2020年中考数学压轴题每日一练(4.13)

1、2020年中考数学压轴题每日一练（4.13）、选择题1 .如图，在矩形 ABCD中，AB=4, BC = 6,点E, F分别为线段 BC, DB上的动点，DB与AE相交于点 M .当AE+AF取最小值时，cos/ EAF的值是（）D、C9A f B-fCD-iM2 .已知直线 y=- x+7a+1与直线y=2x-2a+4同时经过点 P,点Q是以M (0, - 1)为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（10TB.16D.18T二、填空题3 .如图，在矩形 ABCD中，AB = 4, AD=3,点E在CD上，DE=1,点F是边AB的中点,以EF为斜边作RtAEFP.若点P在矩形

2、ABCD的边上，则符合条件的P点有 个.4 .如图，等边 ABC的边长为2#曰，点D、E分别在 AC、AB上，AD=BE,连BD、CE交于点 G,以BG、CG为邻边作平行四边形 BGCP, BFXBC, BF=2,延长PF交AC的延长线于Q,当CQ最长时，PF=三、解答题5 .如图，点E (3, 4)在平面直角坐标系中的 OO±,。与x轴交于点A、B,与y轴交 于点C、D,点F在线段AB上运动，点 G与点F关于AE对称，HF，FG于点F,并交GE的延长线于点 H,连接CE.DD备用图(1)求。的半径和/ AEC的度数；求证：HE = EG;(3)若点F在运动过程中的某一时刻,HG恰好

3、与。相切，求出此时点F的坐标.6 .如图，在平面直角坐标系中， 二次函数y=ax2+bx- 3交x轴于点A (-3, 0)、B (1, 0), 在y轴上有一点 E (0, 1),连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求 ADE面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使 AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案与解析】一、选择题1 .【分析】如图，根据垂线段最短可知， 当等E与等B重合时，AFLBD时，AE+AF最短.只 要证明/ 1 = /2,根据cos/ EAF = cos/2=£D计算

4、即可.BD【解答】解：如图，根据垂线段最短可知，当等 E与等B重合时，AFXBD时，AE+AF 最短.却苟, / 1 + /DAF =90° , /2+/DAF=90° ,/ 1 = / 2,在 RtADB 中，3口 = 12+/ =cos/ EAF = cos/ 2=AD2 【分析】先解方程组y±r+7a41,L 一一、，.-,得P点坐标为(3a - 1,y=2x-2a+4=4a+2）,则可确定点P为直线yB (0,10310上一动点，设直线 y =生x+-里与坐标的交点为33），利用勾股定理计算出 AB =256A、B,如图，则A （一呈，0）,2,过M点作M

5、PL直线AB于P,交。M于Q,此时线段 PQ的值最小，证 RtAMBPRtAABO,利用相似比计算出 MP =13即线段PQ的最小值为二55【解答】解：解方程组产一片I,曰得x=3a-ly=2i-2a+4 y=4a+2，P 点坐标为(3a - 1, 4a+2),设 x= 3a 1, y= 4a+2,-X+103即点P为直线y =&X辑上一动点'设直线y=与坐标的交点为A、B,如图，则A （-,0), B (0,芈),O . AB =256过M点作MP，直线AB于P,交。M于Q,此时线段PQ的值最小,. / MBP = Z ABO, RtAMBPRtAABO, .MP: OA=B

6、M: AB,即 MP :回=3：236MP=W,5pq = J±L- 1=k, 55即线段PQ的最小值为卷.故选：C.二、填空题3.【分析】过点F作PF XCD于点P,由勾股定理可求 EF =flO,以EF为斜边作 可得点P在点P在以EF为直径的圆上，即可求解.【解答】解：如图，过点 F作PFLCD于点P,RtAEFP,. PFXCD, / A=/ D = 90°，四边形DAFP是矩形，DP= AF, PF = AD = 3,点F是边AB的中点，AB = 4.-.AF=2=DP,且 DE = 1EP= 11- EF = U pF Z 十PE 2=.以EF为斜边作 RtAEF

7、P.点P在以EF为直径的圆上，AP"'= 2,如图，作直径为EF的圆与矩形 ABCD的边有4个交点，在AD上时，AP”= 1在CD上时，DP = 2,在AB上时，AP'=1,故答案为：44.【分析】 由等边三角形的性质得到AB=BC, Z A= / ABC = 60° ,根据全等三角形的性质得到/ ABD = /BCE,推出/ BPC=120° ,于是得到点 P在 ABC的外接圆OO ±, 当FP与。O相切于P时，CQ最长，根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：. ABC是等边三角形， .AB=BC, /A=/ABC=60° ,

8、 BE=AD,ABDA BCE (SAS), ./ ABD = Z BCE, ./ GBC+Z BCE = 60° , ./ BGC= 120° , ./ BPC= 120° ,.点P在 ABC的外接圆 OO±,过O作OH，FB于H , . /OBC=30° , OBH = 60° , BC= 2 行， .-.OB=2=BF, .BH = 1, OH=V3,HF= 3,。=小雇用产2%/1,当FP与。O相切于P时，CQ最长，此时，由勾股定理得PF=2y历.故答案为：2.二三、解答题5【分析】(1)根据点E的坐标利用勾股定理求得圆的半径

9、，然后利用院内接四边形的性质求得/ AEC的度数即可； 2)连接EF,则得到EF = EG,从而得到/ EFG = /G,然后根据/ HFG = 90° ,得到 / EFH = / H,利用等角对等边得到 EF=HE,从而证得HE=EG; 3)如图，连接 OE、EF,根据HG为切线得到/ GEA + /OEA = 90° ,然后根据 OE = OA得到/ OEA=Z EAO,再利用点 G与点F关于AE对称，彳#到/ GEA=Z AEF ,进而 得到EFXAB,从而求得结论.【解答】解：(1)二点E (3, 4), 1- O O的半径为十4'= 5, . / AOC=

10、 90° , ./ ABC=45° ,AEC= 135° ;(2)如图1,连接EF, 贝U EF = EG,EFG = Z G, . / HFG = 90° , ./ EFH = Z H, EF=HE, HE= EG;(3)如图2,连接OE、EF,. HG为切线， ./ GEA+/OEA = 90° , .OE= OA, ./ OEA=Z EAO, 点G与点F关于AE对称， ./ GEA=Z AEF, ./ AEF + Z EAO =90° , EFXAB,点F的坐标为(3,0).6【分析】(1)利用待定系数法求解可得;(2)先求出直

11、线AE的解析式为(m, m2+2m-3)，贝U F (m,2+1), DF = - m-Lm+4,根据3Sa ADE = Sa ADF + & DEFy=x+1,作DGx轴，延长 DG交AE于点F,设D可得函数解析式，利用二次函数性质求解可得答案;(3)先根据抛物线解析式得出对称轴为直线 x=- 1,据此设P ( - 1, n),由A ( - 3, 0), E (0, 1)知 AP2=4+n2, AE2=10, PE2= (n1) 2+1 ,再分 AP = AE, AP=PE 及 AE= PE三种情况分别求解可得.【解答】解：(1) .二次函数y=ax2+bx-3经过点A (-3, 0

12、)、B (1, 0),f9a3b-3-0 ,1, a+b-3-0解得：lb=2，二次函数解析式为 y=x2+2x-3；(2)设直线AE的解析式为y=kx+b,过点 A ( 3, 0), E (0, 1),rkj_解得： 3 ,b=l直线AE解析式为y=-=-x+1 ,如图，过点 D作DGx轴于点G,延长DG交AE于点F,D设 D (m, m2+2m 3)，则 F (m,DF = - m2- 2m+3+m+1 = - m23.1. SaADE = SaADF + S；adef=12_ 1 22DF X AG+宁DF X OGDFX (AG+OG)3X DF3(2-m2m+&) 2+16924，-2-时，ade的面积取得最大值为当m=理.24(3) .1 y= x2+2x- 3= (x+1) 24,，抛物线对称轴为直线 x= - 1,设 P ( T , n),. A (- 3, 0), E (0, 1),AP2= ( 1+3) 2+ (n 0) 2 = 4+n2, AE2= (0+3) 2+ (1 0) 2= 10, PE2= (0+1)2+ (1 - n) 2= ( n-1) 2+1,若 AP=AE,贝u AP2=AE2,即 4+n2=10,解得 n=±近，点 p(T,