中考数学专题知识点精讲相似三角形与解直角三角形

基础义务教育资料相似三角形解直角三角一知要概、比例线段的有关概念（1）前项、后项：两条线段的比︰b中a比的前项，b叫比的后项．（2）比例线段：四条线中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段，简称比例线段．（3）外项、内项、第四比例项：如果a=c︰，则、d比例外项bc叫例项，d叫、b、的四比例项．（4）比例中项：若a︰b=b︰，则b叫a、c的例中项．、比例的性质（1）比例的基本性质：如果︰︰，则，逆题也成立．推论：如果︰b=b︰c，则=ac其逆命题也成立．（2）合比性质：．（3）等比性质：．、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两直线，所得的对应线段成比例．推论1平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．推论2平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．、相似三角形的有关概念（1）相似三角形：对应角相等、对应边成比的两个三角形是相似三角形．（2）相似比：相似三角形对应边的比．、三角形相似的判定（1）两角对应相等，两三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形似．（3）三边对应成比例，两个三角形相似．（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（5）直角三角形斜边上的高分成的两个直角角形与原直角三角形相似．（6）平行于三角形一边的直线截其他两边（两边的延长线）所得的三角形与原三角形相似．1

222222、相似三角形的性质（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比对应角平分线的比都等于相似比．（3）相似三角形周长的比等于相似比．（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方、锐角三角函数在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠，A、∠B、∠的边分别为、b，则，且sinAcosA在～内取值．、特殊角的三角函数值、互为余角的三角函数关系锐角与的余角（－）有如下关系：sin(90°α)=cosα，－α)=sin，tan(90°－α)=cotα，cot(90°－．、同角三角函数间的关系（1平方关系：

α＋

；倒数关系：tanα·cot；商数关系：．10锐角三角函数的增减性当角α～间变化时，角α的弦、正切值随角α的大（或减小）而增大（或减小）；角余弦、余切值随的大（或减小）而减小（或增大），正弦值、余弦值均介于～1之，即≤sinα，≤cosα≤1．11在ABC中∠C=90°，∠A∠B∠的边分别为、、c，则有下列关系：（1）三边的关系：＋=c；（2）角的关系AB=90°（3）边角的关系：

，

，

，

；2

（4）面积关系：；（5）外接圆半径：，切圆半径：．12应用解直角三角形知识解题的步骤（1）审题，弄清仰角、俯角、坡角等概念及意．（2）画图并构造要求解的直角三角形，对于直角三角形添加适当的辅助线分割成规则的几何图形．（3）选择合适的边角关系计算，确定结果．13应用中的几个概念（1）仰角、俯角：视线与水平线所成的锐角视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图1．（2）坡角、坡度：坡面的铅直高度和水平宽度l的比叫做坡度i，即，坡面与水平面的夹角叫坡角，tanα=i.(图（3）方位角：从某点的指北方向线按顺时针到目标方向的水平角叫方位角．如（图）中，OA、OC的方位角分别为DOA、∠DOB、DOC（4）方向角：指北或指南方向线所成的小于90°的水平角叫方向角．如（图4）中、OB、OCOD的向角分是：北偏东30°南偏东45°（东南方向）、南偏西、北偏西60°二典例剖例、图在△ABC中AB=24，AC=18D在AC上，AD=12，在上一点，使得△ADE与三角形相似，则AE的为（）A．16B．C．16或D16或9分析：使两个三角形相似，但未指明对应关系，应进行分类讨论．解：（1如图，过D作DE//BC交AB于（∠∠C，3

则ADE∽△，此时有∴AE=16．（2）如图，作ADE′=∠BDE交于，则ADE△ABC此时有∴′=9．综上所述或9．

，答案：D例2已知三数12，请你再添上一个数（只填一个数）使们能构成一个比例式，则这个数是_．解析：此题设计较为开放结不唯一于题目没有明确告知构成比例的各数顺序所以所添的数的位置较为灵活1︰2=

︰x可出︰=x︰求；从1x=

︰2可出，此题填以上三个数中的任意一个即可．例3、如图知DE分别是ABC的AB上一点且︰eq\o\ac(△,S)ADEDBCE︰3那么AD︰AB=（）AC．分析：

BD．由S︰S︰︰=1︰．DBCEADEABC由得S∽S．ABC4

22222222由相似三角形的面积比等于相似比的平方得，∴︰AB=

，故选．答案：例4、已知：如图，ABC中，是角平分线AD的直平分线交于E，交BC的延长线于．求证：FD=FB·FC．分析：要证：FD

，证：．由于无法找到△FDB与，所以应将FD代，根据EF是的垂直平分线的条件可联想到连接FA，则FD=FA用FA替FD，得，此可找到证FAB△FCA证明：接．∵垂平分，∴FD=FA∴∠∠FAD∵AD平，∠BAD=∠CAD∴∠FDA－∠BAD=FAD－∠CAD∴∠∠FAC又∵∠BFA=AFC∴△FAB∽△FCA，，∴，即=FB·FC例5、计算：分析：（1）题综合考查特殊角的三角函数值及代数的计算．将特殊角的三角函数值代入化简，并注意分母有理化，这类题型记准数值是前提，算准结果是关键．（2）题要灵活运用同角的三角函数关系和互的三角函数关系进行化简，要识别45°＋与45°－互余关系．解：5

例6、已知：如图，∠，，ABAC=2．求BC的长．分析：解直角三角形时求元素不在直角三角形中将转化为直角三角形中去化的途径有辅线构造直角角形找知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等．解：过A作⊥BC于D，构造直角三角形．例7、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的通状况，在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在面上事先划定以B为心，半径与AB等的圆形危险区．现在某工人站在离