电磁场与电磁波(第3章)OK

1、第第3 3章章 介质中的麦克斯韦方程介质中的麦克斯韦方程 本章将讨论一般介质中的麦克斯韦方程，这首本章将讨论一般介质中的麦克斯韦方程，这首先需要了解介质的电与磁的性能以及一些简单概念。先需要了解介质的电与磁的性能以及一些简单概念。 通过分析发现，如果引入极化矢量通过分析发现，如果引入极化矢量 和磁化和磁化矢量矢量 ，就可以很方便地来描述普通介质中麦克，就可以很方便地来描述普通介质中麦克斯韦方程的一般形式。本章还将引入介质中相对介斯韦方程的一般形式。本章还将引入介质中相对介电常数的定义电常数的定义, ,而且会看到与介质折射率而且会看到与介质折射率n n之间存在之间存在着直接的联系。着直接的联系。

2、PM1. 1. 介质特性：电偶极矩介质特性：电偶极矩 、分子极化率、分子极化率 、极化矢量、极化矢量 4. 4. 一般媒质中的麦克斯韦方程一般媒质中的麦克斯韦方程重点重点：3. 3. 磁偶极矩、磁化强度矢量磁偶极矩、磁化强度矢量 、 2. 2. 介质的折射率、相对介电系数介质的折射率、相对介电系数 5. 5. 介质中的三个物态方程介质中的三个物态方程6. 6. 场量的边界条件场量的边界条件 3.1 电介质及其极化电介质及其极化 1. 1. 电介质电介质 一般来讲电介质可分为两大类：一类是无极分子电介质，当没有外电场作用时，这类电介质中正负电荷的中心是重合的，处于电中性状态，对外不显电性，如2、

3、2等气体物质。对于无极分子外电场越强，相对位移越大，等效电偶极矩也对于无极分子外电场越强，相对位移越大，等效电偶极矩也越大越大 第二类是有极分子电介质，当没有外电场作用时，这类电介质中的正负电荷中心不重合，每个分子可等效为一个电电偶极子偶极子，但由于分子的无规则热运动，使得电偶极子的分布排列是无规则的。因此，整体仍呈电中性，对外也不显电性。对于有极分子，在外加电场作用下，各个分子等效电偶极子对于有极分子，在外加电场作用下，各个分子等效电偶极子将受到一个力矩的作用。将受到一个力矩的作用。 l qpEPT电解质极化n在力矩T的作用下，分子的电偶极矩 转向电场的方向产生转向，但由于分子的热运动，不可

4、能使所有分子的电偶极矩都按电场的方向排列起来，场强越强，转向的效果也越显著，排列就越整齐，各个分子等效电偶极矩在电场方向上分量的总和也越大，在有极分子电介质与外电场垂直的界面上，同样出现束缚电荷束缚电荷。n这种在外电场作用下，电介质中出现有序排列的电偶极子，表面上出现束缚电荷的现象，称为电介质的极化电介质的极化。n无极分子的极化称为位移极化位移极化。n有极分子的极化称为转向极化转向极化。P极化强度的定义 n电介质在外电场的作用下，要产生极化现象，也就是束缚电荷在外电场作用下，产生位移和转向。n为了描述电介质的极化状态，也就是极化程度和极化方向，引入极化强度矢量极化强度矢量n即为单位体积内的分子

5、电偶极矩的矢量和即为单位体积内的分子电偶极矩的矢量和 n由实验表明：在各向同性的线性介质中，极化强度与电场强度成正比，由实验表明：在各向同性的线性介质中，极化强度与电场强度成正比，且且 PVniPivni lP100PV0PNP为平均电偶极矩。如果单位体积内有个分子，则： 内每个分子的ExPe0ex为介质的极化率 ，由介质本身的性质决定的，无量纲 E是极化后的宏观电场，包括介质的电偶极子产生的电场和外电场的矢量和。 束缚电荷的分布及其电位分布 n极化强度矢量是描写介质极化程度的物理量，而介质的极化程度是由束缚电荷的分布情况决定的，所以极化程度与束缚电荷之间有一定的关系 n在外电场作用下，电介质

6、产生极化。极化强度为M AERePzyx,在电介质内某点（把该体积元中的所有电偶极子看成一个等效电偶极子 ）处取一个体积元dv，等效电偶极矩为 ),(dvzyxPPdi等效电偶极子在A点产生的电位为 vdRRePdAd2041电介质中的全部电偶极子在场点A产生的电位为 vdRpvA)1(041积分和化简后，得到：)(041vdRpvRsdpsASV积分是在电介质表面及其体积中进行的 与面分布电荷、体分布电荷的电位计算公式进行比较：面积分一项是束缚面电荷在A点产生的电位。体积分一项是束缚体电荷在A点产生的电位。 PpnPppnpscos为束缚体电荷密度为束缚体电荷密度 束缚电荷的面密度束缚电荷的

7、面密度 vdRpvsdRpssA041041 电位移矢量 n介质极化后，束缚电荷，形成电偶极子，束缚电荷又产生附加电场，因此，有介质存在时的电场，可以看成是自由电荷和极化电荷共同在真空中产生的，因此，考虑自由电荷和束缚电荷之后，高斯定律可写成 0pEpE)(0pp)(0PEPED0称为电位移矢量电位移矢量。它是在电介质中的电位移矢量，也叫电通量密度。 D对于线性，各向同性的均匀介质 ExPe ExDe)1 ( EDrerx1 为介质特性方程介质特性方程 ，其中vsdvsdD D即为电介质中高斯定律的微分形式电介质中高斯定律的微分形式,也是介质中的麦克斯韦方程之一 2、束缚电荷（、束缚电荷（bo

8、und charge） 在电介质中的电荷，不能离开电介质，也不能在电介质内部自由移动的电荷 。 3、电介质的极化、电介质的极化 在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子，以及表面上出现束缚电荷的现象 。 假设电场中分子内部的电荷q在电场的作用下从它的平衡位置移动了一段距离x，如果被移动的电荷质量为m，其受到的恢复力与位移成正比，那么电荷的受力方程可以表示为 3.2 单个分子的模型单个分子的模型 2202()d xdxqEmxdtdtxm20)/(22dtxdm式中： 为阻尼力， 为恢复力 ，为加速度。(/)mdx dt20mx22(/)md x dt 在时谐电场中0exp()EEi t 因

9、此有则电荷位移则电荷位移0exp()xxi t220/()qE mxi式中 虚部与 有关，这表明我们所讨论模型的衰减使得位移与电场力不同相。 定义：分子内的电偶极矩 pqx并且并且2220( )/q E tmpi若引入分子极化率若引入分子极化率 20220/pqmi则电偶极矩为则电偶极矩为 0ppE 结论：结论：在各向同性、均匀的线性介质中，电偶极矩在各向同性、均匀的线性介质中，电偶极矩矢量与电场强度成正比矢量与电场强度成正比3.3 3.3 极化矢量极化矢量 P 对介质中的一般分子模型所进行的讨论，说明我们可以在两组不同的条件下来描述介质中的电荷特性。根据电荷偏离其平衡位置时的位移,我们对分子

10、中的电荷特性进行过讨论，虽然这时电荷能够发生位移,然而它们的移动范围却是受到分子约束的。 尽管很高的场强会使介质中的电荷摆脱这种约束而变成自由电荷并造成介质中产生“击穿”现象,但对这种情况我们暂且不作讨论。 对属于介质中分子的电荷来说（这种电荷又称为“束缚电荷”），其它的电荷是被吸引进介质的例如自由离子或自由电子,其运动不受分子约束力限制,故被称为“自由电荷”，于是我们可以将这两种不同类型的电荷集中表示为 fm类似地,总电流密度也可以被分为 fmJJJ下面我们将引入矢量来描述分子电荷的运动，即定义矢量用以描述任一点上分子电荷运动的方向。P( , )P r t( , )r t的每单位面积上的分子

11、电荷量。的大小等于按照介质中分子电荷的自然分布，流过点P( , )r t因此根据 能够考察每一点上的电荷运动情况，它在任意时刻的值由通过该点的电荷净流量所确定,这是因为介质中的电荷分布呈中性。 P由于电流密度mJ与分子电荷的运动相关联，即有 mPJt又由于电中性，我们有 P nds故有故有mP 上述结论与介质上述结论与介质结构的情况无关结构的情况无关, ,具有普遍意义。具有普遍意义。这样这样, ,我们就可以我们就可以对任何介质写出对任何介质写出其应满足的麦克其应满足的麦克斯韦方程。斯韦方程。麦克斯韦方程的一般形式为麦克斯韦方程的一般形式为 0pPPE DE/ tB0H/ tBJD 0()sls

12、slsDd SQBEd ld StB d SDHd lJd St在上式中令在上式中令 0()DEP又由于又由于 0pPE 故有故有0000(1)pprDEEEEE 此式称为反映介质极化的物态方程 ，是各向同性的均匀线性介质中的方程。3.4 3.4 介质的分子模型与极化矢量介质的分子模型与极化矢量 PPmmJp除了与电荷密度和电流密度之间的关系外，我们还希望建立 与分子偶极矩之间的联系。 P 如图所示，假设某介质的单位体如图所示，假设某介质的单位体积内包含有积内包含有N N个分子，并且假定介质中个分子，并且假定介质中有一垂直于极化方向（有一垂直于极化方向（x x方向）方向）, ,面积面积为为A

13、A的平面，如果每个分子电荷的平面，如果每个分子电荷q q在电在电场场 所极化的介质中沿所极化的介质中沿x x轴方向移动轴方向移动了距离了距离x x，则穿过该平面的总电荷（平，则穿过该平面的总电荷（平均值）为均值）为qNxAqNxA。 E由于 avAqNxAPdAP A式中式中 是面积是面积A A上上P P的平均值。的平均值。avP所以有所以有0avpPNPNE这是在电场E使分子产生极化的基础上，相对于单个分子所得出的结论，在介质密度足够低的情况下,如果单个分子的极化不会影响到相邻电荷所受到的电场，那么这个结论就是成立的。 0pPE 3.5 3.5 高密度介质中的电场高密度介质中的电场 考察一种

14、介质,它是由呈气态或液态的中性分子所组成。对于这种流体介质，一般可以认为它是各向同性的（isotropic）。由于单个分子中的电荷是分离的，所以如果施加一个电场就会产生介质的极化，极化的方向与所施加电场的相同。 比如，在静电场的情况下，介质充斥于平行板电容器（parallel-plate Capacitor）的两个极板之间，介质中任一点处的场与下列因素有关：（i）金属板上的电荷与介质极化面电荷所构成的介质外表面的电荷分布；（ii）所考察的场点周围分子偶极子所产生的附加影响。( )0/iE 前面一种因素的作用较为简单，它可由单位面积上的净电荷 来确定，即 在对上述第二种因素的影响进行讨论时在对上

15、述第二种因素的影响进行讨论时, ,我们遵循的是洛伦我们遵循的是洛伦兹的方法，即作一个包围场点的球面，如图所示，在球面兹的方法，即作一个包围场点的球面，如图所示，在球面的内部的内部, ,可认为介质能够体现出单个分子的特性可认为介质能够体现出单个分子的特性, ,而在球面而在球面外部则认为介质是呈电中性的。外部则认为介质是呈电中性的。 由于全部分子偶极子在球体中心的总的场强矢量和的值为零，由于全部分子偶极子在球体中心的总的场强矢量和的值为零，因此因此, ,能在球体中心产生电场就只剩下两个来源了能在球体中心产生电场就只剩下两个来源了： (i) (i) 介质外表面极板上的电荷介质外表面极板上的电荷 (i

16、i)(ii)球的内表面上的极化电荷。球的内表面上的极化电荷。( )( )localiiiEEE因此因此, ,局部电场可以表示为局部电场可以表示为即即( )0/3localiavEEP此式说明，局部电场的影响可使电场增强 0/3avP3.6 3.6 折射率与相对介电常数折射率与相对介电常数介质的折射率介质的折射率(refractive index) n定义为定义为 /nc v其中其中c c是电磁波在真空中的速度，是电磁波在真空中的速度，v v则是电磁波在折射率为则是电磁波在折射率为n n的介质中的速度。的介质中的速度。 前面我们已经定义了一个反映介质特性的量前面我们已经定义了一个反映介质特性的量

17、相对介电常数相对介电常数 0/rEPE下面我们来寻求折射率下面我们来寻求折射率n n与与 之间的关系：之间的关系： r令令00ffJ则介质中的麦克斯韦方程变为则介质中的麦克斯韦方程变为 020(/)00(/)EPBEtBcBEPt 方程方程4 4则为则为 2rEcBt 对方程对方程4 4两端取旋度，并代入两端取旋度，并代入方程方程2 2和方程和方程3 3，可得，可得 2222rBBct这是一个关于这是一个关于B B的波动方程的波动方程 波速为波速为 221/()rvc因因为为/nc v所所以以2rn3.7 3.7 磁化的概念磁化的概念 介质的磁化（Magnetization）和介质的极化一样，

18、也是和物质的结构紧密相关的。根据原子的简单模型，电子沿圆形轨道围绕原子核旋转，其作用可相当于一个圆电流，即一个小电流环，这个微观电流也会产生磁效应，这个小电流环可等效为一个物理模型，即磁偶极子磁偶极子(magnetic dipole)。由于热运动等原因，物质中的圆电流的磁场常常互相抵消，因而总体对外并不显示磁性。 介质中的电子和原子核都是束缚电荷，它们进行的轨道运动和自旋运动都是微观运动，由束缚电荷的微观运动形成的电流，称为束缚电流(bound current)，也称磁化电磁化电流流（Magnetization current）。 在没有外加磁场的作用下，绝大部分材料中所有原子的磁偶极矩(ma

19、gnetic dipole moment)的取向是杂乱无章的，结果总的磁矩为，对外不呈现磁性。在外磁场的作用下，物质中的原子磁矩将受到一个力矩的作用，所有原子磁矩都趋于与外磁场方向一致的排列，彼此不再抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场分布，这种现象称为物质的磁化物质的磁化。 mJM 磁化电流不同于自由电流，其电荷运动是被束缚在媒质内部的，因而也叫束缚电流束缚电流。 为了描述及衡量介质的磁化程度，我们定义磁化强度矢量 0l i mvmpvM可以证明，磁介质磁化后对磁场的影响，可用磁化电流密度 来等效 mJmpIS 式中 是一个分子电流的磁矩，也称磁偶极矩， 3.8 3.8 磁化电流与磁化矢量磁化

20、电流与磁化矢量 M磁位分布和磁化电流分布 n一个分子电流在周围产生的矢量磁位: aRJaAsin24224 RRmp)1(4Rmp = =ISapzm为磁偶极子的磁矩 vdM在磁介质中，取体积元，可得体积元中等效磁矩为，可知其产生的矢量磁位为： vd )1(4RvdMmAd整个磁介质v在场点(x,y,z)的矢量磁位为 RvdMvmA14变换和化简后，可得ss dRnaMvvdRMmA44MJmnmsaMJ磁化体电流磁化面电流ssdRmsJvvdRmJmA443.9 3.9 磁场强度磁场强度 引入磁化电流后，磁介质中安培环路定律的微分形成可写成 DBJJcmt 即即DBJMct DBMJct 令

21、令BHM DHJct 则则称 为磁场强度，它也是描述磁场的一个物理量。 H H对于各向同性及线性均匀磁介质，由实验可证明 mMXH 式中 为磁化率（Magnetic susceptibility），是一个标量常数。 mX可得 (1)mmrBHMHXHXHHH 称此式为反映介质磁化的物态方程。 式中 为磁介质的磁导率， r 1rmX 为磁介质的相对磁导率。HB3.10 3.10 磁介质磁介质 所谓磁介质，就是在外加磁场的作用下，能产生磁化所谓磁介质，就是在外加磁场的作用下，能产生磁化现象，并能影响外磁场分布的物质现象，并能影响外磁场分布的物质。事实上，除了真空外，其它任何物质都是可磁化的磁介质，

22、只不过磁化效应的强弱存在差别而已。根据物质的磁效应的不同，磁介质通常可分为：抗磁质、顺磁质、铁磁质、亚铁磁质等。 抗磁质抗磁质 主要是电子轨道磁矩产生磁化现象引起的，自旋磁矩可忽略，在外磁场的作用下，电子轨道磁矩的方向和外磁场的方向相反。这时磁化率 0mX ，相对磁导率 ， 与 的方向相反，磁介质内 变小。 1rMBB顺磁质顺磁质 主要是电子自旋磁矩引起的。轨道磁矩的抗磁效应不能完全抵消它，在外磁场作用下电子的自旋磁矩和外磁场方向一致, 这时磁化率 0mX ，相对磁导率 ， 与 的方向相同。 1rMB铁磁质铁磁质 子组成，在无外磁场作用时，各磁畴排列混乱，总磁矩相互抵消，对外不显示磁性。但在外

23、磁场作用下，磁畴企图转向外磁场方向排列，形成强烈磁化。因此，铁磁性物质的磁化，是由于外磁场与磁畴作用的结果铁磁性物质的磁化，是由于外磁场与磁畴作用的结果。撤去外磁场后，部分磁畴的取向仍保持一致，对外仍然呈现磁性，称为剩余磁化剩余磁化。时间长了，或温度升高，会消失。铁磁材料是一种非线性磁介质，其曲线与磁化历史有关，形成了一个磁滞回线磁滞回线。 在外磁场的作用下，呈现强烈的磁化，能明显地影响磁场的分布。在铁磁材料中，存在许多天然小磁化区，即磁畴。每个磁畴由多个磁矩阵方向相同的原亚铁磁质亚铁磁质 是指其中某些分子（或原子）的磁矩与磁畴平行，但方向相反。在外磁场作用下，这类材料也是呈现较大磁效应，但由

24、于部分反向磁矩的存在，其磁性比铁磁材料要小。 在工程技术上用得较多的是铁氧体铁氧体，其最大特点是磁导率是各向异性的，而介电常数则呈各向同性。 3.11 3.11 介质中的麦克斯韦方程组介质中的麦克斯韦方程组引入反映介质极化的物态方程 DE引入反映介质磁化的物态方程 BH 可写出一般媒质中的麦克斯韦方程 tDCJH DtBE0BvdvsSdtDJl dHscl)(ssl另外，还有电流连续性方程 csvd vtJd s Jct 可以证明:由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程及电流连续性方程，可导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。也就是说，麦克斯韦方程组的四个方程，再加上电流连续性方程这5个方程，事实上

25、只有三个方程是独立的。为了获得电磁场的解，还需要利用三个物态方程： cDEBHJE 才可得到一般媒质中完整的麦克斯韦方程组的解。克斯韦方程组的解。 3.12 3.12 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 研究边界条件的出发点仍然是麦克斯韦方程组，但在不同媒质的交界面处，由于媒质不均匀，媒质的性质发生了突变，使得场量也可能产生突变，因此，微分形式的方程可能不再适用，而只能从麦克斯韦方程组的积分形式出发，推导出边界条件。 电磁场的边界条件通常包括边界面上场量的法向分量（Normal component） 切向分量（Tangential component）1 1、一般媒质界面的边界条件、一般媒质界面

26、的边界条件 如图为两种一般媒质的交界面，第一种媒质的介电常数、磁导率、电导率分别为 ， ， ；第二种媒质的分别为 , , 111222D（1 1） 的边界条件的边界条件 如图所示，在分界面上取一个小的柱形闭合面，其上下底面与分界面平行.媒质2 媒质1 在柱形闭合面上应用高斯定律： 12nnssDd sDsDss12nnsDD则则 120nnsBd sBsBs此式即为此式即为 的法向边界条件，它表明：的法向边界条件，它表明： 的法向分量在分界面处产生了突变的法向分量在分界面处产生了突变 DDB （2 2） 的边界条件的边界条件 与上图类似，应用高斯定律得： 当当 0s时，时， 的法向分量变为连续

27、。的法向分量变为连续。 D12nnBB即即 此式即为此式即为 的法向边界条件，它表明：的法向边界条件，它表明： 的法向分量在分界面处总是连续的。的法向分量在分界面处总是连续的。 B B J （3 3） 的边界条件的边界条件 与上图类似，由电流连续性原理与上图类似，由电流连续性原理 csvd vtJd s 12sJJnnt可得可得 说明：当分界面处电荷面密度发生变化时，其电流密度的法向分量产生突变，突变量为电荷面密度的变化率。 E（4 4） 的边界条件的边界条件 如图，电场强度的边界条如图，电场强度的边界条件通常用电场的切向分量件通常用电场的切向分量来表示。来表示。 lBd sstEd l 12

28、ttEE可得可得 说明：电场强度的切向分量是连续的。 由麦克斯韦第二个方程： H （5 5） 的边界条件的边界条件 12HHJstt可得可得 说明：当分界面处存在传导电流时，磁场强度的切向方向将当分界面处存在传导电流时，磁场强度的切向方向将发生突变；当分界面处不存在传导电流时，磁场强度的切向发生突变；当分界面处不存在传导电流时，磁场强度的切向方向是连续的。方向是连续的。 与上图类似，由安培环路定律与上图类似，由安培环路定律 lHd lI综上所述，五个场量综上所述，五个场量的边界条件是：的边界条件是： 12121212()12()()0()()0sstnHHJsnDDnBBnJJnEE 2 2、几种特殊介质的边界条件、几种特殊介质的边界条件在研究电磁场问题时，下述分界面的讨论经常出现：（1）两种无损耗线性介质的分界面，也就是两种理想介质的分界面 理想介质属无损耗介质，其电导率理想介质属无损耗介质，其电导率 0这时有这时有 12121212120ttnnttnnDDsnnEEBBHHJJ这说明