多元函数微分法及其应用复习习题(及答案)

1、第八章多元函数微分法及其应用教学与考试基本要求1 理解多元函数、多元函数偏导数的概念，会求多元函数的定义域、二重极限；2 会求多元函数的偏导数、全微分、全导数等；3 会求空间曲线的切线及法平面、空间曲面的切平面及法线方程；4 会求方向导数和梯度5 会用多元函数微分法解决简单的最大值最小值问题多元函数的概念一、主要内容回顾二重极限设二元函数在点的某一去心邻域内有定义，如果动点沿任意方式趋近于时，对应的函数值总是趋近于一个确定的常数，则称为函数当时的极限，或称函数在点处收敛于，记为注意：如果点只是沿某一条或几条特殊路径趋向于，函数趋向于某一确定的值，不能判断函数的极限存在；反过来，如果当沿不同的路

2、径趋于时， 趋于不同的值，就可判定在的极限不存在注：二重极限的运算与一元函数极限的运算完全一致连续（1）设二元函数在点的某邻域内的定义，如果，则称函数在处连续，并称为的连续点（2）设二元函数在点的某邻域内的定义，如果，则称函数在处连续其中称为在处的全增量（3）若函数在内每一点都连续，称函数在内连续（4）函数的不连续点称为函数的间断点一阶偏导数设函数在点的某邻域内有定义，（）若存在，则称此极限为在处对的偏导数，记作，或（）若存在，则称此极限为在处对的偏导数，记作，或（）若在区域内的每一点处对（或）的偏导数都存在，则这个偏导数为的函数，此函数称为对（或）的偏导函数，记为（或）不致混淆时也称偏导函数

3、为偏导数几何意义（）表示空间曲线在点的切线对轴的斜率；（）表示空间曲线在点的切线对轴的斜率二阶偏导数若在区域内的偏导函数仍在内可导，则它们的偏导函数是的二阶偏导数，分别是：，其中称为的二阶混合偏导数同理可定义三阶及三阶以上的偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数注意：混合偏导数与求导顺序有关，但当在内连续时，全微分设函数在点的某邻域内有定义，如果全增量可表示为其中不依赖于，仅与有关，则称函数在点处可微，称为在点的全微分，记作，即若函数在内的每一点处可微，称函数的内可微可微的性质（）可微的必要条件：若在处可微，则在处可导，且（）可微的充分条件：若的偏导数在连续，则函数在该点必可微（）记，则

4、复合函数的偏导数（）若函数在点处对及对的偏导数存在，在对应点对及对有连续的偏导数，则复合函数在点处对及对的偏导数存在，且有公式； （）对亦有； （）对有； 全导数设，则复合函数是的一元函数，且，称为关于的全导数隐函数的偏导数（）设函数在的某邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某邻域内可惟一确定一个具有连续导数的函数，满足，且（）设函数在的某邻域内具有连续偏导数，且则方程在的某邻域内可惟一确定一个具有连续偏导数的函数，满足，且；空间曲线的切线及法平面（）设的参数方程为，其中都是的可导函数，当时，对应曲线上的定点，不全为零，则在的切向量为，切线方程为法平面方程为（）若的方程为，都是的可导函数，则

5、在的切向量为，切线方程为：法平面方程为：空间曲面的切平面及法线（）隐式方程情形：设曲面的方程为，为上的一点，在的偏导数连续且不全为零，则在的法向量为，切平面方程为：法线方程为：（）显式方程情形：设曲面的方程为，为上的一点，在处有连续偏导数，则在的法向量为切平面方程为：法线方程为：极值设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内不同于的任意点，总有，则称为函数的一个极大值（或极小值），点称为极大值点（或极小值点）极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点驻点使的点称为函数的驻点极值的必要条件设函数在点处的两个偏导数存在，且在点处取得极值，则极值的充分条件设函数在点的某邻域内有连续的一阶

6、和二阶偏导数，为函数的驻点，令，（1）若，则点是的极值点，且当时，点为极大值点，当时，点为极小值点；（2）若，则点不是的极值点；（3）若， 可能是的极值点，也可能不是的极值点函数的最大值与最小值在实际问题中，根据问题的实际意义，可以判断函数在区域上存在最大值或最小值，且一定在区域的内部取得，而区域内仅有一个驻点，则函数必在该驻点处取得最大值或最小值二、常考题型1.多元复合函数的定义域例1.函数的定义域是_2.求二元函数极限例2 求极限1） 2）； 3）、4） 3.证明极限不存在例3 证明下列极限不存在（1） （2）4. 求偏导数及全微分例4 求下列函数的偏导数（1）；（2）（3）；（4）；例5

7、 求下列函数的全微分（1）；（2）；（3）；例6 求下列函数的偏导数1） 设，求 2），求3）讨论函数在点处的可导性，连续性与可微性例7 1）求的二阶偏导数。 2）证明函数满足方程：例8设，求。例9（多元复合函数求导）1），其中，求2），其中，求3），其中，求4），其中，求例10（外层函数是抽象函数的多元复合函数求导）1），求2）设，其中具有二阶连续导数，求例11（隐函数求导）1）求由方程确定的函数的导数：2）求由方程确定的函数的偏导数；3）设，其中由方程确定，求4）设是由方程确定，求5）设 ，求.5.微分法在几何上的应用例11 1）求空间曲线上相应于处的切线及法平面方程2）求曲线在点处的切线

8、与法平面方程3）求曲面在(2,1,0)处的切平面及法线方程4）求曲面平行于平面的切平面方程.6.求极值 例12 1）求函数的极值 2）在平面上求一点，使它到三直线的距离的平方和最小 3）将正数12分成三个正数之和 使得为最大. 4）求函数在圆上的最大值与最小值.7.方向导数及梯度例13 求 在的梯度及沿方向的方向导数.答案：例1. 解：，所以例2.解：1） 2）3）因为，且 ，由夹逼法则知，4）例3.解：(1)因为，所以不存在（2）因为，所以不存在例4.解:（1），(2) ，（3），（4），例5.解：（1）（2）为求，方程两边取对数，得，两边对求导，得，所以（3），例6.解：1），2）因为，所

9、以3）因为，所以在处两个偏导数都存在又，故在处的极限不存在，从而在处不连续(法一）而当时，上式极限不存在，因而不是的高阶无穷小，故在处不可微(法二) 因为在处不连续，故在处不可微例7解：1）2）证，例8 解：，例9 1）2）3） 4）例10 解：1）设，则，2），例11 解：1）设，则，从而2）设，则，从而3）方程两边对求导，,得故4）设，则，5）解 方程组两端对求导，得即则 ，.同样方程组两端对求导，得, 例11解（1），切向量为，切点为，切线方程为法平面方程为，即2）故切向量T=1, ,=1,0,-1切线方程为，法平面方程为，即（3）设，则，法向量为1,2,0，切平面方程为，即法线方程为4）解 令 ，曲面在点处的法向量为，已知平面的法向量为，而切平面与已知平面平行，所以，从而有， （1）又因为点在切面上，应满足曲面方程 （2）(1)、（2）联立解得切点为及，所以所求切平面方程为： ，或 .例12解1）令，解之得驻点，所以函数在取得极小值2）解设所求点的坐标为，它到三直线的距离的平方和为，则，令 ，解之得