世纪金榜·2016高考物理一轮配套：选修3-41机械振动

1、选修3-4第一章机械振动机械波第1讲机 械 振 动考纲考纲考情考情三年三年1010考高考指数：考高考指数：1.1.简谐运动简谐运动2.2.简谐运动的公式和图像简谐运动的公式和图像3.3.单摆、周期公式单摆、周期公式4.4.受迫振动和共振受迫振动和共振5.5.实验：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度实验：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度【知识梳理】【知识梳理】知识点知识点1 1 简谐运动简谐运动1.1.简谐运动的规律：质点的位移与简谐运动的规律：质点的位移与时间的关系遵从时间的关系遵从_的规律的规律, ,即它的振动图像即它的振动图像(x-t(x-t图像图像) )是一条是一条_。2.2.平衡

2、位置：物体在振动过程中平衡位置：物体在振动过程中_为零的位置为零的位置。正弦函数正弦函数正弦曲线正弦曲线回复力回复力3.3.回复力：回复力：(1)(1)定义：使物体返回到定义：使物体返回到_的力。的力。(2)(2)方向：总是指向方向：总是指向_。(3)(3)来源：属于来源：属于_力力, ,可以是某一个力可以是某一个力, ,也可以是几个力的合力或某也可以是几个力的合力或某个力的分力。个力的分力。平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置效果效果4.4.描述简谐运动的物理量：描述简谐运动的物理量：物理量物理量定义定义意义意义位移位移由由_指向质点指向质点_的有向线段的有向线段描述质点振动中某时刻的位置描述质

3、点振动中某时刻的位置相对于相对于_的位移的位移振幅振幅振动物体离开平衡位置的振动物体离开平衡位置的_描述振动的描述振动的_和能量和能量周期周期振动物体完成一次振动物体完成一次_所需时间所需时间描述振动的描述振动的_,_,两者互为倒两者互为倒数：数：T=T=_频率频率振动物体振动物体_内完成内完成全振动的次数全振动的次数相位相位t+t+描述周期性运动在各个时刻所描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态处的不同状态平衡位置平衡位置所在位置所在位置平衡位置平衡位置最大距离最大距离强弱强弱全振动全振动单位时间单位时间快慢快慢1f知识点知识点2 2 简谐运动的公式和图像简谐运动的公式和图像1.1.表达式：

4、表达式：(1)(1)动力学表达式动力学表达式：F=_,F=_,其中其中“-”-”表示回复力与位移的方向相反。表示回复力与位移的方向相反。(2)(2)运动学表达式：运动学表达式：x= _,x= _,其中其中A A代表振幅代表振幅,=2f,=2f表示简表示简谐运动的快慢谐运动的快慢,(t+,(t+) )代表简谐运动的相位代表简谐运动的相位, , 叫作初相。叫作初相。-kx-kxAsin(t+Asin(t+) )2.2.图像：图像：(1)(1)从平衡位置开始计时从平衡位置开始计时, ,函数表达式为函数表达式为x=_,x=_,图像如图甲图像如图甲所示。所示。(2)(2)从最大位移处开始计时从最大位移处

5、开始计时, ,函数表达式为函数表达式为x=_,x=_,图像如图乙图像如图乙所示。所示。AsintAsintAcostAcost知识点知识点3 3 单摆、周期公式单摆、周期公式简谐运动的两种模型：简谐运动的两种模型：模型模型弹簧振子弹簧振子单摆单摆示意图示意图简谐运简谐运动条件动条件(1)(1)弹簧质量可忽略弹簧质量可忽略(2)(2)无摩擦等无摩擦等_(3)(3)在弹簧弹性限度在弹簧弹性限度内内(1)(1)摆线为不可伸缩的轻细线摆线为不可伸缩的轻细线(2)(2)无空气阻力无空气阻力(3)(3)最大摆角最大摆角_回复力回复力弹簧的弹簧的_提供提供摆球摆球_沿圆弧切线方向的分力沿圆弧切线方向的分力阻

6、力阻力很小很小弹力弹力重力重力模型模型弹簧振子弹簧振子单摆单摆平衡位置平衡位置弹簧处于弹簧处于_处处_点点周期周期与与_无关无关 T= T=能量转化能量转化_与与_的的相互转化相互转化, ,机械能守机械能守恒恒 _与与_的相的相互转化互转化, ,机械能守恒机械能守恒 原长原长最低最低振幅振幅2gl弹性势能弹性势能动能动能重力势能重力势能动能动能知识点知识点4 4 受迫振动和共振受迫振动和共振1.1.三种振动形式的比较：三种振动形式的比较：振动类型振动类型比较项目比较项目自由振动自由振动受迫振动受迫振动共振共振受力情况受力情况仅受回复力仅受回复力周期性周期性_作用作用周期性周期性_ _ 作作用用

7、振动周期振动周期或频率或频率由系统由系统_决定决定, ,即固有周期即固有周期或固有频率或固有频率由驱动力的周期由驱动力的周期或频率决定或频率决定, ,即即T= T= _或或= _= _T T驱驱=_=_或或 驱驱=_=_振动能量振动能量振动物体的机械振动物体的机械能能_由产生驱动力的由产生驱动力的物体提供物体提供振动物体获得的能振动物体获得的能量量_驱动力驱动力驱动力驱动力本身性质本身性质T T驱驱 驱驱T T0 0 0 0不变不变最大最大2.2.受迫振动中系统能量的变化：受迫振动系统机械能受迫振动中系统能量的变化：受迫振动系统机械能_,_,系系统与外界时刻进行能量交换。统与外界时刻进行能量交

8、换。不守恒不守恒【思维诊断】【思维诊断】(1)(1)简谐运动是匀变速运动。简谐运动是匀变速运动。( () )(2)(2)振幅等于振子运动轨迹的长度。振幅等于振子运动轨迹的长度。( () )(3)(3)简谐运动的回复力肯定不是恒力。简谐运动的回复力肯定不是恒力。( () )(4)(4)弹簧振子每次经过平衡位置时弹簧振子每次经过平衡位置时, ,位移为零、动能为零。位移为零、动能为零。( () )(5)(5)单摆无论摆角多大都是简谐运动。单摆无论摆角多大都是简谐运动。( () )(6)(6)物体做受迫振动时物体做受迫振动时, ,其振动频率与固有频率无关。其振动频率与固有频率无关。( () )(7)(

9、7)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。( () )提示：提示：(1)(1)。简谐运动的速度、加速度都在变化。简谐运动的速度、加速度都在变化, ,是非匀变速运动。是非匀变速运动。(2)(2)。振幅是振子离开平衡位置的最大距离。振幅是振子离开平衡位置的最大距离。(3)(3)。回复力。回复力F=-kxF=-kx是变力。是变力。(4)(4)。弹簧振子每次经过平衡位置时。弹簧振子每次经过平衡位置时, ,位移为零位移为零, ,动能最大。动能最大。(5)(5)。单摆的运动只有在摆角很小时才是简谐运动。单摆的运动只有在摆角很小时才是简谐运动。(6)(6)。物体做受迫振

10、动时。物体做受迫振动时, ,其振动频率等于驱动力的频率其振动频率等于驱动力的频率, ,与固有频与固有频率无关。率无关。(7)(7)。简谐运动的图像描述的是振动质点各个时刻偏离平衡位置的。简谐运动的图像描述的是振动质点各个时刻偏离平衡位置的位移。位移。【小题快练】【小题快练】1.1.在简谐运动中在简谐运动中, ,振子每次经过同一位置时振子每次经过同一位置时, ,下列各组描述振动的物理下列各组描述振动的物理量总是相同的是量总是相同的是( () )A.A.速度、加速度、动能速度、加速度、动能B.B.动能、回复力、位移动能、回复力、位移C.C.加速度、速度、势能加速度、速度、势能D.D.速度、动能速度

11、、动能, ,回复力回复力【解析】【解析】选选B B。通过对简谐运动过程的分析可知。通过对简谐运动过程的分析可知, ,在同一位置在同一位置, ,位移、位移、加速度、回复力、动能、势能一定相同加速度、回复力、动能、势能一定相同, ,由于通过同一位置具有往复由于通过同一位置具有往复性性, ,所以速度方向可能相同所以速度方向可能相同, ,也可能相反也可能相反, ,故选项故选项B B正确。正确。2.2.下列说法正确的是下列说法正确的是( () )A.A.一弹簧连接一物体沿水平方向做简谐运动一弹簧连接一物体沿水平方向做简谐运动, ,则该物体做的是匀变速则该物体做的是匀变速直线运动直线运动B.B.若单摆的摆

12、长不变若单摆的摆长不变, ,摆球的质量增加为原来的摆球的质量增加为原来的4 4倍倍, ,摆球经过平衡位摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的置时的速度减小为原来的 , ,则单摆振动的频率将不变则单摆振动的频率将不变, ,振幅变小振幅变小C.C.做简谐运动的物体做简谐运动的物体, ,当它每次经过同一位置时当它每次经过同一位置时, ,速度一定相同速度一定相同D.D.单摆在周期性外力作用下做简谐运动单摆在周期性外力作用下做简谐运动, ,则外力的频率越大则外力的频率越大, ,单摆的单摆的振幅越大振幅越大12【解析】【解析】选选B B。做简谐运动的物体所受的合力随时间做周期性变化。做简谐运动的物体所受的合

13、力随时间做周期性变化, ,故故物体做的是非匀变速直线运动物体做的是非匀变速直线运动, ,选项选项A A错误错误; ;由单摆的周期公式由单摆的周期公式T=2T=2可知可知, ,其频率其频率f= ,f= ,与摆长与摆长l和重力加速度和重力加速度g g有关有关, ,因此频率不变因此频率不变, ,由能由能量守恒定律可知量守恒定律可知, ,摆球在平衡位置的动能等于其振幅处的势能摆球在平衡位置的动能等于其振幅处的势能, ,又又 mvmv2 2=mg=mgl(1-cos(1-cos),),即振幅减小即振幅减小, ,选项选项B B正确正确; ;做简谐运动的物体做简谐运动的物体, ,当当它每次经过同一位置时它每

14、次经过同一位置时, ,速度大小相等速度大小相等, ,方向可以不同方向可以不同, ,选项选项C C错误错误; ;当当外力作用的频率等于单摆做简谐运动的固有频率时外力作用的频率等于单摆做简谐运动的固有频率时, ,单摆的振幅最大单摆的振幅最大, ,选项选项D D错误。错误。gl1T123.3.在上海走时准确的摆钟在上海走时准确的摆钟, ,被考察队带到珠穆朗玛峰的顶端被考察队带到珠穆朗玛峰的顶端, ,则这个则这个摆钟摆钟( () )A.A.变慢了变慢了, ,重新校准应减小摆长重新校准应减小摆长B.B.变慢了变慢了, ,重新校准应增大摆长重新校准应增大摆长C.C.变快了变快了, ,重新校准应减小摆长重新

15、校准应减小摆长D.D.变快了变快了, ,重新校准应增大摆长重新校准应增大摆长【解析】【解析】选选A A。从上海到珠穆朗玛峰的顶端。从上海到珠穆朗玛峰的顶端, ,重力加速度随海拔高度的重力加速度随海拔高度的增大而减小增大而减小, ,由由T=2T=2 , ,摆钟的周期变大摆钟的周期变大, ,若保证周期若保证周期T T不变不变, ,需重新需重新校准校准, ,应减小摆长应减小摆长, ,则则A A项正确。项正确。gl4.4.某振动系统的固有频率为某振动系统的固有频率为f f0 0, ,在周期性驱动力的作用下做受迫振在周期性驱动力的作用下做受迫振动动, ,驱动力的频率为驱动力的频率为f f。若驱动力的振幅

16、保持不变。若驱动力的振幅保持不变, ,下列说法正确的下列说法正确的是是( () )A.A.当当ffffff0 0时时, ,该振动系统的振幅随该振动系统的振幅随f f减小而增大减小而增大C.C.该振动系统的振动稳定后该振动系统的振动稳定后, ,振动的频率等于振动的频率等于f f0 0D.D.该振动系统的振动稳定后该振动系统的振动稳定后, ,振动的频率大于振动的频率大于f f【解析】【解析】选选B B。由共振条件及共振曲线可知：驱动力频率。由共振条件及共振曲线可知：驱动力频率f f越接近振动越接近振动系统的固有频率系统的固有频率f f0 0, ,振幅越大振幅越大, ,故知当故知当ffffff0 0

17、时时, ,振幅随振幅随f f的增大而减小的增大而减小, ,随随f f的减小而增大的减小而增大, ,选项选项B B正确正确; ;系统振动稳定时系统振动稳定时, ,振动频率等于驱动力频率振动频率等于驱动力频率f,f,与固有效率与固有效率f f0 0无关无关, ,选项选项C C、D D错误。错误。5.5.一个在一个在y y方向上做简谐运动的物体方向上做简谐运动的物体, ,其振动图像如其振动图像如图所示。下列关于图图所示。下列关于图(1)(1)(4)(4)的判断正确的是的判断正确的是( (选选项中项中v v、F F、a a分别表示物体的速度、受到的回复力分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度和加速度

18、)()() )A.A.图图(1)(1)可作为该物体的可作为该物体的v-tv-t图像图像B.B.图图(2)(2)可作为该物体的可作为该物体的F-tF-t图像图像C.C.图图(3)(3)可作为该物体的可作为该物体的F-tF-t图像图像D.D.图图(4)(4)可作为该物体的可作为该物体的a-ta-t图像图像【解析】【解析】选选C C。因为。因为F=-kx,a=- ,F=-kx,a=- ,故图故图(3)(3)可作为可作为F-tF-t、a-ta-t图像图像; ;而而v v随随x x增大而减小增大而减小, ,故故v-tv-t图像应为图图像应为图(2)(2)。kxm考点考点1 1 简谐运动的五个特征简谐运动

19、的五个特征1.1.动力学特征：动力学特征：F=-kx,“-”F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反表示回复力的方向与位移方向相反,k,k是是比例系数比例系数, ,不一定是弹簧的劲度系数。不一定是弹簧的劲度系数。2.2.运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比, ,而方向相反而方向相反, ,为变加速运动为变加速运动, ,远离平衡位置时远离平衡位置时,x,x、F F、a a、E Ep p均增大均增大,v,v、E Ek k均减小均减小, ,靠近平衡位置时则相反。靠近平衡位置时则相反。3.3.运动的周期性特征：相隔运

20、动的周期性特征：相隔T T或或nTnT的两个时刻振子处于同一位置且振的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。动状态相同。4.4.对称性特征：对称性特征：(1)(1)相隔相隔 (n(n为正整数为正整数) )的两个时刻的两个时刻, ,振子位置关于平衡位置振子位置关于平衡位置对称对称, ,位移、速度、加速度大小相等位移、速度、加速度大小相等, ,方向相反。方向相反。(2)(2)如图所示如图所示, ,振子经过关于平衡位置振子经过关于平衡位置O O对称的两点对称的两点P P、P(OP=OP)P(OP=OP)时时, ,速度的大小、动能、势能相等速度的大小、动能、势能相等, ,相对于平衡位置的位移大小相等

21、。相对于平衡位置的位移大小相等。2n1 TT22或(3)(3)振子由振子由P P到到O O所用时间等于由所用时间等于由O O到到PP所用时间所用时间, ,即即t tPOPO=t=tOPOP。(4)(4)振子往复过程中通过同一段路程振子往复过程中通过同一段路程( (如如OPOP段段) )所用时间相等所用时间相等, ,即即t tOPOP=t=tPOPO。5.5.能量特征：振动的能量包括动能能量特征：振动的能量包括动能E Ek k和势能和势能E Ep p, ,简谐运动过程中简谐运动过程中, ,系统系统动能与势能相互转化动能与势能相互转化, ,系统的机械能守恒。系统的机械能守恒。【典例【典例1 1】

22、(2013(2013新课标全国卷新课标全国卷)如图如图, ,一轻弹簧一端固定一轻弹簧一端固定, ,另一另一端连接一物块构成弹簧振子端连接一物块构成弹簧振子, ,该物块是由该物块是由a a、b b两个小物块粘在一起两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水平面上左右振动组成的。物块在光滑水平面上左右振动, ,振幅振幅为为A A0 0, ,周期为周期为T T0 0。当物。当物块向右通过平衡位置时块向右通过平衡位置时,a,a、b b之间的粘胶脱开之间的粘胶脱开; ;以后小物块以后小物块a a振动的振动的振幅和周期分别为振幅和周期分别为A A和和T,T,则则A AA A0 0( (选填选填“”“”“”“”

23、“”或或“=”)=”)。【解题探究】【解题探究】(1)(1)在平衡位置在平衡位置,a,a、b b分开后分开后, ,剩余部分剩余部分的机械能的机械能_(_(选填选填“增增加加”“”“减小减小”或或“不变不变”) )。(2)(2)弹簧振子的机械能与振幅有什么关系弹簧振子的机械能与振幅有什么关系? ?提示：提示：振幅越大振幅越大, ,机械能越大。机械能越大。减小减小(3)(3)振子从平衡位置到最大位移处的运动过程中振子从平衡位置到最大位移处的运动过程中, ,试画出试画出v-tv-t图像。图像。提示：提示：【解析】【解析】物块以一定的速度通过平衡位置时物块以一定的速度通过平衡位置时, ,质量减小质量减

24、小, ,则振动的动能则振动的动能减小减小, ,也就是系统的机械能减小也就是系统的机械能减小, ,所以能到达的最大位移减小所以能到达的最大位移减小, ,振幅减振幅减小小, ,故故AAAA0 0。由于在这。由于在这 周期内周期内, ,初速度和末速度不变初速度和末速度不变, ,而位移减小了而位移减小了, ,由由v-tv-t图知运动时间图知运动时间 T T减小减小, ,即振动周期减小。即振动周期减小。答案：答案： 1414【总结提升】【总结提升】弹簧振子的能量及周期弹簧振子的能量及周期(1)(1)能量转化：弹簧振子在振动的过程中能量转化：弹簧振子在振动的过程中, ,动能和弹性势能相互转化。动能和弹性势

25、能相互转化。而总量保持不变而总量保持不变, ,在平衡位置时在平衡位置时E E机机=E=Ekmaxkmax,E,Ep p=0;=0;在位移最大的位置时在位移最大的位置时E E机机=E=Epmaxpmax,E,Ek k=0=0。(2)(2)周期的确定：弹簧振子的振动周期周期的确定：弹簧振子的振动周期, ,由振子的本身构造决定由振子的本身构造决定, ,可以可以通过分析实际运动过程或振动图像得到周期的大小。通过分析实际运动过程或振动图像得到周期的大小。【变式训练】【变式训练】(2014(2014重庆高考重庆高考) )一竖直悬挂的弹簧振子一竖直悬挂的弹簧振子, ,下端装有一下端装有一记录笔记录笔, ,在

26、竖直面先放置有一记录纸。当振子上下振动时在竖直面先放置有一记录纸。当振子上下振动时, ,以速率以速率v v水水平向左匀速拉动记录纸平向左匀速拉动记录纸, ,记录笔在纸上留下如图所示的图像记录笔在纸上留下如图所示的图像,y,y1 1、y y2 2、x x0 0、2x2x0 0为纸上印迹的位置坐标。由此图求振动的周期和振幅。为纸上印迹的位置坐标。由此图求振动的周期和振幅。【解析】【解析】设振动的周期为设振动的周期为T,T,由题意可得：在振子振动的一个周期内由题意可得：在振子振动的一个周期内, ,纸带发生的位移大小为纸带发生的位移大小为2x2x0 0, ,故故T= T= 。设振动的振幅为。设振动的振

27、幅为A,A,则有：则有：2A=y2A=y1 1-y-y2 2, ,故故A= A= 。答案：答案：02xv12yy212yy202xv【加固训练】【加固训练】如图所示如图所示, ,弹簧下面挂一质量为弹簧下面挂一质量为m m的物体的物体, ,物体在竖直方物体在竖直方向上做振幅为向上做振幅为A A的简谐运动的简谐运动, ,当物体振动到最高点时当物体振动到最高点时, ,弹簧正好为原长弹簧正好为原长, ,弹簧在弹性限度内弹簧在弹性限度内, ,则物体在振动过程中则物体在振动过程中( () )A.A.弹簧的最大弹性势能等于弹簧的最大弹性势能等于2mgA2mgAB.B.弹簧的弹性势能和物体动能总和不变弹簧的弹

28、性势能和物体动能总和不变C.C.物体在最低点时的加速度大小应为物体在最低点时的加速度大小应为2g2gD.D.物体在最低点时的弹力大小应为物体在最低点时的弹力大小应为mgmg【解析】【解析】选选A A。物体平衡时满足。物体平衡时满足mg=kAmg=kA。最低点与最高点相距。最低点与最高点相距2A,2A,最低最低点弹簧的弹性势能最大点弹簧的弹性势能最大, ,等于减少的重力势能等于减少的重力势能,A,A正确正确; ;弹簧、物体、地弹簧、物体、地球组成的系统机械能守恒球组成的系统机械能守恒, ,则弹簧的弹性势能、物体的动能、物体的则弹簧的弹性势能、物体的动能、物体的重力势能总和不变重力势能总和不变,B

29、,B错误错误; ;最高点回复力为最高点回复力为F F回回=mg,=mg,由对称性知最低点由对称性知最低点F F回回=mg,=mg,最低点最低点F F回回=F=F弹弹-mg,-mg,故故F F弹弹=2mg,D=2mg,D错误错误; ;最低点最低点F F合合=F=F回回=mg,=mg,根据牛根据牛顿第二定律知顿第二定律知F F合合=ma,=ma,故故a=g,Ca=g,C错误。错误。考点考点2 2 简谐运动的公式和图像简谐运动的公式和图像1.1.对简谐运动图像的认识：对简谐运动图像的认识：(1)(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线, ,如图所示。如图所示。(2)

30、(2)图像反映的是位移随时间的变化规律图像反映的是位移随时间的变化规律, ,随时间的增加而延伸随时间的增加而延伸, ,图像图像不代表质点运动的轨迹。不代表质点运动的轨迹。2.2.图像信息：图像信息：(1)(1)由图像可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率。由图像可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率。(2)(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。(3)(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置平衡位置, ,故回复力和加速度在图像上总是指向故回复力和加速度在图像上总是

31、指向t t轴。轴。(4)(4)确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定的变化来判定, ,下一时刻位移如增加下一时刻位移如增加, ,振动质点的速度方向就是远离振动质点的速度方向就是远离t t轴轴, ,下一时刻位移如减小下一时刻位移如减小, ,振动质点的速度方向就是指向振动质点的速度方向就是指向t t轴。轴。(5)(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。比较不同时刻回复力、加速度的大小。(6)(6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小。比较不同时刻质点的动能、势能的大小。 【典例【典例2 2】(2014(2014上海

32、高考上海高考) )质点做简谐运动质点做简谐运动, ,其其x-tx-t关系如图。以关系如图。以x x轴轴正向为速度正向为速度v v的正方向的正方向, ,该质点的该质点的v-tv-t关系是关系是( () )【解题探究】【解题探究】(1)(1)该题中速度该题中速度v v的正向是怎样规定的的正向是怎样规定的? ?提示：提示：x x轴正向即轴正向即v v的正向。的正向。(2)x(2)x最大时最大时, ,速度的速度的大小是大小是_,x=0_,x=0时时, ,速度速度_。(3)(3)在在0 0 T T内内,v,v是正向的是正向的, ,还是负向的还是负向的? ?是增大是增大, ,还是减小还是减小? ?提示：提

33、示：负向的增大。负向的增大。 零零最大最大14【解析】【解析】选选B B。在。在t=0t=0时刻时刻, ,质点的位移最大质点的位移最大, ,速度为速度为0,0,则下一时刻质点则下一时刻质点应向下运动应向下运动, ,故选项故选项A A、C C错误错误; ;在在t= t= 时刻时刻, ,质点的位移为质点的位移为0,0,速率最速率最大大, ,故选项故选项B B正确正确, ,选项选项D D错误。错误。14【总结提升】【总结提升】简谐运动图像问题的两种分析方法简谐运动图像问题的两种分析方法方法一：图像方法一：图像运动结合法运动结合法解此类题时解此类题时, ,首先要理解首先要理解x-tx-t图像的意义图像

34、的意义, ,其次要把其次要把x-tx-t图像与质点的实图像与质点的实际振动过程联系起来。图像上的一个点表示振动中的一个状态际振动过程联系起来。图像上的一个点表示振动中的一个状态( (位置、位置、振动方向等振动方向等),),图像上的一段曲线对应振动的一个过程图像上的一段曲线对应振动的一个过程, ,关键是判断好关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。平衡位置、最大位移及振动方向。方法二：直观结论法方法二：直观结论法简谐运动的图像表示振动质点的位移随时间变化的规律简谐运动的图像表示振动质点的位移随时间变化的规律, ,即位移即位移时时间的函数关系图像间的函数关系图像, ,不是物体的运动轨迹。从振动图

35、像上可以获取以不是物体的运动轨迹。从振动图像上可以获取以下信息：下信息：(1)(1)可直接读取振幅可直接读取振幅A A、周期、周期T(T(两个相邻正向最大位移之间的时间间隔两个相邻正向最大位移之间的时间间隔或两个相邻负向最大位移之间的时间间隔或两个相邻负向最大位移之间的时间间隔) )以及质点在任意时刻相对以及质点在任意时刻相对平衡位置的位移平衡位置的位移x x。也可以知道开始计时时。也可以知道开始计时时(t=0)(t=0)振动质点的位置。振动质点的位置。(2)(2)由振动图像可以判定质点在任意时刻的回复力方向和加速度方向由振动图像可以判定质点在任意时刻的回复力方向和加速度方向, ,二者都指向时

36、间轴。二者都指向时间轴。(3)(3)可以判断某段时间内振动质点的位移、回复力、加速度、速度、可以判断某段时间内振动质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。若某段时间内质点的振动速度指向平衡位置动能、势能的变化情况。若某段时间内质点的振动速度指向平衡位置, ,则质点的速度、动能均变大则质点的速度、动能均变大, ,位移、回复力、加速度、势能均变小位移、回复力、加速度、势能均变小; ;反反之之, ,则相反。凡是图像上与时间轴距离相等的点则相反。凡是图像上与时间轴距离相等的点, ,振动质点具有相同的振动质点具有相同的动能和势能。动能和势能。(4)(4)可以知道质点在任意时刻的速度方向。

37、该点的斜率为正值时速度可以知道质点在任意时刻的速度方向。该点的斜率为正值时速度方向为正方向为正, ,该点的斜率为负值时速度方向为负。该点的斜率为负值时速度方向为负。 【变式训练】【变式训练】一个弹簧振子沿一个弹簧振子沿x x轴做简谐运动轴做简谐运动, ,取平衡位置取平衡位置O O为为x x轴坐标轴坐标原点。从某时刻开始计时原点。从某时刻开始计时, ,经过四分之一周期经过四分之一周期, ,振子具有沿振子具有沿x x轴正方向轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移的最大加速度。能正确反映振子位移x x与时间与时间t t关系的图像是关系的图像是( () )【解析】【解析】选选A A。简谐运动加速度与

38、位移的关系为。简谐运动加速度与位移的关系为 , ,可见加速度可见加速度与位移成正比与位移成正比, ,但是方向相反但是方向相反, ,因为经过四分之一周期因为经过四分之一周期, ,振子具有正方振子具有正方向的最大加速度向的最大加速度, ,所以经过四分之一周期所以经过四分之一周期, ,就应该具有负方向最大位就应该具有负方向最大位移移, ,所以所以A A正确。正确。kxam 【加固训练】【加固训练】装有砂粒的试管竖直静浮于水面装有砂粒的试管竖直静浮于水面, ,如图所示如图所示, ,将试管竖直提起少许将试管竖直提起少许, ,然后由静止释然后由静止释放并开始计时放并开始计时, ,在一定时间内试管在竖直方向

39、近在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向似做简谐运动。若取竖直向上为正方向, ,则以下则以下描述试管振动的图像中可能正确的是描述试管振动的图像中可能正确的是( () )【解析】【解析】选选D D。试管的振动是简谐运动。试管的振动是简谐运动, ,试管静止不动时浮力等于重力试管静止不动时浮力等于重力, ,合外力等于零。因此合外力等于零。因此, ,试管静止不动时的位置就是振动起来之后的平试管静止不动时的位置就是振动起来之后的平衡位置。因为开始振动时试管的位移方向向上且为最大位移衡位置。因为开始振动时试管的位移方向向上且为最大位移, ,因此因此, ,选选项项D D正确。正确。考

40、点考点3 3 类单摆模型的应用类单摆模型的应用1.1.类单摆模型意义：类单摆模型意义：(1)(1)有些情况下有些情况下, ,单摆处在并非只有重力场的环境中单摆处在并非只有重力场的环境中, ,即为类单摆即为类单摆, ,则则T=2 T=2 中中, ,l为等效摆长为等效摆长,g,g为等效重力加速度。为等效重力加速度。gl如图所示如图所示, , 为竖直面内的光滑圆弧为竖直面内的光滑圆弧, ,且且 R,R,当小球在当小球在 间运动间运动时时, ,其运动为类单摆运动其运动为类单摆运动, ,等效摆长为等效摆长为R R。(2)(2)等效重力加速度。等效重力加速度。对于不同星球表面对于不同星球表面, ,则则g=

41、g=单摆处于超重或失重状态时单摆处于超重或失重状态时, ,则则g=gg=g0 0a a。BCBCBC2GMr。2.2.类单摆问题的解题方法：类单摆问题的解题方法：(1)(1)确认符合单摆模型的条件确认符合单摆模型的条件, ,即：小球沿光滑圆弧运动即：小球沿光滑圆弧运动, ,小球受场小球受场力、轨道支持力力、轨道支持力, ,此支持力类似单摆中的摆线拉力此支持力类似单摆中的摆线拉力, ,故此装置可称为故此装置可称为“类单摆类单摆”。(2)(2)寻找等效摆长寻找等效摆长l及等效加速度及等效加速度g,g,最后利用公式最后利用公式T=2 T=2 或简谐运或简谐运动规律分析求解问题。动规律分析求解问题。g

42、l【典例【典例3 3】如图所示如图所示, ,在水平地面上有一段光滑圆弧形槽在水平地面上有一段光滑圆弧形槽, ,弧的半径是弧的半径是R,R,所对圆心角小于所对圆心角小于1010, ,现在圆弧的右侧边缘现在圆弧的右侧边缘M M处放一个小球处放一个小球A,A,使其由静使其由静止下滑止下滑, ,则：则：(1)(1)小球由小球由M M至至O O的过程中所需时间的过程中所需时间t t为多少为多少? ?在此过程中能量如何转化在此过程中能量如何转化( (定性说明定性说明)?)?(2)(2)若在若在MNMN圆弧上存在两点圆弧上存在两点P P、Q,Q,且且P P、Q Q关于关于O O对称对称, ,且已测得小球且已

43、测得小球A A由由P P到达到达Q Q所需时间为所需时间为t,t,则小球由则小球由Q Q至至N N的最短时间为多少的最短时间为多少? ?【破题关键】【破题关键】关键信息关键信息思考方向思考方向光滑圆弧槽所对圆心角小于光滑圆弧槽所对圆心角小于1010类单摆模型类单摆模型P P、Q Q关于关于O O对称对称t tOQOQ= = tt12【解析】【解析】(1)(1)由单摆周期公式由单摆周期公式T=2T=2 知：知：小球小球A A的运动周期的运动周期T=2 ,T=2 ,所以所以t tMOMO= ,= ,在由在由MOMO的过程中小球的过程中小球A A的重力势能转化的重力势能转化为动能。为动能。(2)(2

44、)由对称性可知由对称性可知t tOQOQ= t,t= t,tOQOQ+t+tQNQN= T,= T,代入数据解得代入数据解得Q Q至至N N的最短时间的最短时间t tQNQN= =glRg1RT42g1214R1t2g2 。答案：答案：(1) (1) 重力势能转化为动能重力势能转化为动能(2)(2)R2gR1t2g2【易错提醒】【易错提醒】(1)(1)圆弧所对圆心角小于圆弧所对圆心角小于1010, ,即类单摆的最大即类单摆的最大“摆角摆角”小于小于5 5, ,易误认为摆角过大易误认为摆角过大, ,不符合简谐摆动。不符合简谐摆动。(2)M(2)M至至O O的时间的时间t t为周期为周期T T的的

45、 , ,并非并非 。 14T2【变式【变式1+11+1】1.(1.(拓展延伸拓展延伸) )若在圆弧的最低点若在圆弧的最低点O O的正上方的正上方h h处由静止释放小球处由静止释放小球B,B,让其让其自由下落自由下落, ,同时同时A A球从圆弧左侧由静止释放球从圆弧左侧由静止释放, ,欲使欲使A A、B B两球在圆弧最低两球在圆弧最低点点O O处相遇处相遇, ,则则B B球下落的高度球下落的高度h h是多少是多少? ?【解析】【解析】欲使球欲使球A A、B B相遇相遇, ,则两球运动时间相同则两球运动时间相同, ,且必须同时到达且必须同时到达O O点点,A,A球能到球能到O O点的时间可以是点的

46、时间可以是 所以所以A A球运动的时间必为球运动的时间必为 T T的奇数倍的奇数倍, ,即即 所以所以h= ,h= ,(n=0,1,2,3(n=0,1,2,3) )。答案：答案： ,(n=0,1,2,3,(n=0,1,2,3) )135TTT444、142hRt2n1g2g，222n1R8222n1R82.(2.(多选多选) )如图所示如图所示, ,长度为长度为l的轻绳上端固定在的轻绳上端固定在O O点点, ,下端下端系一小球系一小球( (小球可以看成质点小球可以看成质点) )。在。在O O点正下方点正下方, ,距距O O点点 处处的的P P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点点固定一颗小钉子。现

47、将小球拉到点A A处处, ,轻绳被拉轻绳被拉直直, ,然后由静止释放小球。点然后由静止释放小球。点B B是小球运动的最低位置是小球运动的最低位置, ,点点C(C(图中未标出图中未标出) )是小球能够到达的左方最高位置。已知点是小球能够到达的左方最高位置。已知点A A与点与点B B之之间的高度差为间的高度差为h,hh,hl。A A、B B、P P、O O在同一竖直平面内。当地的重力加在同一竖直平面内。当地的重力加速度为速度为g,g,不计空气阻力。下列说法正确的是不计空气阻力。下列说法正确的是( () )34lA.A.点点C C与点与点B B高度差小于高度差小于h hB.B.点点C C与点与点B

48、B高度差等于高度差等于h hC.C.小球摆动的周期等于小球摆动的周期等于D.D.小球摆动的周期等于小球摆动的周期等于32gl34gl【解析】【解析】选选B B、C C。由机械能守恒定律可知。由机械能守恒定律可知, ,点点C C与点与点B B高度差等于高度差等于h,h,选项选项A A错误错误,B,B正确正确; ;由单摆周期公式可知由单摆周期公式可知, ,小球摆动的周期等于小球摆动的周期等于 选项选项D D错误错误,C,C正确。正确。134gg2g，lll考点考点4 4 探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度1.1.实验原理：由单摆的周期公式实验原理：由单摆的周期

49、公式T=2 ,T=2 ,可得出可得出 测出测出单摆的摆长单摆的摆长l和振动周期和振动周期T,T,就可求出当地的重力加速度就可求出当地的重力加速度g g。2.2.实验器材：单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。实验器材：单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。gl224gT，l3.3.实验步骤：实验步骤：(1)(1)做单摆：取约做单摆：取约1m1m长的细丝线穿过带中心孔的小钢球长的细丝线穿过带中心孔的小钢球, ,并打一个比小并打一个比小孔大一些的结孔大一些的结, ,然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上, ,让摆球自然让摆球自然下垂下垂, ,如图所示。如图所示。(2)(2

50、)测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长L(L(精确到毫米精确到毫米),),用游标卡尺测用游标卡尺测出小球直径出小球直径D,D,则单摆的摆长则单摆的摆长l=L+ =L+ 。(3)(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度( (小于小于5 5),),然后释放小然后释放小球球, ,记下单摆摆动记下单摆摆动30305050次的总时间次的总时间, ,算出平均每摆动一次的时间算出平均每摆动一次的时间, ,即即为单摆的振动周期。为单摆的振动周期。(4)(4)改变摆长改变摆长, ,重做几次实验。重做几次实验。D2(5)(5)数据处理的两种方法：数据处

51、理的两种方法：方法一：计算法。方法一：计算法。根据公式根据公式 将测得的几次周期将测得的几次周期T T和摆长和摆长l代入公式代入公式 中算出重力加速度中算出重力加速度g g的值的值, ,再算出再算出g g的平均值的平均值, ,即为当地的即为当地的重力加速度的值。重力加速度的值。 224T2,ggT 。ll224gTl方法二：图像法。方法二：图像法。由单摆的周期公式由单摆的周期公式 可得可得 因此以摆长因此以摆长l为纵轴为纵轴, ,以以T T2 2为为横轴作出的横轴作出的l -T -T2 2图像是一条过原点的直线图像是一条过原点的直线, ,如图所示如图所示, ,求出图线的斜求出图线的斜率率k,k

52、,即可求出即可求出g g值。值。g=4g=42 2k, k, T2g l22gT4，l22kTT。ll4.4.注意事项：注意事项：(1)(1)悬线顶端不能晃动悬线顶端不能晃动, ,需用夹子夹住需用夹子夹住, ,保证悬点固定。保证悬点固定。(2)(2)单摆必须在同一平面内振动单摆必须在同一平面内振动, ,且偏角小于且偏角小于5 5。(3)(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时, ,并数准全振动的次数。并数准全振动的次数。(4)(4)小球自然下垂时小球自然下垂时, ,用毫米刻度尺量出悬线长用毫米刻度尺量出悬线长L,L,用游标卡尺测量小球用游标卡尺测量小球的直径的

53、直径, ,然后算出摆球的半径然后算出摆球的半径r,r,则摆长则摆长l=L+r=L+r。(5)(5)选用一米左右的细线。选用一米左右的细线。【典例【典例4 4】(2013(2013安徽高考安徽高考) )根据单摆周期公式根据单摆周期公式T=2 ,T=2 ,可以通过可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示实验测量当地的重力加速度。如图甲所示, ,将细线的上端固定在铁架将细线的上端固定在铁架台上台上, ,下端系一小钢球下端系一小钢球, ,就做成了单摆。就做成了单摆。gl(1)(1)用游标卡尺测量小钢球直径用游标卡尺测量小钢球直径, ,示数如图乙所示示数如图乙所示, ,读数为读数为mmmm。(2)(

54、2)以下是实验过程中的一些做法以下是实验过程中的一些做法, ,其中正确的有其中正确的有。a.a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的摆线要选择细些的、伸缩性小些的, ,并且尽可能长一些并且尽可能长一些b.b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的摆球尽量选择质量大些、体积小些的c.c.为了使摆的周期大一些为了使摆的周期大一些, ,以方便测量以方便测量, ,开始时拉开摆球开始时拉开摆球, ,使摆线相距使摆线相距平衡位置有较大的角度平衡位置有较大的角度d.d.拉开摆球拉开摆球, ,使摆线偏离平衡位置不大于使摆线偏离平衡位置不大于5 5, ,在释放摆球的同时开始在释放摆球的同时开始计时计时, ,当摆球回到开始位

55、置时停止计时当摆球回到开始位置时停止计时, ,此时间间隔此时间间隔tt即为单摆周期即为单摆周期T Te.e.拉开摆球拉开摆球, ,使摆线偏离平衡位置不大于使摆线偏离平衡位置不大于5 5, ,释放摆球释放摆球, ,当摆球振动稳当摆球振动稳定后定后, ,从平衡位置开始计时从平衡位置开始计时, ,记下摆球做记下摆球做5050次全振动所用的时间次全振动所用的时间t,t,则则单摆周期单摆周期tT50【解题探究】【解题探究】(1)(1)游标卡尺的读数公式怎样表示游标卡尺的读数公式怎样表示? ?提示：提示：读数读数L=LL=L0 0+kn,+kn,其中其中L L0 0为主尺上的整毫米数为主尺上的整毫米数,k

56、,k为精确度为精确度,n,n为与主为与主尺对齐的游标尺上的刻度线数。尺对齐的游标尺上的刻度线数。(2)(2)单摆的摆角和计时有什么要求单摆的摆角和计时有什么要求? ?提示：提示：单摆的摆角应不大于单摆的摆角应不大于5 5, ,要从摆球经过最低点时开始计时。要从摆球经过最低点时开始计时。【解析】【解析】(1)(18+6(1)(18+60.1)mm=18.6 mm0.1)mm=18.6 mm。(2)(2)摆线要选择细些的、伸缩性小些的摆线要选择细些的、伸缩性小些的, ,并且尽可能长一些并且尽可能长一些, ,摆球尽量摆球尽量选择质量大些、体积小些的选择质量大些、体积小些的, ,都是为了更加符合单摆的

57、构成条件都是为了更加符合单摆的构成条件, ,故故a a、b b是正确的是正确的; ;摆线相距平衡位置的角度摆线相距平衡位置的角度, ,以不大于以不大于5 5为宜为宜, ,故故c c是错是错误的误的; ;拉开摆球拉开摆球, ,使摆线偏离平衡位置不大于使摆线偏离平衡位置不大于5 5, ,释放摆球释放摆球, ,当摆球振当摆球振动稳定后动稳定后, ,从平衡位置开始计时从平衡位置开始计时, ,记下摆球做记下摆球做5050次全振动所用的时间次全振动所用的时间t,t,则单摆周期则单摆周期 , ,故故d d错错,e,e对。对。答案：答案：(1)18.6(1)18.6(2)a(2)a、b b、e etT50【总

58、结提升】【总结提升】游标卡尺的读数技巧游标卡尺的读数技巧(1)(1)对三种游标卡尺的原理和精度做到准确理解并熟练掌握对三种游标卡尺的原理和精度做到准确理解并熟练掌握, ,见表：见表：游标尺游标尺(mm)(mm)精确度精确度(mm)(mm)刻度格数刻度格数( (格格) )刻度总长度刻度总长度(mm)(mm)每小格与每小格与1 1毫米的毫米的差值差值(mm)(mm)10109 90.10.10.10.1202019190.050.050.050.05505049490.020.020.020.02(2)(2)读数公式：读数读数公式：读数= =主尺上的整毫米数主尺上的整毫米数+ +精确度精确度n(n

59、n(n为游标尺上与主为游标尺上与主尺某一刻度对齐的格数尺某一刻度对齐的格数) )。(3)(3)减少各种失误：如游标尺上的精度分析错误减少各种失误：如游标尺上的精度分析错误; ;把边框线误认为零刻把边框线误认为零刻线线; ;计算失误等。计算失误等。【变式训练】【变式训练】(2014(2014上海高考上海高考) )某小组在做某小组在做“用单摆测定重力加速用单摆测定重力加速度度”实验后实验后, ,为进一步探究为进一步探究, ,将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知资料得知, ,这样做成的这样做成的“复摆复摆”做简谐运动的周期做简谐运动的周期T=2 ,T=2

60、,式中式中I Ic c为由该摆决定的常量为由该摆决定的常量,m,m为摆的质量为摆的质量,g,g为重力加速度为重力加速度,r,r为转轴到为转轴到重心重心C C的距离。如图甲的距离。如图甲, ,实验时在杆上不同位置打上多个小孔实验时在杆上不同位置打上多个小孔, ,将其中将其中一个小孔穿在光滑水平轴一个小孔穿在光滑水平轴O O上上, ,使杆做简谐运动使杆做简谐运动, ,测量并记录测量并记录r r和相应的和相应的运动周期运动周期T;T;然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验, ,实验数据见表实验数据见表, ,并并测得摆的质量测得摆的质量m=0.50kgm=0.50kg。2