函数的极值与导数

1、3.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数哈四中数学组哈四中数学组 王兆兰王兆兰aoht 0h a ht问题：如图表示高台跳水运动员的高度问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间随时间 变化的函数变化的函数 的图象的图象 2( )4.96.510h ttt单调递增单调递增单调递减单调递减0)( th0 )(th归纳归纳: 函数函数 在点在点 处处 ,在在 的附近的附近, 当当 时时,函数函数h(t)单调递增，单调递增， ; 当当 时时,函数函数h(t)单调递减单调递减, 。( )h tata0)( ahat at 0)( th0)( thyxaob yf x （3 3）在点）在点 附近附近

2、, , 的导数的符号有什么规律的导数的符号有什么规律? ?,a b yf x （1）函数）函数 在点在点 的函数值与这些点附近的的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系函数值有什么关系? yf x,a b（2 2）函数）函数 在点在点 的导数值是多少的导数值是多少? ? yf x,a b(图一图一)问题：问题：0)( xf0)( xf0)( xf0)( af0)( bfxy yf xohgfedc(图二图二)yxaob yf x(图一图一)0)( xf0)( xf0)( xf0)( af0)( bfxy yf xohgfedc(图二图二)极大值极大值f(b)点点a a叫做函数叫做函数y=f(x

3、)的的极小值点极小值点，f(a a)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值极小值.点点b b叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值点极大值点，f(b b)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值极大值.极小值点极小值点、极大值点极大值点统称统称极值点极值点，极大值极大值和和极小值极小值统称为统称为极值极值.极小值极小值f(a)思考：思考：极大值一定大于极小值吗？极大值一定大于极小值吗？ yfx6x5x4x3x2x1xabxy （1 1）如图是函数）如图是函数 的图象的图象, ,试找出函数试找出函数 的的 极值点极值点, ,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, ,哪些是极小值点？哪些是极小值

4、点？o（2）如果把函数图象改为导函数）如果把函数图象改为导函数 的图象的图象? ? yfx yf x yf x答：答： yfx1、x1,x3,x5,x6是函数是函数y=f(x)的极值点，其中的极值点，其中x1,x5是函是函数数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x3,x6函数函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。2、x2,x4是函数是函数y=f(x)的极值点的极值点,其中其中x2是函数是函数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x4是函数是函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。 下面分两种情况讨论下面分两种情况讨论: : （1 1）当）当 ，即，即x x2,2,或或x x-2-2时时; ;（

5、2）当）当 ，即，即-2 x2时。时。例例4：求函数求函数 的极值的极值. 31443f xxx 31443f xxx 2422fxxxx 0fx 0,fx 解解: : 0fx 当当x x变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： ,fxf x x fx f x, 2 2,22,28343当当x=-2x=-2时时, f(x, f(x) )的极大值为的极大值为 28( 2)3f 423f 令令解得解得x=2,或或x=-2.0022单调递增单调递增单调递减当当x=2时时, f(x)的极小值为的极小值为22（2）如果在）如果在 附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ， 那么那么 是极小值是

6、极小值归纳：归纳：求函数求函数y=f(x)极值的方法是极值的方法是:（1）如果在）如果在 附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ， 那么那么 是极大值；是极大值；解方程解方程 ，当，当 时：时： 0fx 0f x 0fx 0 x00fx0f x0 x 0fx 0fx 0fx 练习：练习： 1、下列结论中正确的是（、下列结论中正确的是（ ）。）。 A、导数为零的点一定是极值点。、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,右侧右侧f(x)0,那么那么 f(x0)是极大值。是极大值。 C、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,那么那么 f(x0)是极

7、大值。是极大值。 、极大值一定大于极小值。、极大值一定大于极小值。B 3f xx0 xy巩固练习巩固练习：1、求函数、求函数 的极值的极值 33f xxx解解: : 令令 ，得，得 ，或，或 下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）当）当 ，即，即 时；时；（2）当）当 ，即，即 ，或，或 时。时。当当 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： 33f xxx x fx f x, 1 1,11,20011单调递增单调递减单调递减当当 时时, , 有极小值，并且极小值为有极小值，并且极小值为 2. 0fx 当当 时时, 有极大值，并且极大值为有极大值，并且极大值为 23 3f

8、xx 23 30fxx 1x 1.x 0fx 11x 1x 1x 2)(xf)(xf2.1x1x x ,fxf x思考：思考：已知函数已知函数 在在 处取得极值。处取得极值。 （1）求函数）求函数 的解析式的解析式 （2）求函数）求函数 的单调区间的单调区间 322f xaxbxx2,1xx f x f x解：解：（1） 在在 取得极值，取得极值， 即即 解得解得 （2） ， 由由 得得 的单调增区间为的单调增区间为 由由 得得 的单调减区间为的单调减区间为 2322fxaxbx f x2,1xx 124203220abab11,32ab 3211232f xxxx 22fxxx 0fx 12xx 或 f x 0fx 21x f x) 1 , 2(, 21, 0) 1 (, 0)2( ff课堂小结课堂小结: 一、步骤一、步骤: (1)确定函数的定义域确定函数的定义域(2)求导数求导数f(x)(3)求方程求方程f(x) =0的全部解的全部解(4)检查检查f(x)在在f(x) =0的根左的根左.右两边值的符号右两边值的符号,如果左正右负如果左正右负(或左负右正或左负右正),那么那么f(x)在这个根取得极大值或极小值在这个根取得极大值或极小值二、通过本节课使我们