辽宁省沈阳市2013届高三数学上学期期中考试 理

1、沈阳二中20122013学年度上学期中考试高三（13届）数学试题 说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分 2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上 第卷（选择题 共60分）一.选择题：本小题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是直线和直线平行的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件2.已知集合则A. B. C. D.以上都不对3.在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为A24B39C52D1044已知、是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题是A若，则 B若，则 C若

2、，则 D若，=，= ，则 5.已知点P(3，4)是双曲线渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若·0，则双曲线方程为()A. B. C. D. 6. 已知函数满足，且1,1时，则函数的零点个数是A3 B4 C5 D67.如图，点A、B都在半径为2的球上，圆Q是过A、B两点的截面，若A、B的球面距离为，OQ=1，则三棱锥Q-ABO的体积等于A. B. C. D.38、设，O为坐标原点，动点满足，则的最大值是AB 1CD9、设f(x)则f(x)dx等于 A. B. C. D不存在10. 已知方程的两根为且，则tan=A.B.2 C. D. 或211、若函数f(x)eax的图象在x0处的

3、切线l与圆C：x2y21相离，则点P(a，b)与圆C的位置关系是AP在圆C外 BP在圆C内 CP在圆C上 D不能确定12、函数（ ）A. 是奇函数又是减函数 B. 是奇函数但不是减函数 C. 是减函数但不是奇函数 D. 不是奇函数也不是减函数第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分13、正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 .14、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 15. 设平面上个圆周最多把平面分成个平面区域，则_（）16设点O是ABC的外心，AB13，AC12，则· 三、解答题：本小题共

4、6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分10分）已知向量，设函数。 （1）求的最小正周期与单调递减区间； （2）在中，、分别是角、的对边，若的面积为，求的值18、（本小题满分12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系式。（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？ 19、（本

5、小题满分12分）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.()求与底面所成角的大小；()求证：平面；()求二面角的余弦值. 20、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列前n项和为，,，且，数列满足（1）求（2）若，设数列的前n项和为，求证：21、（本小题满分12分）已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上。若椭圆上的点A(1,)到焦点F1，F2两点的距离之和等于4.写出椭圆C的方程和焦点坐标；过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若，求直线DE的方程;过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若OMN面积取得最大值，求直线MN的方程.22、（本小题满分

6、12分）设函数(1) 求函数的最小值；(2) 设，讨论函数的单调性；(3) 斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：.高三（13届）期中考试数学试题答案一、选择题123456789101112CCCDDBCDABBA二、填空题(13) (14) 4 (15) (16) 三、解答题17.（1）， ， ,kZ （2）18解：（1）设， 所以 ， 即 （2）设投资股票类万元，则投资债券类产品为()万元依题意得：则 所以当，即万元时，收益最大，万元19.解：(I)取DC的中点O，由PDC是正三角形，有PODC又平面PDC底面ABCD，PO平面ABCD于O连结OA，则OA是PA在底面上的射影PAO就是PA与

7、底面所成角ADC=60°，由已知PCD和ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=PAO=45°PA与底面ABCD可成角的大小为45° (II)由底面ABCD为菱形且ADC=60°，DC=2，DO=1，有OADC 建立空间直角坐标系如图，则, 由M为PB中点，PADM，PADC PA平面DMC(III) 设二面角为，令平面BMC的法向量，则，从而x+z=0； , ，从而 由、，取x=1，则 可取由(II)知平面CDM的法向量可取， 所求二面角的余弦值为法二：（）方法同上 （）取的中点，连接，由（）知，在菱形中，由于，则，又，则，即，又在中，中位线，则，

8、则四边形为，所以，在中，则，故而，则（）由（）知，则为二面角的平面角，在中，易得，故，所求二面角的余弦值为20.解：（1）当时 当时， （2）由错位相减法得：又综上：21.解：由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；又点A(1,) 在椭圆上，因此得b2=1，于是c2=3；所以椭圆C的方程为， P在椭圆内，直线DE与椭圆相交，显然P为线段DE中点，且直线不与x轴垂直设D(x1,y1),E(x2,y2)， 代入椭圆C的方程得：x12+4y12-4=0, x22+4y22-4=0,相减得2(x1-x2)+4×2×(y1-y2)=0,斜率为k=-1直线DE方程为 ()当直线MN与x轴垂直时，方程为x=1,SOMN=当直线MN不与x轴垂直时,设MN方程为， M(x1,y1),N(x2,y2)代入椭圆C的方程：,则y1+y2=, y1y2=,且>0成立.SOMN=设综上：直线MN方程为x=1 22. (1) 解：，令，得. 当时，；当时，当时，. (2) ，. 当时，恒有，在上是增函数； 当时，令，得，解得； 令，得，解得