直线和平面所成的角与二面角3

X1.平面的斜线和平面所成的角9.7直线和平面所成的角与二面角1.线线角——异面直线所成的角

直线a,b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a1∥a,b1∥b,我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。一.复习pO

自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；

这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。2.

射影

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。

斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。ACB

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；

垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。

斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。ACBO射影长

定理

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短ABaaaabbbbAGFEDCBHHC与FG在平面ABCD上的射影分别是什么？FG与EA在平面ABCD上的射影分别是什么？BC与A点DC与BCHC与EF在平面ABCD上的射影分别是什么？DC与AB三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。OaAP三垂线定理的逆定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。0BADAO是平面的斜线，A是斜足，OB是平面的垂线，B是垂足，AB是斜线在平面的射影，θ1是斜线与射影所成的角.AD是平面上任一过斜足A的直线θ1与θ的大小关系如何？θ2与θ的大小关系如何？θ1——∠OAB,简称斜射角（即线面角）θ2——∠BAD,简称射（射影）非（非射影）角θ——∠OAD,简称斜(线）非（非射影）角θ1二.新授1.线面角——平面的斜线和平面所成的角0BADCθ1最小角原理θ1与θ的大小关系如何？在Rt△OAB中，在Rt△AOC中，∵OB＜OC，∴sinθ1＜sinθ∴θ1＜θ

斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角(即斜射角)，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角。直线和平面所成角的范围是[0，90]。平面的斜线和平面所成的角演示文稿

后

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例1.如图，OA是平面的斜线，OB⊥平面

于B，AC是

内不与AB重合的任意直线，∠OAB=

，∠BAC=

，∠OAC=，求证：cos=coscosOABC——线面角（斜射角），

——射非角——斜非角变式：斜非角的余弦等于线面角的余弦与射非角余弦的积练习5.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？4.已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍，求斜线和平面β所成的角。βABO

如图，斜线段AB是其射影OB的两倍，求AB与平面β所成的角。

如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？3.AB与平面斜交，B为斜足，AO与平面垂直，O为垂足，BD是内的直线，∠ABD=60,∠OBD=45，求斜线AB和平面所成的角。

例2.线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米，N到平面β的距离是4厘米，求MN