新人教A版高中数学：统计案例

1、第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用第1课时线性回归模型高效演练知能提升一、选择题1 .有下列说法：线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线,贴近这些样本点 的数学方法；利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以 用线性关系表示；通过回归方程;及其回归系数b,可以估计和观测变量 的取值和变化趋势；因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程,所以没 有必要进行相关性检验.其中正确说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：反映的是最小二乘法思想，故正确.反映的是画散点 图的作用，也正确.反映的是回归模型y=x+“+e,其中e为随 机误差，故也正确.不正确，在

2、求回归方程之前必须进行相关性检 脸，以体现两变量的关系.答案：C2.设两个变量工和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数 是r, y关于x的回归直线的斜率是瓦纵轴上的截距是明那么必有 ( )A. 与r的符号相同B. 与/的符号相同C. 与/的符号相反D.。与/,的符号相反解析：因为>0时，两变量正相关，此时r>0； 0V0时，两变 量负相关，此时/V0.答案：A3 .实验测得四组(X, y)的值为(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), 则y与x之间的回归直线方程为()AAA.j=x+1B.j =x+2AAC.y=2x+1D.j=x1解析：求出样本中心(二，；

3、)代入选项检验知选项A正确.答案：A4 .设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高单位：cm)具有线 性相关关系.根据一组样本数据，y)(i=L 2,，)，用最小二A乘法建立的回归方程为y=0.85x85.7L则下列结论中不正确的是 ( )A. y与“具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心Q ,),)C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加085 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg 解析：回归方程中x的系数为0.85>0,因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点 的中心，；，B正确；依据回

4、归方程中y的含义可知，x每变化1 个单位，y相应变化约0.85个单位，C正确；用回归方程对总体进行 估计不能得到肯定的结论，故D错误.答案：D5 . （2015福建卷）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关 系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入X/万元8.28.610.011.311.9支出y万元6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y=Ax+a,其中。=0.76,。=）一A据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为（）A. 1L4万元C. 12.0万元B. 11.8万元D. 122万元解析：由已知得x8.2+8.6+10.0+1L3+1L9_-=1

5、0（万兀）,6.2+7.5+8.0+8.5+9.8=8（万元）,故 4=80.76 X 10=04A所以回归直线方程为y=0.76x+0.4,社区一户年收入为15万元A家庭年支出为y=076x+0.4,社区一户年收入为15万元家庭支出为 y =0.76 X 15+0.4= 11.8（万元）.答案：B二、填空题6 .若施化肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的回归直线方程为/ = 250+4X,当施化肥量为50 kg时，预计小麦产量为 kg.解析：把 x=50 代入£=250+4r,得，=450.答案：4507 .已知X, y的取值如表所示：X0134y2.24.34.86.7若从散

6、点图分析，y与X线性相关，且£=095x+。，贝哈的值等 于.sl 1.1.2.2+43+4.8+6.7解析：戈=彳(0+1+3+4)=2, y=4.5,而回归直线方程过样本点的中心(2, 4.5),所以£ =y0.95X=4.5 - 0.95 X2=2.6.答案：2.68 .已知一个线性回归方程为;= L5x+45,其中x的取值依次为1, 7, 5, 13, 19,则=.- 1+7+5+13+19解析：* =9,因为回归直线方程过点J ,3，),所以 y = 1.5x+45 = 1.5X94-45=58.5.答案：58.5三、解答题9.某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞

7、含量x(单位：mg/L) 与消光系数y读数的结果如下：尿汞含量X246810消光系数y64138205285360(1)画出散点图；(2)求回归方程.解：(1)散点图如图所示：400；.30020010005 10 15 20 %(2)由图可知y与x的样本点大致分布在一条直线周围，因此可 以用线性回归方程来拟合它.设回归方程为y =。工+ ”.: i. S ( Jr rr) ( yi- y)_h=;= 36. 95.a= y- bx= - 11. 3.S ( Xi 一久)2i= 1故所求的线性回归方程为y =3695x-11310.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据:年份200

8、82010201220142016需求量/万吨236246257276286利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y =bx+。；(2)利用中所求出的直线方程预测该地2018年的粮食需求量.解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升, 下面来求回归直线方程.为此对数据预处理如下：年份2012年-4-2024需求量257万吨-21-1101929对预处理后的数据，容易算得x =0,y=3.2.所以；(一4)X (21) + (2)X ( 11) +2X19+4X29=42+22+22+42=6.5,A _ A一a = v b Y =3.2. y 入由上述计算结果，知所求回

9、归直线方程为AAAy -257=b(x-2 012)+a=6.5(x-2 012)+3.2,A即y =6.5(x-2 012)+260.2(2)利用直线方程，可预测2018年的粮食需求量为Ay=6.5X(2 018-2 012)+260.2=6.5X6+260,2=299.2(万吨)七 300(万吨).B级能力提升1 .某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如下表：考试次数X1234所减分数y4.5432.5显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系, 则其线性回归方程为()B. j=-0.6x+5.25A. y=0.7x+5.25C. j =-0.7x+6.25D. j=-0

10、.7x+5.25解析：由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关, 所以排除A.考试次数的平均数为x=：(l+2+3+4)=2.5,所减分数的平均数为y=；(4.5+4+3+2.5)=3.5,即直线应该过点(25, 3.5),代入验证可知直线y=-0.7x+5.25 成立，故选D.答案：D2 .为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关 系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间直单位：小时) 与当天投篮命中率y之间的关系：时间Xi2345命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为,用线性回归分析的方 法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为

11、.解析：这5天的平均投篮命中率为 0.4+0>5+0.6+0.6+0.4y =5 =g- 1+2+3+4+5x =5=3£ ( jc,j x) ( yj y) = 0. 1 9 £ ( jq- a:)" = 10 i=li=l八 0 A A以。="=0.01,。= » 。r =0.47.iuy ”所以回归直线方程为y=0.01x+0.47当 x=6 时，j =0.01X6+0.47 =0.53.答案：0.5 0.533.某市垃圾处理厂的垃圾年处理量(单位：千万吨)与资金投入单位：千万元)有如下统计数据:分类2012 年2013 年2014

12、 年2015 年2016 年资金投入量X/ 千万元1.51.41.91.62.1垃圾处理量W 千万吨7.47.09.27.910.0(1)若从统计的5年中任取2年，求这2年的垃圾处理量至少有 一年不低于8.0千万吨的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为;=4x+；该垃圾处理厂计 划2017年的垃圾处理量不低于9.0千万吨，现由垃圾处理厂决策部 门获悉2017年的资金投入量约为1.8千万元，请你预测2017年能否 完成垃圾处理任务，若不能，缺口约为多少千万吨？解:(1)从统计的5年垃圾处理量中任取2年的基本事件共10个: (7.4, 7.0), (7.4, 9.2), (7.4, 7.9),

13、 (7.4, 10.0), (7.0, 9.2), (7.0, 7.9), (7.0, 10.0), (9.2, 7.9), (9.2, 10.0), (7.9, 10.0),其中垃圾处理量 至少有一年不低于8.0千万吨的基本事件有6个：(7.4, 9.2), (7.4, 10.0), (7.0, 9.2), (7.0, 10.0), (9.2, 7.9), (9.2, 10.0).所以，这2年的垃圾处理量至少有一年不低于8.0千万吨的概率L5+L4+1.9+L6+2J(2)x =17,7-4+7.0+9.2+7-9+10.0J =5=83,AA_因为直线J，=4x+过样本中心点J ,)，AA

14、所以83=4X1.7+% 解得。= L5.A所以y =4r+l.5.A当 x=L8 时，j=4X1.8+1.5=8.7<9.0,所以不能完成垃圾处理任务，缺口约为03千万吨.第2课时线性回归分析高效演练知能提升A级基础巩一、选择题1.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A, 3两变量的线性相关性 做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如 下表所示：分类甲乙丙Tr0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现4、B两变量有更强的线性相关性 ()B.乙A.甲C.丙D. T解析：/越接近1,相关性越强，残差平方和加越小，相关性越 强，所以选D正确.

15、答案：D 且回归方程是£=0.95x+%则当x=6时，y的预测值为（）A.8.4 B. 8.3 C. 8.2 D. 8.1解析：由已知可得x0+1+2+3+42.2+4.3+4.5+4.84-6.7=4.5,所以 4.5=0.95X2+% 所以 a=2.6,所以回归方程是j=0.95x+2.6,所以当x=6时，y的预测值£=0.95X6+2.6=8.3.答案：B3 .若某地财政收入x与支出j满足线性回归模型y=法+。（单 位：亿元），其中力=0.8, a=2f lel<0.5,如果今年该地区财政收入 10亿元，年支出预计不会超过（）A. 10亿元 B. 9亿元 C.

16、105亿元 D. 9.5亿元解析：x=10 时，£=0.8X10+2=10.因为lelv0.5,所以年支出预计不会超过105亿元.答案：C4 .通过残差图我们发现在采集样本点过程中，样本点数据不准确的是()A.第四个B.第五个C.第六个D.第八个解析：由题图可知，第六个的数据偏差最大，所以第六个数据不 准确.答案：C5 .如图所示，5个(X, y)数据，去掉。(3, 10)后，下列说法错误 的是()£(10,12)A.相关系数，变大8 .残差平方和变大C.相关指数改变大D.解释变量X与预报变量y的相关性变强解析：由散点图知，去掉。后，x与y的相关性变强，且为正相 关，所以变

17、大，相变大，残差平方和变小.答案：B二、填空题6.若一组观测值(ri, J1), (X2, J2),(xn9 之间满足yi= bxi+a+ei(i=l9 2, , n),且 阴恒为 0,则 R?为.解析：由4恒为0,知即y山=0,（ yi yt）2故 R2 = i=1 o=.i=l答案：17 .x, y满足如下表的关系:X0.20.6L01.21.41.61.82.02.2y0.040.3611.41.92.53.23.984.82则*, y之间符合的函数模型为.解析：通过数据发现y的值与x的平方值比较接近，所以“，j 之间的函数模型为y=x2.答案：y=28 .关于“与y,有如下数据：X24

18、568y3040605070有如下的两个模型：（l）y=6.5x + 17.5； （2）y=7x+17.通过残差 分析发现第个线性回归模型比第个拟合效果好.则R Ri, 2i0（用大于，小于号填空，R,。分别是相关 指数和残差平方和）.解析：根据相关指数和残差平方和的意义知此,犯，0V0.答案： V三、解答题9 .某服装店经营某种服装，在某周内纯获利y（单位：元）与该周 每天销售这种服装件数”之间的一组数据如下表：X3456789y 66 69 73 81 89 90 91求样本点的中心；画出散点图；求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程.解：（l）x=6,），Q7986,即样本点的中心为（

19、6, 79.86）.散点图如图所示："元 90 80 -70 .60 °O匕1；8一 件7A J=1（XLX）（3）因为为=7«4.75,Zj.i（XLX）2a =y-bx51.36,所以j =4.75x4-51.36.10.关于x与y有以下数据：X24568y3040605070已知X与y线性相关，由最小二乘法得1=65（1）求y与x的线性回归方程；（2）现有第二个线性模型：j=7x+17,且R2=o.82.若与的线 性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由.AA解：（1）依题意设y与x的线性回归方程为j=6.5x+”._ 24-4+5+6+8_ 3

20、0+40+60+50+70_ , Ax =5, y =50,因为y =6.5x+。经过（X , y ），所以y与x的线性回归方程为y =6.5x+17.5 .所以 50=6.5X5+。.所以 = 17.5.(2)由的线性模型得yM与一丁的关系如下表所示:y-yi0.5-3.510-6.50.5y-20-1010020所以 £( Vi- V)2 = 155.2( Vi-y)2 = l 000.i= 1i= 1t ( ")2 _所以 R2 = l q -=1悬=0.845.乙(y 一了六i=i由于用=0.845, R2=o.82知出k,所以的线性模型拟合效果比较好.B级能力提升

21、L根据如下样本数据：X34567y4.02.50.50.52.0得到的回归方程为，=以+，若=7.9,则x每增加1个单位, 就()A.增加1.4个单位B.减少L4个单位C.增加L2个单位D.减少L2个单位解析：易知x=Jx(3+4+5+6+7)=5,J=lx (4+2.5-0.5+0.5-2)=0.9,所以样本点中心为0.9),所以0.9=5。+7.9,所以。=一1.4,所以x每增加1个单位，y就减少L4个单位.故选B.答案：B2.若某函数型相对一组数据的残差平方和为89,其相关指数为0.95,则总偏差平方和为,回归平方和为解析：因为火2=1一残差平方和总偏差平方和'0. 95=189

22、总偏差平方和'所以总偏差平方和为1 780;回归平方和=总偏差平方和一残差平方和=1 780-89=1 691.答案：1780 16913.某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下:次数X3033353739444650成绩y3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出回归方程；(3)作出残差图；(4)计算相关指数相；(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩.解：(1)作出该运动员训练次数()与成绩之间的散点图，如图 所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系.y6()5()40302010204060次数工656, E xiyi =F =39.25, 7=40.

23、875, 2 芯="=13 180, _ S -8 x v 所以否=-一 =1.041 5,S xf 8 j?AAa = y b x =-0.003 88.所以回归方程为y = L0415X-0.003 88.作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适.-1-1.5(4)计算得相关指数r2=0985 5,说明了该运动员的成绩的差异 有98.55%是由训练次数引起的.(5)由上述分析可知，我们可用回归方程y = L041 5x-0.003 88 作为该运动员成绩的预报值.将x=47和x=55分别代入该方程可得yQ49和y257.故预测该运动

24、员训练47次和55次的成绩分别为49和57.3.2独立性检验的基本思想及其初步应用高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1 .下面是2X2列联表:变量J1yi总计X1a2173X222527总计b46100则表中m 的值分别为（）A. 94, 96 B. 52, 50 C. 52, 54 D. 54, 52 解析：因为“+21=73,所以。=52,又。+2=所以6=54. 答案：C2 .在独立性检测中，若有99%的把握认为两个研究对象I和H 有关系，则心的取值范围是（）A. 3.841, 5.024）B. 5.024, 6.635）C. 6.635, 7.879）D. 7.879, 10.82

25、8）解析：查表可知选C.答案：C3.下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影 部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出（）09876543210 1000 009000A.性别与喜欢理科无关B.女生中喜欢理科的比为80%C.男生比女生喜欢理科的可能性大些D.男生不喜欢理科的比为60%解析：从等高条形图可以看出，男生比女生喜欢理科的可能性大 些.答案：C4 .在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的 是（ ）若K2的观测值满足好26.635,我们有99%的把握认为吸烟 与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病； 从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病

26、有关系时，我们说 某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病;从统计量中得知有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现 错误.A.B.C.D.解析：推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错 误，排除A、B,正确.排除D,所以选项C正确.答案:C5 .通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动， 得到如下表的列联表：喜好程度男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110算得, （ad-be） 2（+。） （c+力） （a+c） （A+d）110 X （40X30-20X204 2 k =60X50X60X507,8,附表:尸（心/）0.0

27、500.0100.001ko3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A.在犯错误的概率不超过0的前提下，认为“爱好该项运 动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运 动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：由左心7.8及尸体226.635）=0.010可知，在犯错误的概率 不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.答案：C二、填空题6 .下列关于K的说法中，正确的有.昭的值越大，两个分类变量的相

28、关性越大；若求出昭=4>3.841,则有95%的把握认为两个分类变量有 关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错 误；独立性检验就是选取一个假设册条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现 象，则做出拒绝的推断.解析：对于，M的值越大，只能说明我们有更大的把握认为 二者有关系，却不能判断相关性大小，故错误；根据独立性检验的概念和临界值表知正确.答案：7 .某小学对232名小学生调查发现：180名男生中有98名有多 动症，另外82名没有多动症，52名女生中有2名有多动症，另外50 名没有多动症，用独立性检验的方法判断多动症与性别（

29、填 “有关”或“无关”）.解析：由题目数据列出如下列联表：性别多动症无多动症总计男生9882180女生25052总计100132232由表中数据可看到232X (98X50-82X2)180X52X100X132«42.117> 10.828.所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为多动症与性 别有关系.答案：有关8 .某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性 家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有的把握认为糖尿病患者与遗传有关系.解析：先作出如下糖尿病患者与遗传列联表(单位：人):家族糖

30、尿病发病糖尿病不发病总计阳性家族史1693109阴性家族史17240257总计33333366根据列联表中的数据，得到 K 的观测值为k =366X (16X240-17X93)2l1 n。Yc*6.067 >5.024.故我们有 97.5% 的把握认为糖尿病患者与遗传有关系.答案：97.5%三、解答题9 .为考察某种药物预防疾病的效果进行动物试验，得到如下列 联表：分类患病未患病总计服用药104555未服用药203050总计3075105试用等高条形图分析服用药和患病之间是否有关系.解：根据列联表所给的数据可得出服用药患病的频率为获七0.18,未服用药患病的频率为高=04,两者的差距是

31、1018041=0.22,两者相差很大, 作出等高条形图如图所示，19876543210 O.SO.O.SSO.O.S因此服用药与患病之间有关系的程度很大.10 .某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待 企业改革态度的关系，随机抽取了 189名员工进行调查，所得数据如 下表所示：工作态度积极支持企业 改革不太赞成企业 改革总计工作积极544094工作一般326395总计86103189对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论?李明对该题进行了独立性检验的分析,结论是“在犯错误的概率 不超过0005的前提下，认为企业员工的工作积极性和对待企业改革 的态度有关系”.他的结

32、论正确吗?解：由列联表中的数据求得K2的观测值为710.759.189X (54X6340X32)=94X95X86X103""因为 10,759>7,879,所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为企业员工的工作 积极性和对待企业改革的态度有关系.所以李明的结论正确.B级能力提升1.有两个分类变量X,山 其2X2列联表如下表.其中m 15 一。均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“”与）之间有关系”，则a的取值应为（）变量J2XIa20-aX215a30+。A.5或6B. 6或7C. 7 或8D. 8 或 9解析：查表可知，要使在犯错误的概率不越过0的前提下，认 为驳2之间有关系，则 Ki > 2.706，而炉= 658（30+。）一（20）（15。）F _ 13