初中数学北师大八年级上册（2023年修订） 实数八年级数学上册认识无理数 教案周纹

1、认识无理数 城北中学 周纹教学目标知识与技能1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为无理数；并能说出理由过程与方法1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.情感与价值观1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.教学重点1.让学生经历无理数

2、发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为无理数.教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为无理数.教学方法教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.教学过程一、复习引入师同学们,我们在七年级的时候已经学习了有理数，现在我们来复习下有关概念; （抢答）1.有理数的概念： （1）有理数的概念：_和_统称为有理（2）任何有理数都可以写成_的形式。（3）_和_这两类数都是有理数。2.有理数的分类3.猜谜语像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，永葆常新，数学家称之为一种 特殊的数，诗人赞之为有情人，天长地久有尽时，此数绵

3、绵无绝期。引出课题，并在黑板上板书：认识无理数二、讲授新课1.活动1师请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形，认真讨论之后，动手画一画，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？生好.(学生非常高兴地投入活动中).师经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.师现在我们一齐把大家的做法总结一下：下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？生甲a是正方形的边长，所以a肯定是正数.生乙因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.生丙由a2=2可判断a应是1点几.

4、师大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答.生甲我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.生乙因为，两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.师经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.2.活动2(1)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？b是有理数吗？师请大家先回忆一下勾股定理的内容.生在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=

5、c2.师在这题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？请举手回答.生甲因为22=4，32=9，459，所以b不可能是整数.生乙没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.生丙因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.师同学们， a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？这就是本节课我们要讲的无理数，那无理数具体长什么样的？那我们一起来探讨下！3.活动3师请看图大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.生因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面

6、积大的正方形边长就大.师大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？生因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.师很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1a2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如=，=，=，=，=，而a2=2，故a应比大且比小，可以写成a，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.生因为=，=，所以a应比大且比小，所以百分位上数字为1.生因为=，=，=，=，=，所以a应比大而比小，即千分位上的数字为4.生因为=，=，所以a应比大且比小，即万分位上的数字为2.师大家非常聪明，请

7、一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.生我的探索过程如下.边长a面积S1a21S4aSaSaSaS师还可以继续下去吗？生可以.师请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？生a=，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.师请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.(约4分钟)生b=，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.生边长b不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么.师好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个

8、问题我来回答.如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数.4.无理数的定义5数学文化-无理数的来历（视频播放）师关于无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正

9、视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.6.数系的扩充师同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?生在小学我们学过自然数、小数、分数.生在初一我们还学过负数.师对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，现在增加了无理数，那无理数和有理数缺个家长，这个家长我们就称为实数。我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.三、课堂练习1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ， - ， . ， （相邻两个1之间0的个数逐次加2）.2.为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线