新高考一轮复习苏教版 第7章 第5节 空间向量的运算及空间位置关系的证明 学案

1、 14/14空间向量的运算及空间位置关系的证明考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理1空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行

2、或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底提醒：在利用eq o(MN,sup8()xeq o(AB,sup8()yeq o(AC,sup8()证明MN平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC

3、内3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq o(OA,sup8()a，eq o(OB,sup8()b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0，若a，beq f(,2)，则称a与b互相垂直，记作ab.非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)，R；交换律：abba；分配律：(ab)cacbc.提醒： (ab)ca(bc)不一定成立4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共

4、线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|eq r(aoal(2,1)aoal(2,2)aoal(2,3)夹角余弦值cosa，beq f(ab,|a|b|)(a0，b0)cosa，beq f(a1b1a2b2a3b3,r(aoal(2,1)aoal(2,2)aoal(2,3)r(boal(2,1)boal(2,2)boal(2,3)5.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平

5、面的法向量6空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0eq o(常用结论)证明三点共线和空间四点共面的方法三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq o(PA,sup8()eq o(PB,sup8()且同过点Peq o(MP,sup8()xeq o(MA,sup8()yeq o(MB,sup8()对空间任一点O，eq o(OP,sup8()eq o(OA,sup8()teq o(AB,sup8

6、()对空间任一点O，eq o(OP,sup8()eq o(OM,sup8()xeq o(MA,sup8()yeq o(MB,sup8()对空间任一点O，eq o(OP,sup8()xeq o(OA,sup8()(1x)eq o(OB,sup8()对空间任一点O，eq o(OP,sup8()xeq o(OM,sup8()yeq o(OA,sup8()(1xy)eq o(OB,sup8()一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq o(AB,sup8()eq o(BC,sup8()eq o(CD,sup8()

7、eq o(DA,sup8()0.()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1已知平面，的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则()ABC，相交但不垂直D以上均不对Cn1n2，且n1n2230，相交但不垂直2.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若eq o(AB,sup8()a，eq o(AD,sup8()b，eq o(AA1,sup8()c，则下列向量中与eq o(BM,sup8()相等的向量是()Aeq f(1,2)aeq f(1,2)bc

8、Beq f(1,2)aeq f(1,2)bcCeq f(1,2)aeq f(1,2)bcDeq f(1,2)aeq f(1,2)bcAeq o(BM,sup8()eq o(BB1,sup8()eq o(B1M,sup8()eq o(AA1,sup8()eq f(1,2)(eq o(AD,sup8()eq o(AB,sup8()ceq f(1,2)(ba)eq f(1,2)aeq f(1,2)bc.3O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且eq o(OP,sup8()eq f(3,4)eq o(OA,sup8()eq f(1,8)eq o(OB,sup8()teq o(OC,sup8()，若

9、P，A，B，C四点共面，则实数t_.eq f(1,8)P，A，B，C四点共面，eq f(3,4)eq f(1,8)t1，teq f(1,8).4正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_eq r(2)|eq o(EF,sup8()|2eq o(EF,sup8()2(eq o(EC,sup8()eq o(CD,sup8()eq o(DF,sup8()2eq o(EC,sup8()2eq o(CD,sup8()2eq o(DF,sup8()22(eq o(EC,sup8()eq o(CD,sup8()eq o(EC,sup8()eq o(DF,sup8()eq o(C

10、D,sup8()eq o(DF,sup8()1222122(12cos 120021cos 120)2，所以|eq o(EF,sup8()|eq r(2)，所以EF的长为eq r(2). 考点一空间向量的线性运算1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且eq o(MG,sup8()2eq o(GN,sup8()，若eq o(OG,sup8()xeq o(OA,sup8()yeq o(OB,sup8()zeq o(OC,sup8()，则xyz_.eq f(5,6)连接ON，设eq o(OA,sup8()a，eq o(OB,sup

11、8()b，eq o(OC,sup8()c，则eq o(MN,sup8()eq o(ON,sup8()eq o(OM,sup8()eq f(1,2)(eq o(OB,sup8()eq o(OC,sup8()eq f(1,2)eq o(OA,sup8()eq f(1,2)beq f(1,2)ceq f(1,2)a，eq o(OG,sup8()eq o(OM,sup8()eq o(MG,sup8()eq f(1,2)eq o(OA,sup8()eq f(2,3)eq o(MN,sup8()eq f(1,2)aeq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)bf(1,2)cf(

12、1,2)a)eq f(1,6)aeq f(1,3)beq f(1,3)c.又eq o(OG,sup8()xeq o(OA,sup8()yeq o(OB,sup8()zeq o(OC,sup8()，所以xeq f(1,6)，yeq f(1,3)，zeq f(1,3)，因此xyzeq f(1,6)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(5,6).2如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设eq o(AA1,sup8()a，eq o(AB,sup8()b，eq o(AD,sup8()c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq o(AP,

13、sup8()；(2)eq o(A1N,sup8()；(3)eq o(MP,sup8()eq o(NC1,sup8().解(1)因为P是C1D1的中点，所以eq o(AP,sup8()eq o(AA1,sup8()eq o(A1D1,sup8()eq o(D1P,sup8()aeq o(AD,sup8()eq f(1,2)eq o(D1C1,sup8()aceq f(1,2)eq o(AB,sup8()aceq f(1,2)b.(2)因为N是BC的中点，所以eq o(A1N,sup8()eq o(A1A,sup8()eq o(AB,sup8()eq o(BN,sup8()abeq f(1,2)e

14、q o(BC,sup8()abeq f(1,2)eq o(AD,sup8()abeq f(1,2)c.(3)因为M是AA1的中点，所以eq o(MP,sup8()eq o(MA,sup8()eq o(AP,sup8()eq f(1,2)eq o(A1A,sup8()eq o(AP,sup8()eq f(1,2)aeq blc(rc)(avs4alco1(acf(1,2)b)eq f(1,2)aeq f(1,2)bc，又eq o(NC1,sup8()eq o(NC,sup8()eq o(CC1,sup8()eq f(1,2)eq o(BC,sup8()eq o(AA1,sup8()eq f(1,

15、2)eq o(AD,sup8()eq o(AA1,sup8()eq f(1,2)ca，所以eq o(MP,sup8()eq o(NC1,sup8()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)af(1,2)bc)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)c)eq f(3,2)aeq f(1,2)beq f(3,2)c.用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来 考点二共线(共面)向量定理的应用 eq 典例1如图，已知E，F，G，H分别

16、为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH.证明(1)连接BG，EG，则eq o(EG,sup8()eq o(EB,sup8()eq o(BG,sup8()eq o(EB,sup8()eq f(1,2)eq (avs4alco1(o(BC,sup8()o(BD,sup8()eq o(EB,sup8()eq o(BF,sup8()eq o(EH,sup8()eq o(EF,sup8()eq o(EH,sup8().由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面(2)因为eq o(EH,sup8()eq o(AH,sup8()

17、eq o(AE,sup8()eq f(1,2)eq o(AD,sup8()eq f(1,2)eq o(AB,sup8()eq f(1,2)(eq o(AD,sup8()eq o(AB,sup8()eq f(1,2)eq o(BD,sup8()，所以EHBD又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.1.对空间任一点O，eq o(OP,sup8()xeq o(OA,sup8()yeq o(OB,sup8()，若xy1，则点P，A，B共线2证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)eq o(MP,sup8()xeq o(MA,sup8()yeq o(MB,sup8()；(2)对空间

18、任一点O，eq o(OP,sup8()eq o(OM,sup8()xeq o(MA,sup8()yeq o(MB,sup8()；(3)对空间任一点O，eq o(OP,sup8()xeq o(OM,sup8()yeq o(OA,sup8()zeq o(OB,sup8()(xyz1)；(4)eq o(PM,sup8()eq o(AB,sup8()(或eq o(PA,sup8()eq o(MB,sup8()或eq o(PB,sup8()eq o(AM,sup8()eq o(跟进训练)1已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2，eq f(1,2)Beq f(1,3)，e

19、q f(1,2)C3,2D2,2Aab，设bxa，eq blcrc (avs4alco1(x16，,210，,2x2，)解得eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)，,2，)或eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)，,3.)故选A2已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三个向量共面，则实数等于_eq f(65,7)a与b不共线，故存在实数x，y使得cxayb，eq blcrc (avs4alco1(2xy7，,x4y5，,3x2y，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(33,7)，,yf(17,7)，,f(65,7).)故填

20、eq f(65,7).3如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq o(AM,sup8()keq o(AC1,sup8()，eq o(BN,sup8()keq o(BC,sup8()(0k1)判断向量eq o(MN,sup8()是否与向量eq o(AB,sup8()，eq o(AA1,sup8()共面解因为eq o(AM,sup8()keq o(AC1,sup8()，eq o(BN,sup8()keq o(BC,sup8()，所以eq o(MN,sup8()eq o(MA,sup8()eq o(AB,sup8()eq o(BN,sup8()keq o(C

21、1A,sup8()eq o(AB,sup8()keq o(BC,sup8()k(eq o(C1A,sup8()eq o(BC,sup8()eq o(AB,sup8()k(eq o(C1A,sup8()eq o(B1C1,sup8()eq o(AB,sup8()keq o(B1A,sup8()eq o(AB,sup8()eq o(AB,sup8()keq o(AB1,sup8()eq o(AB,sup8()k(eq o(AA1,sup8()eq o(AB,sup8()(1k)eq o(AB,sup8()keq o(AA1,sup8()，所以由共面向量定理知向量eq o(MN,sup8()与向量e

22、q o(AB,sup8()，eq o(AA1,sup8()共面 考点三空间向量数量积的应用典例2如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值解(1)记eq o(AB,sup8()a，eq o(AD,sup8()b，eq o(AA1,sup8()c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbccaeq f(1,2).|eq o(AC,sup8()1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112eq blc(rc)(avs4alco1(f(

23、1,2)f(1,2)f(1,2)6，|eq o(AC1,sup8()|eq r(6)，即AC1的长为eq r(6).(2)证明：eq o(AC,sup8()1abc，eq o(BD,sup8()ba，eq o(AC,sup8()1eq o(BD,sup8()(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.eq o(AC,sup8()1eq o(BD,sup8()，AC1BD(3)eq o(BD,sup8()1bca，eq o(AC,sup8()ab，|eq o(BD,sup8()1|eq r(2)，|eq o(AC,sup8()|eq

24、r(3)，eq o(BD,sup8()1eq o(AC,sup8()(bca)(ab)b2a2acbc1.coseq o(BD,sup8()1，eq o(AC,sup8()eq f(o(BD,sup8()1o(AC,sup8(),|o(BD,sup8()1|o(AC,sup8()|)eq f(r(6),6).AC与BD1夹角的余弦值为eq f(r(6),6).空间向量数量积的应用eq o(跟进训练)4已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以eq o(AB,sup8()，eq o(AC,sup8()为边的平行四边形的面积；(2)若|a|eq r(3)，且a分别与

25、eq o(AB,sup8()，eq o(AC,sup8()垂直，求向量a的坐标解(1)由题意可得eq o(AB,sup8()(2，1,3)，eq o(AC,sup8()(1，3,2)，所以coseq o(AB,sup8()，eq o(AC,sup8()eq f(o(AB,sup8()o(AC,sup8(),|o(AB,sup8()|o(AC,sup8()|)eq f(236,r(14)r(14)eq f(7,14)eq f(1,2)，所以sineq o(AB,sup8()，eq o(AC,sup8()eq f(r(3),2)，所以以eq o(AB,sup8()，eq o(AC,sup8()为边

26、的平行四边形的面积为S2eq f(1,2)|eq o(AB,sup8()|eq o(AC,sup8()|sineq o(AB,sup8()，eq o(AC,sup8()14eq f(r(3),2)7eq r(3).(2)设a(x，y，z)，由题意得eq blcrc (avs4alco1(x2y2z23，,2xy3z0，,x3y2z0，) 解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，,z1) 或eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，,z1，) 所以向量a的坐标为(1,1,1)或(1，1，1) 考点四利用向量证明平行与垂直 eq 典例3如图所示，在四棱锥PABCD中，

27、PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角，求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD证明(1)由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC2eq r(3)，PB4，D(0,1,0)，B(2eq r(3)，0,0)，A(2eq r(3)，4,0)，P(0,0,2)，Meq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),

28、2)，0，f(3,2)，eq o(DP,sup8()(0，1,2)，eq o(DA,sup8()(2eq r(3)，3,0)，eq o(CM,sup8()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，0，f(3,2).设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由eq blcrc (avs4alco1(o(DP,sup8()n0，,o(DA,sup8()n0，)即eq blcrc (avs4alco1(y2z0，,2r(3)x3y0，)令y2，得n(eq r(3)，2,1)neq o(CM,sup8()eq r(3)eq f(r(3),2)201eq f(3,2)0，neq o

29、(CM,sup8().又CM平面PAD，CM平面PAD(2)法一：由(1)知eq o(BA,sup8()(0,4,0)，eq o(PB,sup8()(2eq r(3)，0，2)，设平面PAB的一个法向量为m(x0，y0，z0)，由eq blcrc (avs4alco1(o(BA,sup8()m0，,o(PB,sup8()m0，)即eq blcrc (avs4alco1(4y00，,2r(3)x02z00，)令x01，得m(1,0，eq r(3)又平面PAD的一个法向量n(eq r(3)，2,1)，mn1(eq r(3)02eq r(3)10，平面PAB平面PAD法二：取AP的中点E，连接BE，则E(eq r(3)，2,1)，eq o(BE,sup8()(eq r(3)，2,1)PBAB，BEPA又eq o(BE,sup8()eq o(DA,sup8()(eq r(3)，2,1)(2eq r(3)，3,0)0，eq o(BE,sup8()eq o(DA,sup8().BEDA又PADAA，BE平面PAD又BE平面PAB，平面PAB平面PAD1.利用向量证明平行问题(1)线线平行：方向向量平行(2)线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直(3