专题49椭圆教学案-2017年高考数学理一轮复习解析版

a＞cPa＝cPa＜cP 性－b≤y≤b－a≤y≤a质轴 a，b，c高频考点一1(1)(O，F是圆内一定点，M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 A．椭圆B．双曲线C．抛物线D 【答案】(1)A(P义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等． (1)F1，F2是椭圆169＝1F2A，B 【答案】 高频考点二2【例2】(1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在 2过F2的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程 |AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程

2

【解析】(1)设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)e＝2，知a＝2，故 ∴b＝8C的方程为168(2)AB上方，F1(－c，0)，F2(c，0)c＝1－b2A(c，b2)，B(x0，y0)，由 3|F1B|，可得AF1＝3F1B，故 x0＝－5

25（1－b2）即

33 b＝3x2

(3)法一x轴上，设方程为

所以椭圆的标准方程为9＋y y轴上，设方程为

综上所述，椭圆的标准方程为9＋y＝1或819

9

9法二设椭圆的方程为mn＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则由题意知

或

或

∴椭圆的标准方程为9＋y＝1或819

【答案】(1)168＝1(2)x2＝1(3)9＋y＝1或819规律方法根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法和待定系数法．定义法的要点是根据题目所给条a， 与椭圆43＝1有相同的离心率且经过点(2，－PP5，3P且与长轴垂直的直线

3，

由

高频考点三3、(1)F1，F2x2＋2y2＝2P→→最小值是 2 2

心率 2【答案】 (2)2x，y的范围，离心率a，b，ca2＝b2＋c2消b，即可求得离心率或离心率的范围． C2：x2＋(y－3)2＝1AFy3－2lC2→c≥3→ (PM·PN)max＝17＋2c 0＜c＜3→ (PM·PN)max＝－(－c＋3)＋17＋2cc＝±5c＝－52－3＜0c＝52－3＞3 考点四 】P、Q若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|e. 方法一F1QP(x0，y0)PF1⊥PF20x0＝ay0＝±c

由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得x0＞0，从 a

|PF1| ＝2(a2－b2)＋2aa2－2b2＝(a＋由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，(2＋2)|PF1|＝4a，即(2＋2)(a＋a2－2b2)＝4a，于是(2＋2)(1＋解得 2＋ 方法二PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，得|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(ePF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|e 2－2＝9－62＝6－3.【变式探究】(2015·)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于AEx＝3CABxBMkx1－1＋x1－3－k x1－2－ k－1[－x1x2＋2x1＋x2 k－11＋3k2 所以kBM＝1＝kDE，所以BMDE平行．高频考点五椭圆的离心率问题 例5、(1)(2015·福建)已知椭圆Ea2＋b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线4y＝0EA，B两点．若|AF|＋|BF|＝4M范围是

E 3

A.0，2

B.

C.2 与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等 (2)e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法． 标准方程时，设方程为mn＝1m>0，n>0m≠n)Ax＋By

a，b，c的齐次方程(或不等式)b2＝a2－c2be的方程(或不等 +y2=1(m>1)与双曲线 A．m>n且 B．m>n且 C．m<n且 D．m<n且【答案】 【20163理数】已知OF是椭圆Ca2

1(ab0分别为C的左，右顶点P为CPFx轴.A的直线lPFMy点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 【答案】【解析】由题意设直线l的方程为yk( ，分别令xc与x0得|FM|k(ak2kk2k(aa|OE|ka.设OE的中点为N，则△OBN∽△FBM，则 ，|FM |

ac，c1C的离心率e1 【2016xOyF

y2

两点，且BFC90,则该椭圆的离心率 663

33 33

3 3

66

a,), a,),，因此c a)()03c2ae . 【20161（12分）x2y22x150A,l（1,0）x轴不重合,lAC,D两点,BACADEAEB为定值,EEC1,lC1M,N两点,BlAP,Q两点,求四边MPNQ面积的取值范围.xy xy【答案

（II）B(1,0)且与l垂直的直线my1(x1Amk

kk2422k422k2114k2S1|MN114k2

.故四边形MPNQ的面4k4k2k2可得当lxMPNQ面积的取值范围为[12,83当lxx1|MN|3|PQ|8MPNQMPNQ面积的取值范围为[12,83.【20161（12分）x2y22x150A,l（1,0）x轴不重合,lAC,D两点,BACADEAEB为定值,EEC1,lC1M,N两点,BlAP,Q两点,求四边MPNQ面积的取值范围.xy xy【答案

（II）3【2016高考理数（本小题满分14分3

1（a

）FA，已知

3eO

|OF

|FAe为椭圆的离心率A的直线lB（Bx轴上，垂直于l的直线与lMyHBFHF，且MOAMAO，求直线的l斜率的取值范围

6y 1（Ⅱ）6y

][

6 6【解析（Ⅰ）解：设F(c,0)，由 ，即1

，可得a2c23c2|OF |OA

a(a

acb3，所以c1a4

（Ⅱ）解：设直线l的斜率为k（k0，则直线lyk(x

y=kx+1被椭圆截得的线段长（a、k表示若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.2a212a21k

1a2k2

（II） 222（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4yPQAP

AQ记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1 2a2

1k

2a2

1k由（Ⅰ）知，AP 1，AQ 2121a2k 1a2k122a2 1k 2a2 1k故 1 21a2k 1a2k 所以k2k21k 1由于k1

kk0得1k2k2a22a2k2k2012 112 1k

1)(k

1)1a2(a22) 因为①式关于k1k2的方程有解的充要条件是1a(a2 所以a 22因此，任意以点A0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a 2a2由ea2

得，所求离心率的取值范围为0e 2222【20162E:2t

y1的焦点在x轴上，AE的左顶点，斜y3k(k0)的直线交E于 两点，点N在E上，MA当t4,| 时，求AMN的面积当2

ANk （Ⅰ）144（Ⅱ）322 （Ⅱ）由题意t3，k0，A AMyk(x

t6t6t1k22

21得3 2 1k

ttk2xt2k23t0

t

t2k23tk

x1

t3tk23tk1

x1

3tk ANykkk

x

tAN

6kt1k6kt1k2由2

AN

3tk

3k2

，即k32t3k2k3k3因此t

3k2k1t3等价k3

k32k2kk3

k2k2 0 k3k即k3

0.由此得k2kk32

k2，或k32

k23因此k的取值范围是3223【2016年高考理数（本小题14分 已知椭圆

（ab0）2

，A(a,0)，

O(00OABCP的椭圆CPAyMPBx轴交于点求证AN

为定值

x2y4y

1（2）【2016年高考理数（本小题满分13分x2y21(ab

)l:y

ETOl’OT，与椭圆EA、BlP．证明：存在常数PT2PAPB，并求的值.

x2y2

（2,1（Ⅱ）5

（I）aa

，即a

2c，所以a

2bE2b2

由方程组

得3x212x182b20yx方程①的判别式为=24(b23，由=0，得b2 所以椭圆E的方程 T坐标为52同理PB 22mx52所以PAPB

4(24 54 (22m)2(22m)(xx)x54 154 (254

(2

4m)4m2310m4m239

故存在常数4，使得PT2PAPB5

x2y2

1x 【答案】(x3)2y2 【解析】设圆心为（a，0，则半径为4a，则(4a)2a222a32(x3)2y225 【2015江苏高考，18（16分x2y2 1ab0的离心率为

FlFA，BABlABP，C，若PC=2ABAB的方程.PPyAOlCxB

y

y【答案 2

【201518】已知椭圆Ea2

=1(a>b>0)过点(0,2），且离心率 2yyAxGOBⅠ)E(Ⅱ)xmy

E于A，B

(-,0)AB4 【答案】

=1；(Ⅱ)G(-,0)AB (Ⅱ)A(x1y1B(x2y2),，则GAx14,y1GBx24,y2ìx=my-

由í

+2)

2my-30所以y1y2m2+2y1y2m2+2

从而GAGBx14)(x24y1y2my14)(my24y1

3(m2

17m2=(m+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=2(m2+2)

m2+2

=16(m2+2)>所以cosGA,GB> 不共线，所以ÐAGB为锐角

(-,0)AB4求实数m

x2y2y

1ABymx

2求AOB面积的最大值（O为坐标原点6（1）m63

m

（2） t1( 6 6，则|AB

2t42t2t42t22

O到直线

t22t2t2的距离为dt2

，设AOBS(1∴S(t) |AB|d1

2，当且仅当t21时，等号成立，故122(t2122(t21)222 22 【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C

1ab0的离心率，左、右焦点分别是F ，以F为圆心以3为半径的圆与以F为圆心以1为半径的圆相交，且交 在椭圆C上(Ⅰ)求椭圆C的方程 （Ⅱ）E4a24b21P为椭圆CPy

POE于点Q(i)

3求ABQ面积的最大值3

x2y4y

1（II()2（ii） 12所以OABS122(16k24m2)14k

mx2441 122

216k24m2 14km2m 14k

,y

C的方程可得14k2x28kmx4m24由

m214k

由①②可知0t14ttt24ttt2

3,S33当且仅当t3

m214k

33

面积为

,所以ABQ面积的最大值为 6,【2015高 ，理20】设椭圆E的方程为x2y21ab0，点O为坐标原点，点A的坐标 段AB上，满足

2MA，直线OM的斜率为5求E7C的坐标为0，b，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求2E的方程2【答案（ 25

7.【2015高 ，理19（本小题满分14分）已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为F(c,0),离3率 ，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆33FM

2+y2=444

442 ，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围2

23

223【答案】

；3

；(III) , 3 3,3 (III)P的坐标为xyFP的斜率为t，得t66

x

y

x1,

y

(x

6，又由已知，得t

23x1或1x02设直线OP的斜率为m，得m

yyx

m2

22 x31ytx10，因此m0，于是m

223

2,23 3 23x1,0ytx1)0，因此m23

2 2，得 3 2,23综上，直线OP的斜率的取值范围是2,23 3 8.【201521】如题（21）x2y21ab0FF

PQyyPOxQ

2

2,

2

2PF1PQ求椭圆的离心率2

632x+y=1（2） 632x4 1（2014· 卷）已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构(1)C(2)FC的左焦点，Tx＝－3FTFC①证明：OTPQ(O为坐标原点②当|TF|T2c＝2 C的标准方程是62OT|TF|＝|PQ|＝＝＝ ）m2－2m211所以 m2 ＋4 m2 ＋4

3＝当且仅当 4 ，即m＝±1时，等号成立，此时|TF|取得最小值＝ 故当|TF|最小时，T点的坐标是(－3，1)或 2（2014· A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程

3＋2y3（2014·(1)C(2)OACBy＝2OA⊥OBABx2＋y2＝2

【解析】解：(1)C的标准方程为42所以a2＝4，b2＝2，从而a＝2，c＝故椭圆C的离心率 2＝a＝2(2)ABx2＋y2＝2相切．证明如下：A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，OA⊥OB

→tx0＋2y0＝0

＝－x0＝t时，y0＝－2Ct＝±ABx＝±2.OABd＝2，ABx2＋y2＝2相切．x0≠tABy－2＝x0－tOAB的距离 d＝（y－2）2＋（x0

2y0， ＝－

2x＋

＝ x0 x0 ＝x2＋y2＋x2＋y2＋ 000ABx2＋y2＝2

4（2014·是 2 B.46＋22C．7＋ 2【答案】5（2014·

π 3A.

2B.

【答案】 6（2014· 3F1C1yAB，MABOMC2P，QAPBQ1- a·a2 a·a2

＝2a4－b4＝4a4a2＝2b2 F4(3b，0)，于是3b－b＝|F2F4|＝3－1b＝1，a＝2.C1，C2的方程分别为2＋y＝12－y22·22·又因为|y1－y2|＝22·

，所以 22·22·2APBQ

＝22· 0<2－m2≤2m＝0时，SAPBQ1

7（2014·是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等

两式作差可得

，

＝－

kAB＝－a2.AB的斜率为－2，所以－a2＝－2a＝2b.a＝b＋c＝2c＝b，e＝2 8（2014·A，B，线段MN的中点在C上，则 【答案】9（2014· P(1-6所示)C1：a2－b2＝1P且离心率为1-(1)C1(2)C2PC1lC2C2A，BABPl

yy0

14 8

＝2·x·y＝xy.x0＋y0＝4≥2x0y0x0＝y0＝2x0y02S40 0P的坐标为(2， a＝1，b＝2C1x2(2)由(1)C2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)C2

2＋b2＝1，其中②x1＝my1＋3，x2＝my2＋33 3＝ 3

因为 →AP＝(2－x1，2－y1)，BP＝(2－x2，2－y2)，由题意知x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0，⑤ 解得 6＝2－1m＝－2lx－

1)y－3＝0x

1)y－((2(

2 310（2014· 交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为

A.3＋2 B.3＋y 【答案】【解析】根据题意，因为△AF1B43，所以43，所以a＝3.又因为椭圆的离心率 3

＝a＝3为32

31（2014· 卷Ⅰ]已知点A(0，－2)，椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为2，F是椭圆E

2 OE

的斜率为3AlEP，Q两点，当△OPQl 12（201· 卷Ⅱ]设F1，F2分别是椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一MF2xMF1C

CMNy2，且|MN|＝5|F1N|a，b. 13（2014·山东卷）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为a2＋b2＝1，双C2的方程为a2－b2＝1，C1C2离心率之积为2

C2的渐近线方程为 A.x± D.【答案】

C2

. 22

2

＝2

＝2，所以a＝2C2

故选14（2014·2 2a，b1-∴AP·AQ＝0，即 k

故直线l的方程为 8 15（2014·2 2a，b1- 16（2014· 卷）设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已＝ 3|F1F2＝PPBF1Ol与该圆相切，l的斜率．＝【解析】解：(1)F2的坐标为(c，0)．由|AB|3|F1F2|a2＋b2＝3c2＝

b＝a－c，则＝2＝2 P(x0，y0)．由有 →→＝0，即(x＋c)c＋y c≠0x0＋y0＋c＝0.①P在椭圆上， 所以0 3x2＋4cx＝0.P

4代入①得

P

0＝3，即－3

4

323设圆的圆心为T(x1，y1)，则3（x1－0）2＋（y1－c）2＝3

2＝3c

k－3－3lkly＝kx.3ck2－8k＋1＝0k＝4±15，l4＋154－15.

17（2014·Plka，b，kPOl1lPl11- 18（2014·

2 2， 2yx轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别1-【解析】解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中 22由|DF1|＝22得|DF1|＝ ＝22从而

22 12 2

＝2|DF||FF 2 2＝从而 2＝

3

＝2

＝22a＝|DF1|＋|DF2|＝22a＝ 因此，所求椭圆的标准方程为2＋y (2)yC与椭圆2＋y＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)由(1)F1(－1，0)，F2(1