信号与系统第一章

1、 先修课先修课 后续课程后续课程高等数学高等数学 通信原理通信原理线性代数线性代数 数字信号处理数字信号处理复变函数复变函数 电路分析基础电路分析基础 本课程为通信、电子类学生的重要的专业基础课。本课程为通信、电子类学生的重要的专业基础课。数学数学知识知识使用较多，用使用较多，用数学工具数学工具分析物理概念；分析物理概念； 常用数学工具；常用数学工具； 微分、积分（定积分、无穷积分、变上限积分）微分、积分（定积分、无穷积分、变上限积分） 线性代数线性代数 微分方程微分方程 傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换 差分方程求解差分方程求解, z 变换变换 注重物理概念与

2、数学分析之对照，不要盲目计算；注重物理概念与数学分析之对照，不要盲目计算； 注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理 意义及其产生的后果；意义及其产生的后果； 同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理之同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理之 解法，比较各方法之优劣；解法，比较各方法之优劣； 在学完本课程相当长的时间内仍需要反复学习本课在学完本课程相当长的时间内仍需要反复学习本课 程之基本概念。程之基本概念。 信号与系统（第三版）（信号与系统（第三版）（ 上、下册）上、下册） 郑君里郑君里 杨为理杨为理 应启珩应启珩 编编 平时成绩（平时成

3、绩（10%10%）+ +期中成绩（期中成绩（10%10%）+ +作业作业（10%10%）+ +期末成绩（期末成绩（70%70%）本学期本课的主要讲解内容（教材章节）本学期本课的主要讲解内容（教材章节）第一章第一章 绪论（信号与系统的概念、分类、分析方法）绪论（信号与系统的概念、分类、分析方法）第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析第三章第三章 傅里叶变换（频域分析、相关、能量谱和功傅里叶变换（频域分析、相关、能量谱和功 率谱（第六章的部分内容）率谱（第六章的部分内容）第四章第四章 拉普拉斯变换（拉普拉斯变换（S S域分析）域分析）第五章第五章 傅里叶变换应用于通信系统傅里叶

4、变换应用于通信系统- -滤波、调制与滤波、调制与 抽样抽样第七章第七章 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析第八章第八章 Z Z变换（变换（Z Z域分析、序列的傅里叶变换）域分析、序列的傅里叶变换）第九章第九章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换第一章第一章 绪论绪论信号？系统？联系？信号（信号（Signal）：带有信息（如语言、音乐、图像、数）：带有信息（如语言、音乐、图像、数据等）的随时间（和空间）变化的物理量或物理现象。据等）的随时间（和空间）变化的物理量或物理现象。是消息的表现形式与传送载体。信号是单个或多个独立是消息的表现形式与传送载体。信号是单个或多个独立变量的变量的函数。函数。

5、 例如：落叶之秋深，落叶例如：落叶之秋深，落叶-信号，秋深信号，秋深-信息；红路灯；信息；红路灯；烽火台等。烽火台等。 由此可见，信号时信息的载体，二者共存。由此可见，信号时信息的载体，二者共存。 无信息的信号被称为噪声。无信息的信号被称为噪声。消息（消息（Message）：是信号的具体内容。在通信）：是信号的具体内容。在通信系统中，一般将语言、文字、图像或数据统称为系统中，一般将语言、文字、图像或数据统称为消息。消息。信息（信息（Information）：一般指消息中赋予人们）：一般指消息中赋予人们的新知识、新概念，定义方法复杂，将在后续课的新知识、新概念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。

6、程中研究。 例如电信号传送例如电信号传送声音声音、图像、文字等。、图像、文字等。 电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等。电荷、磁通等。2. 系统的概念系统的概念系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。成的具有特定功能的整体。系统可以用如图系统可以用如图1-11-1所所示方框来表示；示方框来表示；e(t)是输入信号的函数，称为是输入信号的函数，称为激励激励；r(t)是输出信号的函数，称为是输出信号的函数，称为响应响应。H 表示表示系统系统算子。这里算子。这里是单输入单输

7、出系统，复杂的系统也是单输入单输出系统，复杂的系统也可以是多输入多输出的。系统的功能和特性就是可以是多输入多输出的。系统的功能和特性就是通过由怎样的激励产生怎样的响应来实现的。通过由怎样的激励产生怎样的响应来实现的。H e(t)r(t)r(t)=He(t)图图1-1 系统的方框图系统的方框图此关系亦可记为此关系亦可记为 e(t) r(t) l 系统是一个非常广泛的概念，系统可以是系统是一个非常广泛的概念，系统可以是物理的物理的（如电视机、计算机网络等），也可以是（如电视机、计算机网络等），也可以是非物理的非物理的（如企业的管理体系、政府的司法体系等）。系统可（如企业的管理体系、政府的司法体系等

8、）。系统可以以很简单很简单（如一个（如一个RC电路），也可以电路），也可以很复杂很复杂（如宇（如宇宙航行系统）。宙航行系统）。l 系统分析与系统综合系统分析与系统综合系统分析系统分析：在给定系统的条件下，研究系统对于输入：在给定系统的条件下，研究系统对于输入 激励信号所产生的输出响应。激励信号所产生的输出响应。系统综合系统综合：按某种需要先提出对于给定激励的响：按某种需要先提出对于给定激励的响 应，然后根据此要求设计系统。应，然后根据此要求设计系统。 通信系统的任务是要保证通过信道传输后的输出信号能够尽量保持输入信号的原来样子或达到某种需要的交换。 输入转换器发射机信道接收机输出转换器信源(待

9、发消息)信宿(接收消息)输入信号输出信号图1-2 通信系统的组成 信息要用某种物理方式表达出来，例如可以用语言、文字、或图画来表达，还可以用一些约定的编码来表达。这些语言文字图画编码等，分别是按一定规则组织起来因而含有了信息的一组一组的约定的符号，这种用约定方式组成的符号统称为消息或信息。消息一般不便于直接传输，所以要用一些转换设备，把各种不同的消息转换成为便于传输的电的信号。电信号常常是随着时间变化的电压或电流等电的量，这种变化是与语言的声音变化或者图象的色光变化等相对应的。这样变化着的电压或电流，分别构成了代表声音、图象和编码等消息的信号，因而信号中也就包含了消息中所含有的信息。 信号的传

10、输和处理，要由用许多不同功能的单元组织起来的一个复杂系统来完成。从广义上来说，一切信息的传输过程都可以看成是通信，一切完成信息传输任务的系统都是通信系统，例如电报、电话、电视、雷达、导航等系统均属之。一般通信系统的组成如图1-1所示. 其中转换器指的是把消息转换为电信号或者反过来把电信号还原成消息的装置，因为这些装置同时完成了从一种形式的能量转换为另一种形式的能量的工作，所以常称之为换能器。信道指的是信号传输的通道，在有线电话中它是一对导线；在利用电磁波传播的无线电通信系统中，它可以是空间、卫星通信中的人造卫星，也可以是波导或同轴电缆；还可以是光导纤维。所以一个通信系统的工作，主要是包括消息到

11、信号的转换、信号的处理、信号的传输。 本课程主要任务信号的描述、分类信号的描述、分类和典型示例和典型示例( )sinf tt时域分析数学表达式时间的函数如f(t)t(j )F信号波形表示函数的图像如或1(),( )1F jF sj频谱分析数学表达式频率的函数如信号一般可表示为一个或多个变量的函数，即描述信号一般可表示为一个或多个变量的函数，即描述信号的基本方法是写出它的数学表达式，所以通常信号的基本方法是写出它的数学表达式，所以通常把信号与函数两名词通用。把信号与函数两名词通用。2021)(gsintttt与门函数如正弦函数101t)(tf确定信号，周期信号确定信号，非周期信号t对于某一时刻

12、有一相应确定函数值；确定性与随机性实际传输的信号有不确定性（1）T以一定时间间隔 周而复始且无始无终；周期与非周期在时间上不具有周而复始性（2）本课程着重讨论确定信号（周期与非周期）分析。15 . 110.5-0.5x(n)01)(21211与抽样信号如矩形脉冲ttorttttttGt除若干不连续点外，对于任意时刻定义了函数值（时间和幅值均连续模拟信号）；连续与离散时间仅在某些不连续的规定瞬时定义了函数值（幅值连续抽样信号，均否数字信号）（3） 0 1 2 3 t (-0.5) (-1) f(t) (1.5) (1) (0.5) 连续信号离散信号连续时间连续时间离散时间离散时间模拟信号Anal

13、og Signal抽样信号Sampled Signal量化信号Quantized Signal数字信号Digital Signaltx(t)STtx(nTs)x(n)nt连续函数值连续函数值离散函数值离散函数值有限字长效应x(t) 信号可以表示为一个或多个变量的函数。 语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号一维信号。 一张黑白图像每个点（像素）具有不同的光强度，任一点又 是二维平面坐标中两个变量的函数，这是二维信号二维信号。 实际上，还可能出现更多维数变量的信号。如电磁波在三维 空间传播，如再考虑时间变量就构成四维信号。四维信号。 还可将信号分为能量受限信号能量受限信号与功率受限信

14、号功率受限信号；调制信号、调制信号、 载波信号载波信号和已调信号已调信号等。（4）一维信号与多维信号重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。tKtf e)( 单边指数信号单边指数信号l 指数衰减指数衰减, ,0 0 l l 指数增长指数增长0 0 l 直流直流( (常数常数) ), ,0 K0 O tft 0e00 tttft Ot1 tf通常把通常把 称为指数信号的称为指数信号的时间常数时间常数，记作，记作 , ,代表信代表信号衰减速度，具有时间的量纲。号衰减速度，具有时间的量纲。 (1) 指数信号振幅振幅：K 周期：周期： 频率：频率：f

15、 角频率：角频率： 初相：初相： fT12 f2 0 0 00sine)( tttKtft)sin()( tKtf衰减正弦信号：衰减正弦信号： ttt jjeej21sin ttt jjee21cos tttsinjcose -j ttt sinjcose j 讨论：讨论： 衰减指数信号衰减指数信号升指数信号升指数信号直流直流 0 , 0 0 , 0 0 , 0 振荡振荡衰减衰减增幅增幅等幅等幅 0 , 0 0 , 0 0 , 0 为复数，称为复频率 js ,均为实常数 tKtKtKtfttst sinejcose)( e)( t tSa123O 性质性质 ，偶函数，偶函数ttSaSa 1)S

16、a(lim1)Sa(, 00tttt，即3 , 2 , 1, 0)Sa( nntt， dsin,2dsin0tttttt0)Sa(lim tt tttsin)sinc( tttsin)Sa( Ot tfE 2 eEE78. 0在随机信号分析中占有重要地位。在随机信号分析中占有重要地位。2e)(tEtf信号的运算分类在信号的传输与处理过程中需要进行信号的运算，在信号的传输与处理过程中需要进行信号的运算，它可分为：它可分为： 1. 信号的相加信号的相加 2. 信号的相乘信号的相乘 3. 信号的反褶（折）信号的反褶（折） 4. 信号的移位信号的移位 5. 信号的尺度变换（压缩与扩展）（倍乘）信号的尺

17、度变换（压缩与扩展）（倍乘） 6. 信号的微分信号的微分 7. 信号的积分信号的积分12312(1)(t)(t)(t)(t)(t)fffff 相加相加：、相加同一瞬时两函数值对应 -1 0 1 t -1 f1(t) 1 -1 0 1 t -1 f2(t) 1 -1 0 1 t -1 f3(t) 1 例子： ttf)(1其它0111)(2ttf其它ttttf111)(3 0 t f5(t) 1 0 t f6(t) 1 t -1 f7(t) 1 )sin()(5ttf)8sin()(6ttf)8sin()sin()(7tttf12412(2)(t)(t)(t)(t)(t)fffff 相乘相乘：、

18、-1 0 1 t -1 f1(t) 1 -1 0 1 t -1 f2(t) 1 -1 0 1 t -1 f4(t) 1 0 t f5(t) 1 0 t f6(t) 1 t -1 f8(t) 1 ttf)(1其它0111)(2ttf其它011)(4tttf)sin()(5ttf)8sin()(6ttf)8sin()sin()(8tttf例子：454(3)(t)(-tt)fff 反折反折：（如倒转磁带来播放）为轴反转所有函数值）的纵坐标（以)(ftftt -1 0 1 t -1 f5(t) 1 -1 0 1 t -1 f4(t) 1 时间轴反转如传输中常有）右移时，函数值在时间轴上左移时，函数值在

19、时间轴上(t0t00000tt0565(4)(t)tt(t)()fff 移位移位： -2 -1 0 t -1 f6(t) 1 -1 0 1 t -1 f5(t) 1 左移左移:) 1()(56tftf 在雷达、声纳以及地震信号检测等问题中容易找到信号移在雷达、声纳以及地震信号检测等问题中容易找到信号移位现象的实例。如在通信系统中，长距离传输电话信号中，可位现象的实例。如在通信系统中，长距离传输电话信号中，可能听到回波，这是幅度衰减的话音延时信号。能听到回波，这是幅度衰减的话音延时信号。例例 ： 已已 知知 tf， 画画 出出 tf 2和和 2tf的的 波波 形形 。 波形的压缩与扩展，标度变换

20、波形的压缩与扩展，标度变换 tftf2)(时间尺度压缩时间尺度压缩： ，波形压缩波形压缩tt2 atftf)(tft原信号原信号t)2( tf压缩压缩tt/2，波形扩展。，波形扩展。)2/(tft扩展扩展)(tft原信号原信号 , 10 , 1)()( 保保持持信信号号的的时时间间增增长长扩扩展展保保持持信信号号的的时时间间缩缩短短压压缩缩aaatftf如果如果x（t）是代表一盘录制的声音磁带的话，那么）是代表一盘录制的声音磁带的话，那么x（2t）, x（t/2）代表）代表 ？x(2t):磁带以两倍速度放音磁带以两倍速度放音x(t/2):原磁带放音速度降低一半原磁带放音速度降低一半注意注意！

21、f tf atb再展缩：再展缩： |a|1，压缩，压缩|a|倍；倍； |a|0，左移左移b单位；单位； b 0 ，右移，右移b单位单位 一切变换都是相对一切变换都是相对t 而言而言考虑倒置：考虑倒置： 若若a0，进行反褶进行反褶Ot)(tf1 11解解: :t)5( tf6 14 5 Ot)3( tf131O31 t)53( tf12 34 已知已知f(t)，求，求f(3t+5)。时移标度变换标度变换时移例例2已知已知f(t)的波形的波形,试画出试画出f(4-2t)的波形的波形解解)(tft012t)( tf -10-2比例反褶有有6种次序，举种次序，举2种种法1法2)(tft012)2(tf

22、 t0-1-2时移) 2( 2 tft012t) 2( 2 tf-10-2比例反褶)(tft012)2( tft012时移) 2( 2tft012突出显示函数变化部分7787f ( )(6)(dt)(t)(t)tffdtf微分微分： 若f(t)是一幅黑白图像信号，那么经微分运算后将其图形的边缘轮廓突出。)(tft54120微分运算微分运算dttdf)(t54120218988(7)(t)(t)(t)f ( )tffdf（ ）积分积分： 信号经积分运算后其效果与微分相反，信号的突变部分可变得平滑，利用这一作用可削弱信号中混入的毛刺（噪声）的影响。积分运算积分运算)(tft100t1tdf)(t0

23、t10信号与系统分析中，常遇到函数本身有不连续点信号与系统分析中，常遇到函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的情况，（跳变点）或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数称为奇异函数或奇异信号。这类函数称为奇异函数或奇异信号。通常将实际信号按某种条件理想化，即可运用理通常将实际信号按某种条件理想化，即可运用理想模型进行分析。想模型进行分析。奇异信号分类：奇异信号分类：（1）斜变信号）斜变信号（2）阶跃信号（最重要）阶跃信号（最重要）（3）冲激信号（最重要）冲激信号（最重要）（4）冲激偶信号）冲激偶信号1 斜变信号斜变信号斜变信号也称斜升信号。斜变信号也称斜升信号。它是从某一时刻开始

24、随时间正比例增长的信号。它是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。如果增长的变化率是如果增长的变化率是1，就称为单位斜变信号。，就称为单位斜变信号。000)(ttttf如果将起始点移至如果将起始点移至t0,则可写成则可写成00000)(ttttttttft)(tf110t)(0ttf0t1010t在时间在时间 以后斜变波形被切平，如图所示信号波形。以后斜变波形被切平，如图所示信号波形。tkttfktf)()(1t)(1tfk0三角形脉冲信号也可用斜变信号表示。三角形脉冲信号也可用斜变信号表示。tttfktf0)()(2t)(2tfk0单位阶跃信号的波形如图所示，通常以符号单位阶跃信号的波形如图

25、所示，通常以符号u(t)表示。表示。0100)(tttu 在跳变点在跳变点t=0处，函数值未定义，或在处，函数值未定义，或在t=0处规定函数值处规定函数值21)0(u单位阶跃函数单位阶跃函数的物理背景：在的物理背景：在t=0(或或t0)时刻对某一电路接入单位时刻对某一电路接入单位电源（直流电压源或直流电流源），并且无限持续下去。电源（直流电压源或直流电流源），并且无限持续下去。例：例：1)(tut0V11)(0ttut00t单位阶跃信号单位阶跃信号延时的单位阶跃信号延时的单位阶跃信号矩形脉冲信号可用阶跃及其延时信号之差表示。矩形脉冲信号可用阶跃及其延时信号之差表示。)()()(TtututRT

26、t)(tRTT10下标下标T表示矩形脉冲出现在表示矩形脉冲出现在0到到T时刻之间。时刻之间。如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称，则可用如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称，则可用GT(t)表示。表示。)2()2()(TtuTtutGT下标下标T表示其矩形脉冲宽度。表示其矩形脉冲宽度。t)(tGT2T12T0阶跃信号鲜明地表现信号的单边特性。即信号在某接入时阶跃信号鲜明地表现信号的单边特性。即信号在某接入时刻刻t0以前的幅度为零。以前的幅度为零。)(sin)(1tuttf)()()(02ttutuetftt)(1tfT101例：例：t)(2tf0t10t)(3tfTE0TT203)()()(nnTtunT

27、tuEtf14)()()(nnTtuEttuTEtft)(4tfTE0T3T2简写作简写作sgn(t),可用阶跃信号表示。可用阶跃信号表示。0101)sgn(tttt)sgn( t101与阶跃函数类似，对于符号函数在跳变点也可不予定义，或与阶跃函数类似，对于符号函数在跳变点也可不予定义，或规定规定sgn(0)=0。显然，阶跃信号来表示符号函数显然，阶跃信号来表示符号函数1)(2)sgn(tut某些物理现象需要用一个时间极短，但取值极大的函数模某些物理现象需要用一个时间极短，但取值极大的函数模型来描述。型来描述。例如：力学中瞬间作用的冲击力，电学中的雷击电闪，数例如：力学中瞬间作用的冲击力，电学

28、中的雷击电闪，数字通信中的抽样脉冲字通信中的抽样脉冲等等。等等。冲激函数的表示：用箭头表示。表明，冲激函数的表示：用箭头表示。表明， (t)只在只在t=0点有一点有一“冲激冲激”，在，在t=0点以外各处，函数值都是零。点以外各处，函数值都是零。单位冲激函数：记作单位冲激函数：记作 (t),又称为又称为“ 函数函数”。冲激函数可有不同的定义方式：冲激函数可有不同的定义方式： （）（）由矩形脉冲演变为冲激函数。由矩形脉冲演变为冲激函数。 （）（）由三角形脉冲演变为冲激函数。由三角形脉冲演变为冲激函数。 （）（）还可利用指数函数、钟形函数、抽样函数、狄拉克还可利用指数函数、钟形函数、抽样函数、狄拉克

29、 （Dirac）函数等函数等t)(t0（1）宽度为宽度为 ，高为，高为1/ 的矩形脉冲，当保持矩形脉冲面积不的矩形脉冲，当保持矩形脉冲面积不变，而使脉宽变，而使脉宽 趋近于零时，脉冲幅度趋近于零时，脉冲幅度1/ 必趋于无穷大，必趋于无穷大，此极限情况即为单位冲激函数。此极限情况即为单位冲激函数。)2()2(1lim)(0tututt)(tf10一组底宽为一组底宽为 ，高为，高为1/ 的三角形脉冲，若保持其面积的三角形脉冲，若保持其面积不变，而使不变，而使 趋近于零时，幅度趋近于零时，幅度1/ 必趋于无穷大，此极限必趋于无穷大，此极限情况即为单位冲激函数。情况即为单位冲激函数。)2()()1 (

30、11lim)(0tututtt)(tf10tet21lim)(0t)(tf2102)(01lim)(tett)(tf10( )lim()kktSa ktK越大，函数的振幅越大，且离开原点时函数振荡越快，越大，函数的振幅越大，且离开原点时函数振荡越快，衰减越迅速。曲线下的净面积保持。当衰减越迅速。曲线下的净面积保持。当k时，得到时，得到冲激函数。冲激函数。 t)(tfk0 tkk)0(0)(1)(ttdtt当也称也称 函数函数为为狄拉克狄拉克（Dirac）函数函数。t)(t0描述在任一点描述在任一点t=t0处出现的冲激，可定义处出现的冲激，可定义 (t-t0)函数：函数：)(0)(1)(000t

31、tttdttt当t)(0tt 00t1（1）)0()()0()0()()()(fdttfdtftdttft（重点）（重点）单位冲激信号单位冲激信号 (t)与一个在与一个在t=0点连续（且处处有界）的点连续（且处处有界）的信号信号f(t)相乘相乘，则其乘积仅在，则其乘积仅在t=0处得到处得到f(0) (t),其余各点之乘其余各点之乘积均为零。积均为零。 t)(tf0) 0 ( f对于延迟对于延迟t0的单位冲激信号有的单位冲激信号有)()()()()(0000tfdttfttdttfttt)(tf0)(0t f0t（a）抽样特性（筛选特性）抽样特性（筛选特性）)0()()0()()()()()()

32、(fdfdfdttft证毕证毕。证明：证明：)()(tt（b） (t)是是偶函数偶函数ttud)()(可知：可知：tttdtd00)(01)(当当（c）冲激函数的积分）冲激函数的积分是阶跃函数是阶跃函数反之：阶跃函数的微分应等冲激函数反之：阶跃函数的微分应等冲激函数)()(tdttdut)(t0)(tu0t积分t0t)(tu0微分)(t（1）adttadttaadaadaa1)(1)(1)()(1)(0证明：证明：)(1)(taat（d）冲激函数的尺度变换）冲激函数的尺度变换aadaadaa1)()(1)(0),.,2 , 1(0)( )()( )()( 1)(1nitf，tttftftttf

33、tfiiiniii且处的导数在表示其中（e) (t)冲激函数的复合函数冲激函数的复合函数的性质的性质)(22at 例子：化简22)(attf解：有二个实根，分别位于有二个实根，分别位于t1=-a和和t2=a,则有则有attfat22)( 11attfat22)( 22)()(21)(22atataat)2()2()()(tutucdttdvcticc电流为：电流为：)2(1)22()2(1)2(0)(tttttvc当当当从物理方面理解从物理方面理解 函数的意义。电路图如下：函数的意义。电路图如下：电压源电压源vc(t)接向电容元件，假定接向电容元件，假定vc(t)是斜变信号。是斜变信号。)(t

34、vc)(ticctt)(tvc01)(tic0c0t212222( )ci t)()2()2(lim)(lim)(00tctutucdttdvcticc如果0的极限情况，则vc(t)成为阶跃信号，它的微分电流ic(t)是冲激函数其表达式为：t)(tic0c0t22t)()(tctic00t)(tvc0121220)()(tutvc0t1结论结论 若要在无限短时间内使电容两端建立一定的电压，那么必须在无限短时间内提供足够的电荷，所以，需要一个冲激电流，或者说，由于冲激电流的出现，允许电容两端电压跳变。冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）：将呈现正、负极冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）：将呈现

35、正、负极性的一对冲激，称为冲激偶信号，以性的一对冲激，称为冲激偶信号，以 (t)表示。表示。4. 冲激偶信号冲激偶信号t)( t0现以三角形脉冲系列为例，波形如下：三角形脉冲现以三角形脉冲系列为例，波形如下：三角形脉冲s(t)其底宽为其底宽为2 ，高度为，高度为1/ ，当，当0时，时，s(t)成为单位冲激函数成为单位冲激函数 (t)。利用规则函数系列取极限的概念引出利用规则函数系列取极限的概念引出 (t)。t)( ts10tdttds)(02121求导求导求导t)( t0t0)( t0的极限的极限0的极限的极限 对于延迟对于延迟t0的冲激偶的冲激偶 (t-t0), 同样有同样有)0( )()(

36、 fdttft)0( )()( )()()()( fdtttfttfdttft 此处此处f(t)在在0点连续，点连续，f(0)为为f(t)导数在零点的取值导数在零点的取值。)( )()( 00tfdttftt)()0( )( )0()( )(tftfttf)( t普通函数普通函数f(t)与冲激偶与冲激偶相乘)( t普通函数普通函数f(t)与冲激偶与冲激偶相相卷积)( )()( )(tftfdtdttf0)( dtt冲激偶信号的另一个性质是：冲激偶信号的另一个性质是：它所包含的面积等于零。它所包含的面积等于零。这是因为正、负两个冲激的面积相互抵消了。这是因为正、负两个冲激的面积相互抵消了。)(

37、11)( taaat冲激偶冲激偶)( t的时间尺度变换的时间尺度变换)( atv举例举例1.1 如图所示波形f(t)，求y(t)=df(t)/dt 0 1 2 3 t f(t) 2 1 )3()2() 1(2)3()2()2() 1( 2)(tutututututututf解：)3()2()1(2)3()2()1(2)()(tttdttdudttdudttdudttdfty求导)(ty21031211tv举例举例 1.2 0() ( )f ttt dt求解、dttttejwt)()(0解1：)()()()()()()()()()()()(000000tfdttttfdtfdtftdtttfdt

38、tttf解2：eeeejwtjwtjwtjwtdtttdttdtttt01)()()()(00 为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单信号分解为一些简单( (基本基本) )的信号之和，分解角度的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量不同，可以分解为不同的分量l 直流分量与交流分量直流分量与交流分量l 偶分量与奇分量偶分量与奇分量l 脉冲分量脉冲分量l 实部分量与虚部分量实部分量与虚部分量l 正交函数分量正交函数分量l 利用分形理论描述信号利用分形理论描述信号)()()(tftftfDA ：信号的直流分量，即信号的平均值信号的直流

39、分量，即信号的平均值 tfD TttDttfTtf00d)(1)(信号的平均功率信号的平均功率 = = 信号的直流功率信号的直流功率 + + 交流功率交流功率)(tfEEOttt)(tfA)(tfDOO ttfTtfttftfTttfTPTttADTttADTttd)(1)(d)()(1d)(10000002222 对任何实信号而言：对任何实信号而言：信号的平均功率信号的平均功率 = = 偶分量功率偶分量功率 + + 奇分量功率奇分量功率 oddotftfevenetftftftftftftfooeeoeoe: )(: )()()()( 奇分量奇分量偶分量偶分量 )()(21)(tftftfe

40、 )()(21)(tftftfo tf t f, t当当 , f脉高：脉高：, 脉脉宽宽：（1 1）矩形窄脉冲序列矩形窄脉冲序列此窄脉冲可表示为此窄脉冲可表示为 )()( tutuf)()( tutu存在区间：存在区间：出现在不同时刻的，不同强度的冲激函数的和出现在不同时刻的，不同强度的冲激函数的和叠加叠加可表示为许多窄脉冲的可表示为许多窄脉冲的到到从从)(,tf ）tutuf()()( ）tutuftf()()()( d)()()(tftf0 令令 tttututu d)(d()(lim0） ,d（2 2）连续阶跃信号之和连续阶跃信号之和 ttttuttftuftf01111d)(d)(d)

41、()0()( 将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。的零状态响应。 tf1t t1t 0f 11ttf 1tf瞬时值为瞬时值为复数复数的信号可分解为实虚部两部分之和。的信号可分解为实虚部两部分之和。即即实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。研究实信号。共轭复函数共轭复函数)()()(tjftftfir )()()(*tjftftfir )()(21)(*tftftfr )()(21)(*tf

42、tftjfi 如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，这将是本科程讨论的主要课题这将是本科程讨论的主要课题 将在第三章中开始学习。将在第三章中开始学习。 分形几何理论简称分形理论或分数维理论；分形几何理论简称分形理论或分数维理论；创始人为创始人为B.B.Mabdelbrot;分形是分形是“其部分与整体有形似性的体系其部分与整体有形似性的体系”；在信号传输与处理领域应

43、用分形技术的实例表现在在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征，有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征，并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述，并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述，或自动生成某些具有自相似特征的信号。或自动生成某些具有自相似特征的信号。 目的：希望用数学

44、表达式描述系统特征 系统模型是系统物理特征的数学抽象 便于用数学工具进行系统分析一、系统模型1 建模的依据系统中元件的性质多元件的联系与其学科内容相关2 系统模型的形式连续系统微分方程离散系统差分方程同一系统可用不同的形式描述同一系统可用不同的形式描述输入输出描述法用高阶微(差)分方程状态变量法自学二.连续系统的描述方框：表示系统;箭头：信号的传输方向。框图由若干基本单元组成，利用基本单元，通过一定连接，可构成各种系统。用微分方程描述系统的框图描述)()(21212221121121tetebxxaaaaxx dttdebtebtradttdradttrda)()()()(1001222输入输

45、出法用高阶方程描述状态变量法用一阶方程组描述放大器加法器延迟器ke(t)ke(t)e1(t)e1(t)+ e2(t)e2(t)Te(t)e(t-T)乘法器e1(t)e1(t) e2(t)e2(t)积分器e(t) tde微分器d/dte(t) dttde系统的互联级联并联反馈连接H1H2e(t)r(t)H1H2e(t)r(t)H1H2e(t)r(t)+-系统的分类主要从数学模型来分类；列表说明。因果系统因果系统 响应仅与过去和现在的激励有关；响应仅与过去和现在的激励有关；非因果系统非因果系统 激励作用前，响应就已经出现了。激励作用前，响应就已经出现了。独立变量不是时间的应用中, 存在非因果系统。

46、如图象处理。在一些数据处理系统中，存在非因果系统。如数据平滑处理： MMkMknxny121系统根据其性质还有下列的分类系统根据其性质还有下列的分类 tte tr因果系统 tr非因果系统例 y(t)=x(-t), t0, 非因果y(t)=cos(t+1) x(t), 因果、即时、时变系统无记忆系统：一个系统的输出仅仅决定于该时刻的输入，这个系统就称为无记忆系统。记忆系统：具有保留或存储不是当前时刻输入信息的功能。举例无记忆举例无记忆系统？系统？电阻器的输入-输出系统( )( )y tRx t举例记忆系统？电容器的输入-输出系统1( )( )ty txdC 可逆系统可逆系统 不同的输入，导致不同

47、的输出；不可逆系统不可逆系统 无法根据输出确定输入的特性。例2 y(t)=x2(t), 无法根据输出确定输入的正负号， 不可逆系统例1 y(t)=2x(t), 逆系统w(t)=x(t)/2 系统逆系统x(t),y(t)w(t)=x(t),举例系统的可逆性？通讯系统编码，加密，解码，可举例系统的可逆性？通讯系统编码，加密，解码，可逆系统，可无损失编码。逆系统，可无损失编码。稳定系统稳定系统 有界的输入产生有界的输出（有界的输入产生有界的输出（BIBO）不稳定系统不稳定系统 有界的输入产生无界的输出有界的输入产生无界的输出举例：银行户头存款余额的增长；链式反应。系统的稳定一般是由于系统的能量消耗所

48、致。例1 讨论 y(t)=tx(t) 稳定性对于 y(t)=tx(t), 取 x(t)=1, y(t)=t ,不稳定说明一个系统不稳定，找一个反例即可。解对于 y(t)=ex(t), 设x(t)B, 例2 讨论 y(t)=ex(t) 稳定性解则y(t)eB , 系统稳定.判定系统稳定，要说明所有有界输入下都产生有界输出. taytax一一. 叠加性和均匀性叠加性和均匀性: 线性线性 叠加性叠加性(addilivity) tytx )(,)(2211tytxtytx若则)()(2121tytytxtx均匀性均匀性(scaling)若则将两个性质和起来 tytxtytx2211,若则 tyatya

49、txatxa22112211特别地,000tytx为零的输入产生为零的输出为零的输入产生为零的输出.例1 考察系统 y(t)=tx(t) 是否为线性解 x1(t) y1(t) = tx1(t), x2(t) y2(t) = tx2(t), 设 x3(t) = a1x1(t)+a2x2(t)则 y3(t) = tx3(t) = ta1x1(t)+a2x2(t) =a1 tx1(t)+a2 tx2(t) = a1y1(t)+a2y2(t)所以, 系统为线性例2 y(t)=2x(t)+3 证明系统不为线性.解 法一 x(t) = 0, y(t) = 3 0法二 x1=1, y1=5; x2=2, y

50、2=7. x3 = x1+x2 = 3, y3=23 + 3 = 9 y1+y2=12二二. 时不变特性时不变特性系统响应与激励施加的时刻无关 00()()e ttr tt)(te)(tr)(0tte )(0ttr t0t0举例：RC充放电，RC参数不变， 充放电规律不变。线性线性与与时不变时不变是两个概念是两个概念)()()()(2txtytxtty线性时变非线性时不变)()(trte先线性运算，再经系统先经系统，再线性运算先线性运算，再经系统先经系统，再线性运算若若 tfHCtfHCtfCtfCH22112211 注意：注意：外加激励与系统非零状态单独处理外加激励与系统非零状态单独处理则系

51、统则系统 是线性系统是线性系统,否则是非线性系统否则是非线性系统. H1C2C tf1 tf2 tfC11 tfC22 tfCtfCH2211 H 先时移，再经系统先经系统，再时移先时移，再经系统先经系统，再时移 H tf tfHDE ty DE tf H tfH tf ty若若则系统则系统 是非时变系统是非时变系统, ,否则是时变系统否则是时变系统. . tytfH H 判断系统是否为线性非时变系统判断系统是否为线性非时变系统 tftty 是否为线性系统？是否为线性系统？可见可见, ,先线性运算，再经系统先经系统，再线性先线性运算，再经系统先经系统，再线性运算运算, ,所以此系统是线性系统所

52、以此系统是线性系统 1C2C tf1 tf2 tfC11 tfC22 tfCtfCt2211 H H tf1 tf2 tft1 tft2 1C2C tftC11 tftC22 ttfCttfC2211 H H tf tft DE tft DE tf H tft tf可见可见, 时移、再经系统时移、再经系统 经系统、再时移，经系统、再时移，,所以此系统是时变系统。所以此系统是时变系统。 是否为时不变系统？是否为时不变系统？判断下列两个系统是否为非时变系统判断下列两个系统是否为非时变系统1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。系统的作用是对输入信号作余弦运算。 )()()1(00ttetet 时移时

53、移0 )(cos)(011 tttetr经过系统经过系统)(cos)()2(tete经过系统经过系统此系统为时不变系统。此系统为时不变系统。 trtr1211 0cos ttetr系统系统1 1： 0cos tttetr系统系统2 2：0 )(cos)(0120t tttetr时移时移)()()1(00ttetet 时移时移0cos)()(021 ttttetr经过系统经过系统ttetecos)()()2(经过系统经过系统0)cos()()(00220 tttttetrt时移时移此系统为时变系统。此系统为时变系统。)()(2221trtr 系统作用系统作用:输入信号乘输入信号乘cos(t) 0cos tttetr系统系统2 2： 是否为时不