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文档简介
1、第第1010课时课时 函数图象函数图象1作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:确定函数的定义域;化简函数的解析式;讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);描点连线,画出函数的图象 2三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换 3识图:对于函数的图象要注意其分布范围、变化趋势、对称性、周期性等方面 4用图:函数的图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形”的直 观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具,要重视数形结合思想方法 的运用1函数y1 的图象是()答案:B2函数ye|ln x|x1|的图象大致是()答案:D 3. (2009重
2、庆模拟)已知图中的图象对应的函数为yf(x),则图的图象对应的函数为()Ayf(|x|) By|f(x)| Cyf(|x|) Dyf(|x|)答案:C4 (2009湖南)如图,当参数1,2时,连续函数y (x0)的图象分别对应曲线C1和C2,则() A012 B021C120 D210 解析:令xx0(x00),由图象可知, ,1x02x0,(12)x00, 12,又因为函数y 在(0,)连续,因此0,故选B. 答案:B作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状,然后借助描点等手段作出函数图象,而明确函数图象位置和形状的主要方法有:(1)图象的变换,例如y|x| y 1等(2)等价变形,如y ,
3、等价于 (3)研究函数的性质【例1】作出下列函数的图象:解答:(1)解法一:函数的定义域为(,1)(1,1)(1,),且函数为偶函数,函数的递增区间为(,1),(1,0),递减区间为(0,1),(1,)可根据以上性质取值列表:在直角坐标系中描出上表对应点并用光滑的曲线连结起来再根据y 是偶函数,把所作图象关于y轴对称到y轴左侧后,就得到y 的图象(如图1)当x0且x1时,y ,它的图象可由y 的图象向右平移一个单位后得到(仅要y轴及其右侧部分)当x0且x1时,y ,它的图象可由y 的图象先关于x轴对称后,再向左平移一个单位后得到(仅要y轴左侧部分),把上述两次得到的图象合在一起就得到函数y 的
4、图象(如图1)图图1解法三:作函数图象还可通过求导确定函数的单调性和极值情况:当x0时,y ,求导得y 0,单调递减区间是0,1)及(1,),取x 在坐标系中描出各点并用光滑曲线连结起来,再把所得曲线关于y轴对称就得到函数y 的图象(如图1)(2)当x0时,f(x)x22x1(x1)22,当x0时,f(x)x22x1(x1)22,即f(x)根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图2.(3)若x2,原式为y x(x4),若xVn,即当h愈大时,相等高度增加的水量愈少,其图象呈“上凸”形状,故选A.(2)时间t愈大,该学生离学校的距离d愈小,d是t的减函数,答案应为C、D中的一个,由于前一段时间速
5、度快,后一段时间速度慢,即 的值前大后小,故选D.答案:(1)A(2)D变式2.如下图所示,向高为h的水瓶A、B、C、D同时以等速注水,注满为止(1)若水量V与水深h函数图象是下图的(a),则水瓶的形状是_;(2)若水深h与注水时间t的函数图象是下图的(b),则水瓶的形状是_;(3)若注水时间t与水深h的函数图象是下图的(c),则水瓶的形状是_;(4)若水深h与注水时间t的函数的图象是图中的(d),则水瓶的形状是_答案:(1)A(2)D(3)B(4)C数形结合是数学中非常重要的思想方法,利用函数的图象可解决判断方程解的个数,求方程的近似解(二分法)等问题,如果能够求出方程的解,利用函数图象进而
6、可求对应不等式的解【例3】已知二次函数yf1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数yf2(x) 的图象与直线yx的两个交点间的距离为8,f(x)f1(x)f2(x) (1)求函数f(x)的表达式; (2)证明:当a3时,关于x的方程f(x)f(a)有三个实数解解答:(1)由已知,设f1(x)ax2(a0),由f1(1)1,得a1,f1(x)x2.设 f2(x) (k0),它的图象与直线yx的交点分别为A( , ) B( , ),由|AB|8,得k8,f2(x) .故f(x)x2 .(2)证明:证法一:由f(x)f(a),得x2 a2 ,即 x2a2 .在同一坐标系内作出f2(x)
7、 和f3(x)x2a2 的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,f3(x)的图象是(0,a2 )为顶点,开口向下的抛物线因此,f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)f(a)有一个负数解 又f2(2)4,f3(2)4a2 ,当a3时, f3(2)f2(2)a2 80,当a3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2)在f2(x)图象的上方f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)f(a)有两个正数解因此,方程f(x)f(a)有三个实数解证法二:由f(x)f(a),得x2 a2 ,即(xa)(xa )0,得方
8、程的一个解x1a.方程xa 0化为ax2a2x80,由a3,a432a0,得x2 ,x3 x20,x30,x1x2,且x2x3.若x1x3,即a ,则3a2 ,a44a,得a0或a ,这与a3矛盾,x1x3.故原方程有三个实数解.1列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数图象首先要明确函数图象的 位置和形状: (1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、凸凹性等等; (2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等; (3)可通过方程的同解变形,如作函数y 的图象2利用函数的图象可研究函数的性质,可判断方程解的个数,可通过解方程, 根据函数的图象观察对应不等式
9、的解等3数形结合的思想方法也是高考中重点考查的内容. 【方法规律方法规律】(本题满分4分)方程x2 x10的解可视为yx 的图象与函数y 的图象的交点的横坐标,若x4ax40的各个实根x1,x2,xk(k4)所对应的点 (i1,2,k)均在直线yx的同侧,则实数a的取值范围是_. 解析:将方程x4ax40变形为x3a ,“x4ax40的各个实根x1, x1,xk(k4)所对应的点 均在直线yx的同侧”,等价于“函数y x3a的图象与函数y 的图象的交点均在直线yx的同侧”在同一坐标系中作出y 与yx3a的图象,由图1,若函数yx3a的图象过(2,2)点,则a6;由图2,若函数yx3a的图象过(2,2)点,则a6;因此满足条件的实数a的范围是(,6)(6,)答案:(,6)(6,)【答题模板答题模板】1. 高考中对函数图象的考查,多以选择题和填空题的形式出现,形式多变,灵活多样,具体是作图、识图和用图2利用函数图象我们可以判断对应方程解的情况,如方程是否有解,有多少个 解,甚至可以求出方程的近似解,当然也就可以了解方程解的分布情况 ,结 合函数图象和方程的解,还可以利用数形结合的思想方法解不等式3数形结合的思想在每年的高考中都有所体现,它常用来:研究方程根的情况,讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等内容的题目对这类内容的选择题、填空题,数形结合特别有效从今年的高考题来看,数
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