重庆市各区2021年中考模拟数学试题汇编：图形的变化 解答题

1、重庆市各区2021年中考模拟数学试题汇编：图形的变化解答1（2021九龙坡区校级模拟）在ABC中，BAC90，点E为AC上一点，ABAE，AGBE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点（1）如图1，若点M与点G重合，AH2，BC，求CE的长；（2）如图2，若ABBM，连接MH，HMGMAH，求证：AM2HM；（3）如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出AMH、NAE、MNE之间的角度关系2（2021万州区模拟）如图，点B，C，D在同一条直线上，BCF和ACD都是等腰直角三角形连接AB，DF，延长DF交AB于点E（1）如图1，若ADBD，

2、DE是ABD的平分线，BC1，求CD的长度；（2）如图2，连接CE，求证：DECE+AE；（3）如图3，改变BCF的大小，始终保持点F在线段AC上（点F与点A，C不重合）将ED绕点E顺时针旋转90得到EP取AD的中点O，连接OP当AC2时，直接写出OP长度的最大值3（2021九龙坡区校级模拟）在ABC和AEF中，AFEABC90，AEFACB30，AEAC，连接EC，点G是EC中点，将AEF绕点A顺时针旋转（1）如图1，若E恰好在线段AC上，AB2，连接FG，求FG的长度；（2）如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GBAB+GC；（3）如图3，若AB3，在AEF旋转过程中，当GB

3、GC最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积4（2021沙坪坝区校级模拟）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，ADE为等边三角形（1）若点E为BD的中点，AD4，CD5，求BCE的面积；（2）如图2，若BCCD，点F为CD的中点，求证：AB2AF；（3）如图3，若ABCD，BAD90，点P为四边形ABCD内一点，且APD90，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ当AB6，AD4，tanABC2时，求CQ+BQ的最小值5（2021沙坪坝区校级模拟）如图，已知ABC中，ABC45，CD是边AB上的高线，E是AC上一点，连接BE，交CD于点F（1）如图1，若ABE15，BC+1

4、，求DF的长；（2）如图2，若BFAC，过点D作DGBE于点G，求证：BECE+2DG；（3）如图3，若R为射线BA上的一个动点，以BR为斜边向外作等腰直角BRH，M为RH的中点在（2）的条件下，将CEF绕点C旋转，得到CEF，E，F的对应点分别为E，F，直线MF与直线AB交于点P，tanACD，直接写出当MF取最小值时的值6（2021北碚区校级模拟）在ABC中，CAB90，ACAB若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90得到BE，连接CE，交AB于点F（1）如图1，若ABE75，BD4，求AC的长；（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H若ABD30，猜想线段DC

5、与线段HG的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若AB4，D为AC的中点，将ABD绕点B旋转得ABD，连接AC、AD，当AD+AC最小时，求SABC7（2021渝中区校级二模）如图1，在RtABC与RtABD中，ACBADB90，BAC60，CEAB交AB于点E，AEAD，点F在线段BD上，连接AF（1）若AC4，求线段BD的长；（2）如图2，若DAF60，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2CMBF+AC；（3）如图3，在（2）的条件下，将ADF绕点A旋转得ADF，连接BF，点M为线段BF的中点，连接DM，当DM长度取最小时，在线段AB上有一动点N，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋

6、转60至MN，连接DN，若AC4，请直接写出（2MNDN）的最小值8（2021渝中区校级三模）如图1，等腰RtABC中，BAC90，ABAC8，AD平分BAC交BC于点D，点E、F分别是线段AC、AB上两点，且AEAF，连接BE交AD于点Q，过点F作FGBE交BE于点P，交BC于点G（1）若BF2，求DQ的长；（2）求证：；（3）如图1，AE4，连接EF，将EAF绕点A顺时针旋转，点M为EF中点，连接BM，CM，以BM为直角边构造等腰RtBMN，过点N作NRBC交BC于点R，连接RM，当NR最小时，直接写出MR的长度9（2021重庆模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以正方形

7、的边长BC为斜边在正方形内作RtBEC，BEC90（1）求证：BECEOE；（2）若CE3，BE4，OBE的面积为 （直接写出结果）；点P为BC边上的动点，则OPE周长的最小值为 （直接写出结果）10（2021铜梁区校级一模）ABC为等边三角形，将线段CA绕点C顺时针旋转60得到线段CD，F为平面内一点接BF，作ABF的角平分线交CF延长线于点E，连接DE（1）如图1，连接BD，若点F恰好在线段BD上，CEBC，BC2，求EF的长度；（2）如图2，若FBC2ECD，证明：BE+DEEC；（3）如图3，当BC2，ACE45时，以CE为斜边构造直角PEC，Q为CP中点，连接AQ当AQ最大时，求AC

8、Q的面积11（2021重庆模拟）如图，在RtABC中，ABC90，BAC30，点D在直线BC上运动，连接AD，以AD为斜边在直线AD的右侧作RtADE，其中AED90，DAE30（1）如图1，点D运动到点B的左侧时，DE与AB相交于点O，当AO平分DAE时，若DC6，求AD的长；（2）如图2，点D沿射线BC方向运动过程中，当BDAB时，连接BE，过点B作BFBE交EA的延长线于点F，取CD的中点G，连接EG求证：DE+AEEG；（3）如图3，点D沿射线CB方向运动过程中，连接BE，将线段BE绕点E顺时针方向旋转60，得到线段EH，连接AH、CH若AB6，当CH+AH取得最小值时，请直接写出AB

9、E的面积12（2021两江新区模拟）如图，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，ACBC，DCEC现将DCE绕点C旋转（1）如图1，若A、D、E三点共线，AD，求点B到直线CE的距离；（2）如图2，连接AE、BD，点F为线段BD的中点，连接CF，求证：AECF；（3）如图3，若点G在线段AB上，且AC8，AG7，在ACG内部有一点O，请直接写出OC+OA+OG的最小值13（2021沙坪坝区校级一模）如图1，在RtABC中，BAC90，ABAC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90，得到AE，连接DE（1）如图1所示，若BC4，在D点运动过程中，当tanBDE

10、时，求线段CD的长；（2）如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BFCF；（3）如图3，若AB2，将ABC绕点A顺时针旋转得ABC，连接CC，P为线段CC上一点，且CCPC，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60得到BQ，连接PQ，K为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值14（2021沙坪坝区模拟）如图，在锐角ABC中，ACB45，点D是边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE，连接DE交AC于点F（1）如图1，若ADC60，求证：DFAF+EF；（2）

11、如图2，在点D运动的过程中，当ADC是锐角时，点M在线段DC上，且AMAD，连接ME，猜想线段ME，MD，AC之间存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，当ADC是钝角时，点N是线段DE上一动点，连接CN，若CFAFm，请直接用含m的代数式表示2CN+NE的最小值15（2021潼南区一模）如图1ABC为等边三角形，D为AC右侧一点，且ACAD，连接BD交AC于点E，延长DA、CB交于点F（1）若BAF30，AF2，求AD；（2）证明：CFAF+AE；（3）如图2若AB4，G为BC中点，连接AG，M为AG上一动点，连接CM，将CM绕着M点逆时针旋转90得到MN，连接AN、C

12、N，当AN最小时，直接写出CMN的面积参考答案1【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可；（2）根据等腰直角三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解答即可；（3）根据对称的性质和三角形内角和解答即可【解答】解：（1）BAC90，ABAE，BAE为等腰直角三角形，AGBE，AH是BAE的中线，BE2AH4，BEA45，BEC135，在BCE中，过点C作CDBE交BE的延长线于点D，如图1，DEC45，DEC是等腰直角三角形，设EDx，则DCx，CEx，在RtBCD中，BC2BD2+DC2，即，x11或x25（舍去），CE；（2）如图2，过H作HDH

13、M交AM于点D，连接BD，ABAE，BAC90，ABE是等腰直角三角形，AGBE，ABH为等腰直角三角形，BHAH，BAN45，BHA90，ABBM，BAMBMA，HMGMAH，BAMMAHBMAHMG，即BAHAMH45，HDHM，DHM为等腰直角三角形，DHHM，DHM90，BHDBHA+AHD，AHMDHM+AHD，BHDAHM，在BHD与AHM中，BHDAHM（SAS），DBHMAH，BDAM，BHABDA90，BABM，D是AM的中点，AM2DM2HM，即AM2HM；（3）H是BE的中点，M是BC的中点，MH是BCE的中位线，MHCE，AMHMAC，BAC90，AMBM，MABABM

14、，点B与点N关于线段AM对称，ABMANM，ABAN，AEAN，AENANE，在AEN中，NAE+2ANE180，ANEANM+MNE，ABMANMMAB90MAC，ANE90MAC+MNE，ANE90AMH+MNE，将代入，得：NAE+2（90AMH+MNE）180，NAE+1802AMH+2MNE180，NAE+2MNE2AMH2【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，求出FCBC1，再判断出FAFB，即可得出结论；（2）先判断出ABCDFC，得出BACCDF，进而判断出ACEDCH，得出AEDH，CECH，即可得出结论；（3）先判断出OEOQ2，再判断出OEDQEP，进而求出PQOD即可

15、得出结论【解答】（1）解：BCF和ACD都是等腰直角三角形，ACCD，FCBC1，FB，ADBD，DE是ABD的平分线，DE垂直平分AB，FAFB，ACFA+FC，CD；（2）证明：如图2，过点C作CHCE交ED于点H，BCF和ACD都是等腰直角三角形，ACDC，FCBC，ACBDCF90；ABCDFC（SAS），BACCDF，ECH90，ACE+ACH90，ACD90，DCH+ACH90，ACEDCH在ACE和DCH中，ACEDCH（ASA），AEDH，CECH，EHCEDEEH+DHCE+AE；（3）解：如图3，连接OE，将OE绕点E顺时针旋转90得到EQ，连接OQ，PQ，则OQOE由（2

16、）知，AEDABC+CDFABC+BAC90，在RtAED中，点O是斜边AD的中点，OEODADAC，OQOE，在OED和QEP中，OEDQEP（SAS），PQODOPOQ+PQ，当且仅当O、P、Q三点共线时，取“”号，OP的最大值是3【分析】（1）如图1中，过点F作FHAE于H解直角三角形求出FH，GH，再利用勾股定理求解即可（2）如图2中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF证明BAFBMG（SAS），推出ABFMBG，BFBG，推出FBGABM60，可得BFG是等边三角形，推出BGFG，可得BGEF+EGAE+CGAB+CG（3）如图3中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF在MC上取一

17、点D，使得MDMG，连接DG，BD证明MDGMGC，推出，推出DGCG，推出GBCGGBDGBD，推出当B，D，G共线时，BGCG的值最大，最大值为BD的长【解答】（1）解：如图1中，过点F作FHAE于H在RtABC中，ACB90，AB2，C30，AC2AB4，BCAB2，AEECAC2，EGGC，EGCG1，AFE90，AEF30，EFAEcos30，FHEF，HEFH，GHHE+EG，FG（2）证明：如图2中，取AC的中点M，连接BM，GM，BFAMMC，ABC90，BMAMCM，AC2AB，ABAMBM，BAMAMBABM60，BMC120，AE2AF，EAF60，BAF120+EAC，

18、AMMC，EGGC，GMAEAF，GMAE，CMGEAC，BMG120+CMG120+EACBAF，BAFBMG（SAS），ABFMBG，BFBG，FBGABM60，BFG是等边三角形，BGFG，BGEF+EGAE+CGAB+CG（3）解：如图3中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF在MC上取一点D，使得MDMG，连接DG，BD同法可证：BAFBMG（SAS），ABFMBG，BFBG，FBGABM60，BFG是等边三角形，BGFG，AMCM，EGCG，MGAE，AB3，ABC90，ACB30，AC2AB6，AMCM3，AEAC3，MG，MDMG，DMGGMC，MDGMGC，DGCG，GBCG

19、GBDGBD，当B，D，G共线时，BGCG的值最大，最大值为BD的长，直线AB，AC，BG围成的三角形为ABD，ADAM+DM3+，SABD，当GBGC最大时，直线AB，AC，BG所围成三角形的面积为4【分析】（1）如图1中，过点C作CHBD于H，设EHx利用勾股定理构建方程求出x，即可解决问题（2）如图2中，延长AF到G，使得AFFG，连接DG，CG，延长GC交BD于T，过点C作CHBD于H想办法证明AEBADG（SAS），可得结论（3）如图3中，取AD的中点O，连接OP，OB，OC，取OB的中点J，连接QJ，CJ，过点C作CFAB于F，在JB上取一点T，使得JT，连接QT，TC想办法证明Q

20、JTBJQ，推出，推出QTBQ，推出CQ+BQCQ+QTCT，求出CT，可得结论【解答】（1）解：如图1中，过点C作CHBD于H，设EHxADE是等边三角形，ADDE4，AEDCEH60，CHE90，CEEHtan60 x，CD2CH2+DH2，253x2+（x+4）2，4x2+8x90 x或（舍弃），CH，SBEC42解法二：过点B作BJAC交AC的延长线于J，过点D作DTAE于T证明BJDT，求出DT，即可解决问题（2）证明：如图2中，延长AF到G，使得FGAF，连接DG，CG，延长GC交BD于T，过点C作CHBD于HAFFG，CFFD，四边形ACGD是平行四边形，ACDG，GCAD，CA

21、D+ADG180，ADE是等边三角形，AEAD，AEDADEEAD60，AEBADG120，CGDEAD60GDT，DGT是等边三角形，DGDT，CTECET60，CET是等边三角形，CTCE，CTECET60，CBCD，CHBD，BHDH，THEH，BTDE，BEDTDH，AEBADG（SAS），ABAG2AF（3）解：如图3中，取AD的中点O，连接OP，OB，OC，取OB的中点J，连接QJ，CJ，过点C作CFAB于F，在JB上取一点T，使得JT，连接QT，TCABCD，BAD90，ADC90，CFAB，CFA90，四边形AFCD是矩形，ADCF4，tanCBA2，BF2，AB6，AF4，A

22、DAF，四边形AFCD是正方形，BC2，CO2，OB4，CBCO，CFCD，CFBCDO90，RtCFBRtCDO（HL），BCFDCO，BCODCF90，BJJO，CJOB2，CT，BQQP，BJJO，QJOP，QJ22，TJJB22，QJ2JTJB，QJTQJB，QJTBJQ，QTBQ，CQ+BQCQ+QTCT，CQ+BQ的最小值为5【分析】（1）如图1中，过点F作FHBC于H设FHCHm，则BHm，根据BC+1，构建方程求出m，即可解决问题（2）如图2中，连接DE，过点D作DHDE交BE于H证明BHEC，DHE是等腰直角三角形即可解决问题（3）如图3中，过点M作MJBC于J，过点P作PK

23、BC于K证明tanMBJ2，推出点M的在射线BM上运动，推出当C，F，M共线，且CMBM时，FM的值最小设ADm，想办法求出RM，PF可得结论【解答】（1）解：如图1中，过点F作FHBC于HCDAB，BDC90，DBC45，DCB904545，FHCH，FHC90，HFCHCF45，CHFH，设FHCHm，ABE15，FBC451530，BHHFm，m+m+1，m1，CFCH，CDBC，DFCDCF（2）证明：如图2中，连接DE，过点D作DHDE交BE于HADCFDB90，DBDC，BFAC，RtBDFRtCDA（HL），DBFACD，BFDCFE，BFDCFE，DFEBFC，DFEBFC，D

24、EFBCF45，DHDE，HDE90，DHEDEH45，DHDE，BDCEDH90，BDHCDE，DBDC，DHDE，BDHCDE（SAS），BHEC，DHDE，DGEH，GHEG，DGEH，BEBH+HEEC+2DG（3）解：如图3中，过点M作MJBC于J，过点P作PKBC于KBHR，DBC都是等腰直角三角形，DBCHBR45，HBC90，HHBJMJB90，四边形BHMJ是矩形，BHMJ，HMBJ，BHHR，HMMR，MJ2BJ，tanMBJ2，点M的在射线BM上运动，当C，F，M共线，且CMBM时，FM的值最小设ADm，tanACD，CDBD3m，DFADm，CFCF2m，BC3m，CM

25、B90，tanCBM2，BMm，CMm，BJHMm，JMBHHRm，MRm，设BKPKn，CK2n，nm，BKPKm，CK2m，PCm，PFPCCFm2m，6【分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；（2）通过作辅助线，构造全等三角形，设ACa，利用中位线定理，解直角三角形，用a的代数式表示CD和HG，即可得CD与HG的数量关系；（3）构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定A（4）的位置，继而求得相关三角形的面积【解答】解：（1）过D作DGBC，垂足是G，如图1：将BD绕点B顺时针旋转90得到BE，EBD90，ABE75，ABD15，ABC45，DBC30

26、，在直角BDG中有DG2，ACB45，在直角DCG中，CGDG2，BCBG+CG，ACBC；（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG，证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GMAB于M，如图：END90，由旋转可知EBD90，EDB45ENDEBD90，E，B，D，N四点共圆，BNEEDB45，NEB+BDN180BDC+BDN180，BCD45，BENBDC，BNE45BCD，在BEN和BDC中，BENBDC（AAS），BNBC，BAC90，在等腰BNC中，由三线合一可知BA是CN的中线，BACEND90，ENAB，A是CN的中点，F是EC的中点，G

27、是BC的中点，FG是BEC的中位线，FGBE，FGBE，BEBD，FGBD，ABD30，BFG60，ABC45，BGF75，设ACa，则ABa，在RtABD中，AD，BDBE，FGBE，FG，GMAB，BGM是等腰三角形，MGMB，在RtMFG中，MFG60，MFMG，MF，BFBM+MF，在RtBFH中，BFG60，FHa，HGFGFHa，又CD，HG；（3）设ABa，则BC，取BC的中点N，连接AD，AC，AN，连接DN，如图3，由旋转可知ABABa，又ABNCBA，ABNCBA，ANAC，根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是AD+AN最小，此时D、A、N共线，即A在线段DN上，设此

28、时A落在A处，过A作AFAB于F，连接AA，如图4，D，N分别是AC，BC的中点，DN是ABC的中位线，DNAB，ABAC，DNAC，AAFAADA90，四边形AFAD是矩形，AFAD，AFAD2，又ABAB4，设AFx，在直角三角形AFB中，AB2AF2+BF2，4222+（4x）2，解得x此时SABCSABCSAABSAACABACABAFACAD44424（42）447【分析】（1）利用30角求出AB和AE的长度，AE即为AD长度，利用勾股求出BD长度；（2）构造两个120的等腰三角形，底边FFAFAC，得出AC+FBFB，根据SAS证ABFABF，得FBBF，由中位线得BF2CM，即可

29、得证结论；（3）延长FD，使DFDF，由D、M分别为中点，得DMFB，当F、A、B 三点共线时FD最小，则DM最小，确定此时点D在AC上，过M作AC平行线MP，易得DPM为等边三角形，由MNN是等边三角形，根据SAS证DMNPMN，可得MDNMPN60PDM，即确定了N运动轨迹在直线DP上，2MN+DN，可转化为等腰直角三角形得斜边和直角边数量关系，最后根据三角形两边之差第三边（共线时取等号）求出最小值即可【解答】解：（1）ACB90，BAC60，AC4，ABACcos608，CEAB，AEACcos602，ADAE2，ADB90，BD2；（2）延长FD至F，使DFDF，延长BC至B使CBCB

30、，连接FB、AB、AF，DFDF，CBCB，ADFACB90，AFAF，ABAB，CABDAF60，BABFAF120，BAB+FABFAF+FAB，即BAFBAF，ABFABF（SAS），BFBF，C、M分别是BB、FB的中点，BF2CM，AC2AE，AF2AD，ADAE，ACAF，AFAF，FAF120，FFAFAC，BF+ACBF+FFBFBF2CM，即2CMBF+AC；（3）延长FD至F，使FDFDD、M分别为FF、FB中点，DMFB且DMFB，当F在线段AB上时，FB最小（如右图3），此时D在线段AC上，此时DM最小FB42AD，过点M作MPAC，交AB于点P，连接DP，DN，MPA

31、D，APDM，ADDM2，四边形ADMP是菱形，CAB60，DMP是等边三角形，MPN60，MN绕点M旋转60，MNN是等边三角形，DMNPMN（SSS），MDNMPN60PDM，即N运动轨迹在DP上，以DN为斜边作等腰直角三角形ODN，则ONDN，（2MNDN）2（MNDN）2（MNON），MNONMO，当NOM 三点共线时MNON最小为OM，NDM60，NDO45，ODM15，作GMDGDM15，则MGD30，设OMx，OGx，GMDG2x，DO2x+x，DO2+MO2DM2，（2x+x）2+x222，解得x，（2MNDN）最小值2OM8【分析】（1）过点E作EHBC于点H，根据等腰直角三

32、角形的性质求出ADBDCD4，由EHBC可得出EHHCCE，则BHBCCH7，证出ADEH，可得BDQBHE，根据相似三角形的性质即可得DQ的长；（2）过点A作AKBE交BC于点K，延长BA至点R，使得ARAE，连接CR，延长BE交CR于点T，利用ASA证明BAQACK（ASA），根据全等三角形的性质得AQCK，再证ABEACR（SAS），得ABEACR，可得出ETC90，则AKCR，根据平行线分线段成比例定理可得GKCK，则BCACBG+CGBG+2CKBG+2AQ，即可得出结论；（3）解：连接AM，过点M作MSBC于点S，根据等腰直角三角形的性质求出AMEF2，则点M在以A为圆心，2为半径

33、的A上移动，利用AAS证明MBSBNR（AAS），可得BSNR，MSBR，则当NR最小时，即BS最小，由图可得当且仅当MS与A相切时，BS取得最小值，此时，AMME2，点E落在线段AB上，AEBE4，BSES2，在RtMSR中，根据勾股定理即可求解【解答】（1）解：过点E作EHBC于点H，ABAC8，BAC90，BCAB8，ABCACB45，AD平分BAC，ADBC，ADBDCD4，AEAF，ABAFACAE，BFCE2，EHBC，ADEH，EHC90，HECHCE45，HEHCCE，BHBCCH7，ADEH，BDQBHE，DQHE；（2）证明：过点A作AKBE交BC于点K，延长BA至点R，使

34、得ARAE，连接CR，延长BE交CR于点T，AD平分BAC，BAC90，BAD45，BADACB，AKBE，ABQ+BAK90，BAK+CAK90，在ABQCAK中，BAQACK（ASA），AQCK，在ABE和ACR中，ABEACR（SAS），ABEACR，ABE+AEB90，AEBCET，ACR+CET90，ETC90，即CRBE，AKBE，AKCR，AEAFAR，GKCK，BCACBG+CGBG+2CK，ACBG+2AQ，AC2AQBG；（3）解：连接AM，过点M作MSBC于点S，AEAF4，EAF90，EFAE4，点M是 EF的中点，AMEF2，点M在以A为圆心，2为半径的A上移动，BM

35、N是等腰直角三角形，BMBN，MBN90，NBR+MBS90，NRBC，MSBC，NRBBSM90，NBR+BNR90，MBSBNR，在MBS和BNR中，MBSBNR（AAS），BSNR，MSBR，当NR最小时，即BS最小，如图当且仅当MS与A相切时，BS取得最小值，此时，AMME2，点E落在线段AB上，AEBE4，BSES2，MSBRME+ES4，SRBRBS2，在RtMSR中，MR2，当NR最小时，MR的长度为29【分析】（1）如图1中，设BE交AC于点J，过点O作OTOE交BE于T证明OBTOCE（ASA），推出BTCE，OTOE，OET是等腰直角三角形，即可解决问题（2）如图2中，过点

36、O作OTBE于T利用（1）中结论，求出OE，OT，可得结论如图3中，作点O关于BC的对称点T，连接OT交BC于R，连接ER，ET，ET交BC于O，连接OP，此时PE+PO的值最小，OPE的周长也最小【解答】（1）证明：如图1中，设BE交AC于点J，过点O作OTOE交BE于T四边形ABCD是正方形，ACBD，OBODOAOC，BOCTOE90，BOTCOE，BOJCEJ90，OJBCJE，OBJECJ，OBTOCE（ASA），BTCE，OTOE，OET是等腰直角三角形，OEB45，ETOE，BEBT+ET，BEEC+OE，BEECOE（2）解：如图2中，过点O作OTBE于TBE4，EC3，BEE

37、COE，OE，OTE90，OET45，OTET，SOBEBEOT41故答案为：1如图3中，作点O关于BC的对称点T，连接OT交BC于R，连接ER，ET，ET交BC于O，连接OP，此时PE+PO的值最小，OPE的周长也最小OBOC，OTBC，RBRC，BOCBEC90，ORERBRCRTR，B，C，E，O四点共圆，OT是直径，OET90，BC5，OT5，OE，ET，OP+PE的最小值ET，POE的周长的最小值为+4故答案为：410【分析】（1）由CA旋转60得到CD可知DBC30，由BE平分ABF可得EFB45，由CEBC可求出EC，FC的长度，ECFC即为EF长度；（2）过C作ECG120交E

38、B延长线于点G，根据SAS证BCGDCF，得出EGEC，即可得证BE+EDEC；（3）根据PEC为直角三角形，得P到CE中点H距离为定值，求出Q到CH中点K距离为定值，当AKQ三点共线时AQ最大，利用相似求出高QJ，再求出面积即可【解答】解：（1）CA绕C点旋转60得到CD，ABC是等边三角形，BCCD，BCD120，DBCBDC（180120）230，BE平分ABF，EBF（ABCDBC）15，EBCDBC+EBF30+1545，CEBC，BC2，FCBCtan302，ECBCtan452，EFECEF2；（2）如右图2，过C作ECG120交EB延长线于点G，FBC30，FBC2ECD，EC

39、D15，BCEECGECD12015105，EBC15+3045，BEC180EBCBEC1804510530，ECG120，G180BECECG30，即GBEC，CGCE，ECGDCB，BCGDCE，BCDC，GCEC，BCGDCF （SAS），EDBG，EGEB+EDEG2ECcos30EC，EB+EDEC；（3）ACE45，EBC45，BCE105，过点C作CMBE于M，BC2，BMCM，CE2CM2，取CE中点H，取CH中点K，连接PH、QK，直角PEC，PHCE，Q、K分别为PC、HC中点，QKPHCE，Q点轨迹是以K为圆心，为半径的圆，当Q在AK延长线和圆K交点时AQ最大，如图3，

40、过K作KNAC，过Q作QJAC交AC延长线于点J，CKQK，ACBC2，ACE45，CNKNCKsin45，ANACCN2，AK，AK+QKAQ，当A，K，Q三点在一直线上时AQ最大，AQ最大+，QAGQAJ，ANKAJQ90，AKNAQJ，即，解得JQ，ACQ面积211【分析】（1）如图1中，过点D作DMAC于M，证明ADM是等腰直角三角形即可解决问题（2）如图2中，取AD的中点H，连接BH，GH，EH证明EBG是底角为30的等腰三角形，即可解决问题（3）如图3中，当点D在射线CB上时，点E在射线BE上运动，此时EBC30，当点C，H，N三点共线时，CH+AHCH+HN最短，此时点E也在线段

41、CN上，由此即可解决问题【解答】（1）解：如图1中，过点D作DMAC于M，在RtCDM中，DCA60，DC6，CM3，DM3，OA是DAE的角平分线，DAEBAC30，DAO15，DAC45，AMD90，AMDM3，ADAM3（2）证明：如图2中，取AD的中点H，连接BH，GH，EHABC+AED180，BAE+BDE180，BAE+FAB180，FABBDE，FBBE，FBEABD90，FBAEBD，ABBD，FABEDB（SAS），AFDE，BFBE，在RtABD和RtAED中，EAD30，BAD45，点H为AD的中点，BHAD，BHEHAD，DACDHG15，G为CD的中点，ACHG，D

42、ACDHG15，BHGBHDGHD901575，EHGEHD+DHG60+1575，BHGEHG，且BHE150，BHGEHG（SAS），BGEG，GBEGEBHBDHBE30，EBG是底角为30的等腰三角形，BEGE，DE+AEAF+AEEFBEGE（3）解：如图3中，当点D在射线CB上时，点E在射线BE上运动，此时EBC30，则线段EB绕点E顺时针旋转60得到线段EH，则点H在AB上运动，在点A的左侧作射线AM，使得BAM30，过点H作HNAM于N，当点C，H，N三点共线时，CH+AHCH+HN最短，此时点E也在线段CN上，则BCH30，AHCH2BH，3BH6，BH2，过点E作EGBH于

43、G，则EG，SABEABEG6312【分析】（1）作BGCE交CE延长线于G，求出BG的长即为B到直线CE的距离；（2）先证CDFHDB，得出BHCF，再根据SAS证HCBEAC，根据角的关系导出EOC90，进而得出AECF；（3）当O为ABC的中垂线交点时OC+OA+OG的值最小，根据数据求值即可【解答】解：（1）如图1，作BGCE交CE延长线于G，ACD+DCB90，DCB+BCE90，ACDBCE，又ACBC，CDCE，CDACEB（SAS），BEAD，CEBCDA，CDE45，CDA135CEB，GEB180CEB18013545，BGBEsin45，即点B到直线CE的距离为；（2）如

44、图2，延长DC，使CHDC，连接BH，设EA交CF于O，CDFHDB，CDFHDB，FCDBHD，BHCF，HCBECH+ECB，ECAECB+BCA，ECHBCA90，HCBECA，又CHCE，BCAC，HCBEAC（SAS），BHCCEA，BHCFCD，BHCFCDCEA，ECF+FCDECD90，ECA+ECF90，CEA+ECF+EOC180，EOC90，AECF；（3）如图3，OG逆时针旋转90且OG2OG，即OOOG，作AGAG，且AG2AG，并延长AG交BC于M，OGA+AGO90，AGO+AGO90，AOGAOG，且相似比为1：2，OA2OA，即OC+OO+OAOC+2OA+O

45、G，OC+OA+OG（OC+2OA+OG），当OC+OO+OA最小时，OC+OA+OG有最小值，即当OO在线段CA上时OC+OA+OG有最小值，最小值为AC，作AHCB延长线于H，ABC为等腰直角三角形，MBG45，又GMAB，MGB为等腰直角三角形，AC8，AG7，AB8，MGBGABAG87，MBBG2，AG2AG14，AMAG+MG15，HMA45，AMH为等腰直角三角形，AHMHAM15，CHBC+MHMB21，AC3，OC+OA+OG的最小值为AC313【分析】（1）根据SAS证ABEACD，再证出BEBC，然后根据tanBDE，设BE8xCD，解出x即可；（2）连接BE，过点A作A

46、GAF，交CF于点G，根据SAS证ABMACN，再同理证ABFACG，得出AD+BEGF+BFGF+CGCF，即可得证；（3）在AC上取点M，使ACAM，将BM绕点B顺时针旋转60得BN，连接MN，R为MN的中点，根据旋转和等边三角形的性质得证BKRBPM和MCDACC，得出边的比例关系即可求出CK最大值【解答】解：（1）如图1，连接BE，AD绕点A顺时针旋转90，得到AE，ADAE，DAE90BAD+BAE，在RtABC中，BAC90，ABAC，BAD+CAD90，CADBAE（同角的补角相等），在ABE和ACD中，ABEACD（SAS），ABEC，BECD，在RtABC中，BAC90，C+

47、ABC90，ABE+ABC90，BEBC，在RtBDE中，tanBDE，设BE8xCD，则BD11x，BCBD+CD，BC4，11x+8x4，解得x，CD8；（2）证明：如图2，连接BE，过点A作AGAF，交CF于点G，由（1）得，BEBC，点F是DE的中点，BFDE（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半），同理AFDE，BFAF，ABFBAF，BAC90，点M在CA的延长线上，BAM90BAF+MAF，在RtABM中，ABM+AMB90，AMBMAF，FMAF，FMBFDF，BMDFDM，MBDFDB，在BDM中，BMD+MBD+BDM180，BMD+MBD+FDB+FDM180，2FDM+2

48、FDB180，FDM+FDB90BMD，MDBD，AMNANMBMD45，AMAN，在ABM和ACN中，ABMACN（SAS），ABMACN，同理ABFACG（ASA），BFCG，AFAG，EGAF，ADAF，CGAD，AD+BEGF+BFGF+CGCF，故AD+BFCF；（3）如图3，在AC上取点M，使ACAM，即构造ABM30，AMB60的RtABM，将BM绕点B顺时针旋转60得BN，连接MN，R为MN的中点，AB2，ABAC，AMMR2，CMACAM22，过点C作CTMR于点T，由BM绕点B顺时针旋转60得BN知，BMN为等边三角形，BMN60，CMT180AMBBMN60，MTCMcos60CM1，CTMTtan60MT3，RTMRMT3，CTRT，即RCT为等腰直角三角形，CRCT3，MCPACC，CACCMT60，MCDACC，PMC