2022年初中数学专题-折叠型问题含答案

折叠型问题

——中点折叠

一、方法提示：解决折叠型问题的关键是一一抓对应元素

对应点（对应点的连线被折痕垂直平分）

对应线段（相等）

对应角（相等）

中点折叠问题一般结合：斜中半逆用

中位线

8字形相似（全等）

解决此类问题的主要思路：勾股定理，相似，等积代换

二、例题讲解

例1（21年B卷17）如图，AABC中，点。为边3c的中点，连接AD,将AAOC沿直线AZ）

翻折至AA8C所在平面内，得△4OC,连接CO,分别与边A8交于点E,与40交于点0,

若AE=BE,BC'=2,则AO的长为.

三'问题解决

1.如图，三角形纸片A8C中，点。，E,F分别在边A8,AC,BC上，BF=4,CF=6,将这张纸片沿

直线OE翻折，点A与点尸重合.若DE〃BC,AF=EF,则四边形A。/石的面积为___50.

（提示：DE是aABC的中位线，^AFC是含30°的直角三角形，四边形ADFE的面积=，AF-DE）

2

1题图2题图

2.如图，在Rtz\ABC中，ZACfi=90°,4c=6,BC=9,点。为8c边上的中点，将△ACD沿直线AO

1

翻折，使点C落在同一平面内的点C，处，连接8C,则8c的长为——.

5

（提示：DE是△CBC的中位线，CE±AD,在RtZ\ACD中，由勾股定理得AD=叵，根据等积：

2

।82727

ACXCD=ADXCE,得CE=—,在RtZkCED中，可得DE=——，.,.BC,=2DE=—）

5105

3.如图，在矩形A8C。中，AB=472,A£>=4,点E是AO的中点，连接CE,将△

4

沿直线CE折叠，使点。落在同一平面内的点F处，则线段AF的长度是--.

3

4.72

（提示：如图，EG是4DAF的中位线，DF_LCE,在RtZXDCE中，CE=6,根据等积得，DG=——，

3

24

在RtADEG中，EG=-,..AF=2EG=-）方法同上面2题

33

4.如图，在△ABC中，点。是边AB上的中点，连接CZ）,将△88沿着CQ翻折至aABC所在平面

内，得到△EC。，CE与48交于点F,连接AE.若AB=6,C£）=4,AE=2,则点C到AB的距离为

872

亍

（提示：如图，NBEA=90°,由勾股定理得BE=4夜，，BG=2jL根据等积:

11„8V2、

SABDC=—DCBG=—BDh，得/»=——）

223

5.如图，在△ABC中，4B=8,BC=10,点。为BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED,将

△£08沿直线DE翻折至△ABC所在平面内，得到△£）£：P，连接PC,PB,PA,若力P经过AC的中点

6%

F,且PC=2,则AA"的面积是--y-_.

（提示：VDF//AB,.*.△BGE^APGD,BE=PD=5,贝11AE=3,.,.SAAEP=SMEA，在RtZkBPC中，BP=

476,.\BG=2V6,DE=2,设点D到AB的距离为人，根据等积BGXDE=BEX/r,得/片生旦，

2

6.在AAgC中，。为2C中点，将△AB。沿直线翻折至AABC所在平面内，得到连接EC,

若己知BC=6,AD=2,且&加=一，则点A到。毛的距离为亚近.

△W105

（提示:如图，根据面积得EG=-,在RtADGE中，DG=U,.，.CG=3,在RtAEGC中，EC=M0,

5555

27.9M.9后.姆埼笺珏徂,ADXEF3VT0.

♦SABEC=2SACDE=—,..BE=--------,♦.EF=---------，..根据等积得：h=---------=-----）

5510DE5

7.如图，在△ABC中，为BC边上中线，将△AB。沿直线A。翻折至△ABC所在平面内，得到

△ABT）,AB'交BC于点H,连接B'C,已知SAADH=3SAB，CH=6,AC=6,则点小到AC的距离是一2

（提示：SAADC=SAADB=SAADB，，二AD//B'C,.♦.△ADHS^B'CH,/.=（空f=3,二=6

S.CHCHCH

•••△ADH与ZkACH等高,；.SAAHC=9S^DH=26,.,.SAACB,=2+2G，根据等积:/?=2-^）

7题图

8.如图，己知在RtZVIBC中，。是斜边A8的中点，AC=8,8c=4,将△AC£＞沿直线CQ折叠，点A落

在同一平面内的点E处，那么线段AE的长度等于一蛆叵

5

3

4尸AC1g亚

(提示：如图，AB=4逐，ZAFC=90°,AAFC^ABCA,/.——=——，BPAF=-=AC=-^-

BCAB后5

/.AE=2AF=1^)

5

9.如图，正方形ABC。的边长为4,E是AO边的中点，连接BE,将△ABE沿直线BE翻折至正方形

4

ABCD所在平面内，得到△FBE,延长EF交CD于点G,则CG的长度是

3

(提示：如图，ABFG^ABCG,，FG=CG=x,在RtZ\EDG中，DE'+DG^uEG?,

4

A22+(4-x)2=(2+x)2,解得x=-)

3

9题图10题图

10.如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,54=。4=6加，。为BC边的中点，点E是CA延长线上一

pA4

点，把aCQE沿直线QE翻折，点C落在同一平面内的点C处，EC与A8交于点尸,连接BC,——=—

EA3

时，BC的长为___672_____.

Lf-PADG4

(提示:如图，BC=12j5,.*.BD=CD=C,D=6A/5,ACGD^AEAF,A一=——=一，...设CG=3x,

EACG3

DG=4x,则C，D=5x,...x=W，贝！|C'G=,£>G=,则BG=,

在RtaBCG中，由勾股定理得，BC=6夜）

11.如图，在。A8CQ中，点E为A。边的中点，将△4BE沿直线BE翻折至QABC。所在平面内，得至U

△FBE，连接DF并延长交BC于点G,若BE=A0=3,平行四边形ABCD的面积为6,则FG=3-亚

4

13

(提示：如图，BE//DG,四边形BEDG是平行四边形，，BE=DG=3,SAABE=-SoABCD=-

工四边形ABFE的面积=3=，8ExA/=Lx3Ab,；.AF=2,在Rt^AFD中，DF=J^,

22

.*.FG=3-V5)

折叠型问题

一^一般折叠

一'方法提示：解决折叠型问题的关键是-抓对应元素

5

对应点（对应点的连线被折痕垂直平分）

对应线段（相等）

对应角（相等）

解决此类问题的主要思路：勾股定理，相似，等积代换

四、例题讲解

例1（20年A卷11）如图，三角形纸片A8C,点。是3c边上一点，连接AO,把△A8O沿着直线

AO翻折至△ABC所在平面内，得到AAE。，OE与AC交于点G,连接3E交AZ）于点足若OG=

GE,AF=3,BF=2,△4OG的面积为2,则点歹到BC的距离为.

五'问题解决

1.如图，在AABC中，AC=2夜，ZABC=45a,ZBAC=15°,将△A8C沿直线4c翻折至△ABC所在

平面内，得△ACD过点A作AE,使/OAE=NOAC,与CO的延长线交于点E,连接BE,则线段BE

的长为____2A/3.

（提示：如图，BF±AE,F为AE中点，RT^BE=AB=72AF=—AC=2X/3）

2

1题图2题图

2.如图，在等边三角形ABC中，。是BC边上一点，将△ABC折叠，点A落在8c边上的点。处，折

30

痕与A3,AC边分别交于点M,N,若AN=3,则BC的长为—y.

6

BMDMBD

（提示：设BC=x,则BM=x-2,CN=x-3,ABDM^ACND,A——=——=——,则

CDDNCN

CD=3（X-2）,BD=2（X-3）BD+CD=BC,可得X=BC=^）

3.如图，在AABC中，点。是线段AB上的一点，过点。作。E〃AC交BC于点E,将△BOE沿直线

OE翻折，得到点C恰好在线段B7）上，若NBCD=90°,DC：CB'=3：2,AB=16&,则

CE的长度为—3忘.

（提示：如图，AD=CD,设CD=3x,CB'=2x,BD=B,D=5x,BC=4x,AB=8x=160,：.x=2^2,

B，C=4@ABCD^AB'CE,，CE=3近）

EF

3题图4题图

4.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点。和点E分别在AB和BC上，连接OE,将△BDE沿直线

OE翻折，点B的对应点方刚好落在AC上，若4夕=229,AB=3指，BC=6,则BE的长为2.9.

（提示：如图，AF=6,BF=CF=3,AB'GC^AAFC,/.B,G=2,CG=1,BG=5,设BE=B,E=x,则

EG=5-x,在Rt^ITGE中，勾股定理得，x=BE=2.9）

5.在等腰Rt^ABC中，NC=90°,AC=BC=?O,点。和点E分别是BC边和AB边上两点，连接

DE,将△BDE沿直线OE折叠，得到△9OE,点"恰好落在AC的中点处，设DE与BB'交于点、F,

则EF=——

6

（提示：如图，AG=B,G=1,BG=3,BB=而，BF=辿，ABGB^ABFE,AEF=iBF=­）

7

6.如图，AABC中，NA=60°,AC=8,AB=14,点。，E分别是AB,BC边上两点，连接。E,将4

BDE沿着直线DE翻折，点B的对应点8'恰好落在4C中点，连接BB',交DE于点F,则DF=——

(提示：思路同第5题，BG=12,B,G=2>/3,BB，=2屈)

7.如图，在△ABC中，NACB=90°，点力，E分别在边AC,8C上，且NCOE=NB,将△CDE沿直

DF5

线。E折叠，点。恰好落在A3边上的点尸处.若AO2BC,则——的值为____-______.

CF4

(提示：设BC=x,AC=2x,贝！IAB=VL:,/.CF=AF=BF=—x,：.CG=—x,ADGC^ABCA^

24

△DCE,DC=-x,DE=^x,/.—=-)可直接用相似，设DG=x,CG=2x,GE=4x

88CF4

7题图8题图

8.如图，在AABC中，点。是BC上一点，连接AD,将△4C£)沿直线翻折至△ABC所在平面内，

得到△人£!),AE交于点E若8。=2£>。，AB=AD,AF=2EF,CD=2,△QFE的面积为1,则点。到

直线AE的距离为1.2.

(提示：CD=DE=2,BD=4,，BG=GD=2,SAADF=2,SAADE=SAADC=3,.，.SAABC=9,.,.AG=3.CG=4,

△AGC^ADHE,.,.DH=g)也可用等面积，AC=AE=5,：.5h=6,：.h=1.2

5

8

,4

9题图10题图

9.如图，在△ABC中，AB=BC=5,AC=V10,D是BC上一点,连接AD把△AC。沿直