第七讲矩阵的秩线性方程组的解演示文稿

第七讲矩阵的秩线性方程组的解演示文稿当前1页，总共44页。（优选）第七讲矩阵的秩线性方程组的解当前2页，总共44页。3.初等变换的应用:（3）求XA=B（1）求A-1（2）求AX=B当前3页，总共44页。第二节矩阵的秩一.矩阵秩的概念二.矩阵秩的求解当前4页，总共44页。一、矩阵秩的概念矩阵的秩当前5页，总共44页。如：矩阵取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，二阶子式是组成的的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式.易见当前6页，总共44页。最低阶为阶，最高阶为阶.当前7页，总共44页。注:显然,中不等于零的子式的最矩阵的秩是高阶数.矩阵的秩具有下列性质:(1)若矩阵中有某个阶子式不为0,则(2)若中所有阶子式全为0,则(3)若为矩阵,则(4)当前8页，总共44页。例1求矩阵解在中,又的3阶子式只有一个且的秩.当前9页，总共44页。例2解当前10页，总共44页。问题：经过变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法当前11页，总共44页。初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解当前12页，总共44页。当前13页，总共44页。当前14页，总共44页。当前15页，总共44页。由阶梯形矩阵有三个非零行可知当前16页，总共44页。当前17页，总共44页。则这个子式便是的一个最高阶非零子式.故A中必有3阶非零子式，计算A的前三行构成的子式当前18页，总共44页。当前19页，总共44页。例设为阶非奇异矩阵,为矩阵.试证:与之积的秩等于的秩,即证因为非奇异,故可表示成若干初等矩阵之积,皆为初等矩阵.即是经次初等行变换后得出的.因而证毕.注:由矩阵的秩及满秩矩阵的定义,显然,若一个阶矩阵是满秩的,则因而非奇异;反之亦然.当前20页，总共44页。三、小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);定理等价矩阵的秩相等当前21页，总共44页。结论矩阵的秩最高阶非零子式的阶数行阶梯形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的阶数当前22页，总共44页。主要内容线性方程组解的存在性线性方程组的解法第三节线性方程组的解当前23页，总共44页。解向量线性方程组A称为系数矩阵，B=（A,b）称为增广矩阵当前24页，总共44页。同解方程组为同解方程组为当前25页，总共44页。线性方程组的解有下列三种情况：无解有无穷解有惟一解当前26页，总共44页。

当前27页，总共44页。同解方程组为同解方程组为当前28页，总共44页。求解线性方程组的步骤：写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解如果有解，进一步化为行最简形矩阵行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）当前29页，总共44页。例1

求解齐次线性方程组解当前30页，总共44页。即得与原方程组同解的方程组当前31页，总共44页。由此即得当前32页，总共44页。例２求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．当前33页，总共44页。例３求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换当前34页，总共44页。故方程组有解，且有当前35页，总共44页。得方程组的通解为当前36页，总共44页。例５设有线性方程组解当前37页，总共44页。当前38页，总共44页。其通解为当前39页，总共44页。这时又分两种情形：当前40页，总共44页。当前41页，总共44页。例6设有线性方程组问取何值时，此方程组（