交会法和小三角测量

1、第九章 交会法和小三角测量9.1 概 述 一、控制点的布设形式1测角交会 1）前方交会 如图，A、B为已知点，P为待定点，在两个已知点上安置仪器，观测水平角，求出P点坐标。 9/20/2022 1 2）侧方交会 如图，A、B为已知点，P为待定点，B点不能安置仪器，所以在已知点A及待定点P上安置仪器，观测水平角，求出P点坐标。 9/20/2022 2 3）后方交会如图，A、B、C为已知点，P为待定点，在待定点P上安置仪器，观测水平角，求出P点坐标。9/20/2022 34）其它交会 旁点交会图形 双点后方交会图形 9/20/2022 42测边交会如图，A、B为已知点，P为待定点，测量两待定边的距

2、离，求出P点坐标。由测角交会和测边交会知道： 确定一个点的平面位置，需要两个观测量。9/20/2022 53、小三角网的布设形式单三角锁中点多边形ABCEDAF大地四边形ABCD线型锁CDEFBCDEFBA9/20/2022 6二、作业步骤1外业 选点（图上选点、实地勘察）、造标、埋石、观测（测角、测边）2内业 检查手簿、抄录起算数据（核对）、坐标反算、归心投影计算、求各点坐标、评定精度。 9/20/2022 7一.前方交会的计算一. 计算公式（余切公式、戎格公式） ABP 已知点： A(XA,YA)、B(XB,YB) 待定点： P 观测数据：、,( =180-)9.2 前方交会9/20/20

3、22 8前方交会计算公式直接计算待定点坐标的公式：ABP余切公式正切公式9/20/2022 9 1）计算公式是根据A、B、P为逆时针组成的图形导出的，实际计算时必须按这样的顺序编号； 2）为了检核计算，以求出的P点坐标和A点计算B点，与B点已知值相比较。这种检核只能检核计算是否正确，不能发现角度测错、用错，已知点坐标用错，也不能提高计算精度。 9/20/2022 10二、检核 1两组前方交会 双点前方交会，不能发现观测错误及用错起算数据的错误。为了检核，通常是布设成两组前方交会，比较两组计算结果，其差异是否在允许范围之内。 2限差规定9/20/2022 11三、图形要求1交会角：在测角交会图形

4、中，由未知点至相邻两起始点间方向的夹角。交会角太小或太大，相同的测角误差将使待定点的点位误差增大，如右图所示。2要求：301509/20/2022 12四、变形图形 为了满足交会角的要求，有时需要改变前方交会的基本图形。 四点前方交会 折迭图形 基线边不通视的情况9/20/2022 13基线边不通视的情况的计算可以把它转换成典型的两点前方交会，另外，也可以按下式计算： 它省去了坐标反算的步骤。 注意图形编号顺序，对地形控制点，坐标取至cm，三角函数要取6位小数。 9/20/2022 14前方交会计算实例野外点位略图 已知数据 点号 x/m y/m D6116.942683.295D7522.9

5、09794.647D8781.305435.018观测数据 组1=591042 1=563254 组2=534845 2=573333 计算结果 (1)由I组计算得： XP=398.151m YP=413.249m(2)由组计算得：XP= 398127m YP=413.215m (3)两组坐标较差： 0.042m限差 (4)P点最后坐标为：XP= 398.139m YP=413.232m9/20/2022 159.3 侧方交会 一、适应条件一个已知点不能设站，而未知点上可以设站。 二、计算公式把侧方交会转化为前方交会， =180- 9/20/2022 16 三、检核 在待定点观测另一个已知点C

6、得检查角，计算出P点坐标后，反算PC、PB的方位角，其差值为计，两者的差异应满足下式规定： 允 = Spc不能太短，否则允可以允许很大。四、图形要求：同前方交会 9/20/2022 17 五、变形图形 A与B不通视，但可以观测到另一个已知点D，如何求出角？9/20/2022 189.4 后方交会一、适应条件适应已知点不能安置仪器或不易到达的情况。二、基本图形及计算公式1余切公式 1）求9/20/2022 192）求N3）求坐标9/20/2022 202仿权公式（安谢麦特公式） ：ABCPRaRbRcA、B、C为三个已知点构成的三角形的三个内角。即后方交会基本图形中的CAB、ABC、BCA。、为

7、后方交会基本图形中A、B、C所对的角。 9/20/2022 21三、后方交会的危险圆1定义：过三个已知点构成的外接圆称为危险圆。2影响：当待定点位于危险圆上任一位置时，、角不变，无法求解。3注意：待定点不要在危险圆附近，否则误差很大。 9/20/2022 22四、后方交会的检核1观测检查角（同侧方交会）2分两组计算 9/20/2022 239.5 交会点的精度概 述待定点坐标XP、YP是已知点坐标和观测角的函数。 XP =f（XA，YA，） YP =（XA，YA，） 对上面两式求全微分，忽略已知点坐标的误差，应用误差传播定律，得，则交会点的点位中误差为： 下面只简要介绍前方交会的几个结论。 9

8、/20/2022 24一、两点前方交会 若s、m不变，则与、有关，即与交会点相对于A点位置有关。对上两式求极值，分析点位误差与交会点位置的关系。9/20/2022 251交会点P位于A、B、P三点的圆周上此时，交会角不变，即上两式的分母不变，变量只有和。令上式对、求偏导，在=条件下对U求二阶导数，可见：90，U“0，U有极大值；90，U“0，U无极值；（中误差处处相等）90，U“0，U有极小值； 9/20/2022 26结论：1）当交会角90时，前方交会点宜选在与已知点构成等腰三角形的位置，最佳位置为=1092816；2）当交会角90时，则以靠近已知点的位置为好。 9/20/2022 279.

9、6 单三角形一、特点及适应条件1由两个已知点和一个待定点组成三角形，观测三角形的三个内角。2适应于控制点少或不通视，而且已知点和待定点都能设站的情况。9/20/2022 28二、计算1计算并分配三角形内角和闭合差。2用改正后的角度按前方交会公式计算点的坐标。3已知点坐标抄错或角度搞反，计算时发现不了，要特别注意。 9/20/2022 29三、精度分析1点位中误差 式中，s以km为单位，m以秒为单位，mp以mm为单位。2点位中误差与图形的关系1）因为有一个多余观测，对观测角进行了改正，所以精度比前方交会更高。2）当= 393810.7，=1004338.6时精度最高。 9/20/2022 309.7 其它交会方法这里在就只介绍双点后方交会的几种图形布设。适应于测区控制点较少的情况 待定点在已知点两侧 待定点在已知点同侧 9/20/2022 31检核图形9/20/2022 329.8 测边交会一、图形布设 三边交会 四边交会 9/20/2022 33二、计算公式 1推导思路 求坐标不但要知道边长，还要知道方位角，要设法用边长来表示角度。如图，过P点作已知边的垂线，得辅助边h、l、g，用h、l