如图，己知平行六面体abcdabxcxdxabcd是菱形，且 zcjcb= zcicd= zbcd.(1)求证：gc丄bdcd(2)当泮

13、的值为多少时，能使丄平面cbd?请给岀证明.i，i并可以使解法简cq屮两两所成夹(1)证明：设cd=a, cb=b.cc,=c,依题意，測=0|, cd. cb角为，于是= cd-db二ab, cc, bd=c(ab)=c ac b=c |a|cos 一|c| bcos0二0,c】c丄bd(2)解：若使丄平面c、bd,只须证aic丄bd, 丄dcp由洛 qd = (ca+a)(cd-cq).cd*ccx=1时,a|c丄平面cbd.=(a+b+c)(ac)=|af+a bb c|c|2=|a|2 |c|2+|/>| |a|cos 0 b |c| cos 二0,得 当a=c时，a|c丄dcp

14、 i司理可证当|d|=|c|时，aic丄bq,5、未知向已知的转化。已知与未知是一对矛盾，借助已知可以确定未知，在解决问题的过程中要紧紧抓住己知与未知的转化，也可以把己知看成未知，把未知看成己知而达到突破难点的目的。hr + c|例5、己知函数/(x) = dcwr,d>o0是自然数)是奇函数，沧)有最大值一， er+122且求函数/u)的解析式；解：7w是奇函数:.fi-即-bx + cbx + cax +1k+1_ bx+c= 一 bx - cbxax2 +1由a>0, b是自然数得当兀wo时，夬x)w0, 当兀>0时，人兀)>0/(x)的最大值在x>0时取得

15、.当且仅当tx = 7-b bx即兀丄时，朋)有最大值一 = a2.a-c/又心亍齐2>-,：.5b>2a+2把代入得2b2- 5b+2<0解得一 vb<2 ' 2x又 bwn,：1 ,a=l,'/（尤戶jt +16、运动与静止的转化。数学中运动变化是普遍存在的，特别在解析儿何中，寻找有效的“静态”，化动为静是 解题的关键。例6、如图，在直角坐标系中，点0'的坐标为(2, 0), 0 0与x轴交于原点o和点 a.又 b、c、e 三点的坐标分别为(-1, 0)、(0, 3)、(0, b),且 0vb<3.(1) 求点a的坐标和经过b、c两点的

16、直线的解析式；ya(2) 当点e在线段oc上移动时，直线be与有哪儿种位置关系？并求出每种 位置关系吋，b的取值范围。or a【分析】要考察直线be与o o'有哪儿种位置关系， 可先考察相切这种特殊位置，化一般为特殊，相切时直 线与圆有可以运用的性质定理，此时求得的b的值就是 一个分界点。在分析的过程中，应用本题的“静态”一一-直线与圆相切，作11!图形，化动为静是解题的关键。【解】(1)由已知得：a (4, 0)由待定系数法，得：经过b、c两点的直线的解析式为y=3x+3(2)当点e在线段oc上移动时，直线be与有三种位置关系湘离、相切、相交。 设当点e运动到oc上某处时，恰使直线b

17、e切0 0于点m,连结o'm.vbm是0 0的切线 o'm丄bm且o'm=2在 rt/bo'm 中，bo'=3, o'm=2 abm=v32t = a/5又竺4bmmo9.当b二丝时，直线be与oo'相切;52 r当一丫一 <b<3时，直线be与oo'相离;5当0<bvw丄吋，直线be与oo'相交.57、实际问题转化为数学问题。实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、 不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出 来的数学实质，抽象其中

18、的数量关系，将文字语言叙述转化成数学式符号语言，建立对应的 数学模型解答。可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是题意关，即读懂题意，需要一 定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构 建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的化归能力。例7、某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量 的6%,并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？【分析】建立第年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽 管本题入手容易，但解题过程屮的准

19、确性要求较高.解:设2001年末的汽车保有量为b万辆，以后各年汽车保有量依次为也万辆，仇万 辆，每年新增汽车兀万辆，则枷=30,gz 94+兀,对于 n>f 有 仇+二久x0 94+尸942+(l+0. 94)x,所以仇+i=b|x0, 94"+x(l+0 94+0. 942+-+0. 94,_|)1-0 94" yr二仞x0 94"+x = + (30一一 )xo.94h0.060.060.06x当30 0 06 m0,即 xwl 8 时,b”+iwb|二30当30 -<0,即 x>l. x 时，lim亠+ (30-一 )x0.94”" =亠0.06 0.06 0.06 0.06x并且数列%逐项递增，可以任意靠近0.06因此如果要求汽车保有量不超过60万辆，y即仇w60(xl,2,)则有w60,所以xw360.06综上，每年新增汽车不应超过36万辆，8、化正面为反面。在数学解题屮经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。 一般来讲，反证法常用來证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、 “唯一”