工程力学 弯曲内力)

1、第十章第十章 弯曲内力弯曲内力上图：水闸立柱上图：水闸立柱下图：跳板下图：跳板弯曲实例弯曲实例10-1 10-1 弯曲的概念及梁的计算简图弯曲的概念及梁的计算简图、弯曲的概念、弯曲的概念受力特点：受力特点：杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶（其矢量垂直于杆轴）作用。偶（其矢量垂直于杆轴）作用。MeMeABF以弯曲为主要变形的杆件通称为以弯曲为主要变形的杆件通称为梁梁。梁梁变形特点：变形特点：1 1、直杆的轴线在变形后变为曲线；、直杆的轴线在变形后变为曲线；2 2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动

2、。MeMeABF最基本常见的弯曲问题最基本常见的弯曲问题对称弯曲对称弯曲对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，因而一定是相重合，因而一定是平面弯曲平面弯曲。梁变形后的轴线与外梁变形后的轴线与外力在同一平面内力在同一平面内FA AF1F2 B对称轴对称轴纵对称面纵对称面FB 、梁的计算简图梁的计算简图1 1、支座的基本形式、支座的基本形式(1)(1)固定端固定端(2)(2)固定铰支座和可动铰支座固定铰支座和可动铰支座可动铰可动铰支座支座固定铰固定铰支座支座FFFF 简支梁简支梁：一端固定铰支、一端固定铰支、另一端可动铰支的梁另一端可动铰支

3、的梁 外伸梁外伸梁：具有一个或两具有一个或两个外伸部分的简支梁个外伸部分的简支梁 悬臂梁：悬臂梁：一端固定、一端固定、另一端自由的梁另一端自由的梁2、常见静定梁常见静定梁(1)(1)悬臂梁悬臂梁基本形式梁的约束反力基本形式梁的约束反力(2)(2)简支梁简支梁(3)(3)外伸梁外伸梁FRy1FRxFRxFRyMR FRy2FRy1FRxFRy2静定梁静定梁梁的支反力均可由平面力系的三个独立梁的支反力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出。的平衡方程求出。3、静定梁静定梁和和超静定梁超静定梁梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。静定梁静定梁超静定梁超静定梁FBFA

4、yFAxMA ABFCCFAyFAxFBBA10-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩lalFFA取左侧分离体分析任一横截面取左侧分离体分析任一横截面m-m上的内力上的内力lalFFFASlFaFBxlalFxFMAmmxaABF FBFAFAFSyAmmxxCM 0yF 0CM由其右边分离体的平衡条件同样可得由其右边分离体的平衡条件同样可得 0yF 0CMlalFFFFBS0SBFFF0 xlFxaFMB称为称为剪力剪力称为称为弯矩弯矩xlalFxaFxlFMBammxABF FBFAFAFSyAmmxxCMFSmF mBCFBM剪力和弯矩的符号规则：剪力和弯矩的符号规则：剪力：剪力：使微段有沿

5、顺时使微段有沿顺时针方向转动趋势为正针方向转动趋势为正弯矩：弯矩：使微段弯曲呈使微段弯曲呈下凹形为正下凹形为正截面法求剪力和弯矩的步骤截面法求剪力和弯矩的步骤:(1)所求内力处截开截面所求内力处截开截面,取一部分来研究取一部分来研究;(2)将该截面上内力设为正值将该截面上内力设为正值;(3)由平衡方程求解内力由平衡方程求解内力;例例 求图示外伸梁在截面求图示外伸梁在截面11、22、33和和44横截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。解：支反力为解：支反力为 0yF0AM032aFFaaFB)(2FFBFFFAB)(3 FFA xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA截面截

6、面11 0yF 01CM01aFMFaM1FF1S截面截面22 0yF02CM02aFMFaM202SFFFAFFFFA22SM1FS1F C111FAM2FS2F C222 xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA截面截面33023aFaFMAFaM 3FFFB24S截面截面4404aFMBFaM2403SFFFAFFFFA23S xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA33C3M3F FS3FAFS4M44C4FB4内力内力11223344FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa xAF B11224433Me =3FaFA=3FFB =-2F显示

7、剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。)(SSxFF )(xMM 剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变力和弯矩随截面位置变化的函数式化的函数式10-3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例例 图示悬臂梁受集度为图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1、以自由端为坐标原点，则可不求反力、以自由端为坐标原点，则可不求反力列剪力方程和弯矩方程：列

8、剪力方程和弯矩方程： lxqxxF0S lxqxxqxxM0222ABxlBxFS(x)M(x)2、 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 qxxFS 22qxxMxqlFS ql22xM l/2ql28ABlqlFmax,S22maxqlM例例 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlFFBA2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 qxqlqxFxFA2S 2222qxqlxxqxxFxMAxFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAqql 2FS ql28l/2M

9、BlAq3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图2max,SqlF82maxqlM 222qxqlxxM qxqlxF2S例例 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图和弯矩图。和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力lFbFAlFaFB2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出xBlAF abCFBFAAC段段CB段段 lxalFaFxFBS axlFbxF0S lxaxllFaxlFxMB)( axxlFbxM0 xBlAF abCFBFAFAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)3、作剪力图和弯矩图

10、作剪力图和弯矩图xllFaxM)(2 lFbxFS1 xlFbxM1 lFaxFS2FS FblxFalMxFablF BlAabClFbFmax,SlFabMmax发生在集中荷发生在集中荷载作用处载作用处发生在发生在AC段段ba时时FS FblxFalMxFablF BlAabC为为极极大大值值。时时，42/maxFlMlba例例 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力偶作用。试的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解解: : 1、求支反力、求支反力 lMFAe lMFBe0AM0elFMAMe FA FBBlACab2、 列剪力方程和弯矩方程列剪力

11、方程和弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段： lxlMFxFA0eS弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC段：段：CB段：段： xlMxFxMAe xllMMxFxMAeelxaax 0FA FBBlACabxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图ba时时lbMMemax lMxFeS发生在发生在C截面右侧截面右侧BlACabFslxMe lMxMealMeb思考：对称性与反对称性思考：对称性与反对称性Bl/2FA AFBCl/2F xMFl/4xFsF/2F/2Bl/2FA AFBCMe l/2FslxMe MxMe/2Me/2BlAqql

12、2FS ql28l/2M 222qxqlxxM qxqlxF2S10-4 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系 0yF xqxxFddS 0CM xFxxMSdd xxqxFddS 02ddddSxxxqxxFxMxMxM xxFxMddS 0ddSSSxxqxFxFxF略去略去mmnnmmCnnq(x) FS(x) M(x)M(x)+dM(x)OF yxMe q(x)xdxFS(x)+dFS(x) xqxxM22dd xqxxFddS xFxxMSddq(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系间的微分关系其中分布荷载集度其中分布荷载集度 q(x) 以向

13、上为正，向下为负。以向上为正，向下为负。OF yxMe q(x)几种常见荷载下几种常见荷载下FS 图和图和M 图的特征图的特征向上）向上）(0 cq向下）向下）(0 cq0q)0(ScbcxF)0(212cdbxcxM)0( c)0( ccF SbcxM0)(SxF 时，弯矩时，弯矩M(x)为极值。为极值。 集中力作用处集中力作用处集中力偶作用处集中力偶作用处利用以上特征利用以上特征1、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；2、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图。系直接绘制剪力图

14、和弯矩图。利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：1求支座反力；求支座反力；2分段确定剪力图和弯矩图的形状；分段确定剪力图和弯矩图的形状；3计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；和弯矩图；4确定确定 和和 。maxSFmaxMB3aACMe =3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/35qa2/3qa2/18例例 试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图示的剪力图和弯矩图。系校核图示的剪力图和弯矩图。解：支反力为解：支反力为qaFA

15、35qaFB310BM 0AM03232aFaaqqaA022332aaqqaaFBFAFBB3aACMe =3qa2axqAC段段 q=0 剪力图为水平直线剪力图为水平直线剪力值剪力值qaFFA35S1 1、 校核剪力图校核剪力图FS5qa/3xqa/38a/3xFAFBB3aACMe =3qa2axqxAM(x)FS(x)FA1 1、 校核剪力图校核剪力图CB段段q=常量常量0 剪力图为向右下方剪力图为向右下方倾斜的斜直线倾斜的斜直线因因C点处无集中力点处无集中力作用，剪力图在该作用，剪力图在该处无突变，故处无突变，故qaFFA35SCqaaqFFCB31)2(SSBBFFS即即FS5qa

16、/3xqa/38a/3xFAFBB3aACMe =3qa2axqM(x)FS(x)FSCMCx-aq2、 校核弯矩图校核弯矩图AC段段剪力剪力=常量常量弯矩图弯矩图斜率为斜率为 正值的斜直线正值的斜直线弯矩值：弯矩值：支座支座A：MA=0C截面左侧截面左侧:235qaaFMACB3aACMe =3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/35qa2/3qa2/18也可通过积分也可通过积分 来复核弯矩值：来复核弯矩值： xFxxMSdd 2SS350dqaaFxxFMMACACAC段内剪力图的面积段内剪力图的面积FS5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/35qa2/3qa2/

17、18CB段段 q=负常量负常量 弯矩图弯矩图曲率为负曲率为负(向下凸向下凸)的抛物线的抛物线C点处有集中力偶点处有集中力偶作用作用弯矩图突变弯矩图突变222eCC34335qaqaqaMMM支座支座B：MB=0B3aACMe =3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/35qa2/3qa2/18 aqaqaxxFMMCECE35352134d2S这些均与图中所示相符。这些均与图中所示相符。0)(SxF存在存在 的截面的截面，即弯矩即弯矩M(x)在此处有极值在此处有极值（抛物线的顶点）。（抛物线的顶点）。 0)(SSaxqFFCE3/8ax 2181qaFS5qa/3xqa/3

18、8a/3Mx4qa2/35qa2/3qa2/18例：例：利用微积分关系画剪力弯矩图利用微积分关系画剪力弯矩图ABqa/2qa/2a/2aCD1、求支反力：、求支反力：FAy=5qa/8 FDy= 7qa/85qa/87qa/83、积分关系求、积分关系求特征点特征点剪力弯矩值：剪力弯矩值：03qa2/85qa2/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85qa/8FsD-C-B+B-A+CDBCAB2次凸曲线斜上斜上M图斜下水平水平Fs图q =常数 0q = 0q = 0qFSFSABCD+-5qa/8qa/87qa/8MMABCD+3qa2/85qa2/1649qa2/1282、微分关系确定各段、微分关系确定各段曲线形状曲线形状：4、画剪力弯矩图：、画剪力弯矩图：AB2/3qa21/3qa2CD1/3qa2+-ABqaaaaCDqa22/3qa1/3qaAB+2/3qa1/3qaCD-例：例：利用微积分关系画剪力弯矩图利用微积分关系画剪力弯矩图