职业中专第一册数学总复习

职业中专第一册数学总复习第1页/共95页第一章：方程与不等式1数的基本知识1.数的分类实数（集）（R）有理数（集）无理数（集）整数负分数（集）（集）正整数零负整数（集）（Q）（Z）（N+、N*）负正分数自然数（集）（N）第2页/共95页2.倒数与相反数的概念相反数:倒数:乘积是1的两个数互为倒数只有符号不同的两个数互为相反数1的倒数是什么？0有没有倒数？1没有3.数轴与数规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴第3页/共95页4.绝对值几何定义:一个数a

的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离,数a

的绝对值记作|a|.代数定义:①一个正数的绝对值是它本身.②一个负数的绝对值是它的相反数.③零的绝对值等于零.第4页/共95页数的乘方第5页/共95页数的开方平方根立方根n次方根第6页/共95页整式的运算常用乘法公式平方差公式：完全平方公式：第7页/共95页因式分解方法与步骤：分组分解法提取公因式公式法（乘法公式的逆运算）配方法十字相乘法第8页/共95页分式的运算第9页/共95页一元一次方程第10页/共95页例子：第11页/共95页二元一次方程组第12页/共95页例子第13页/共95页第14页/共95页一元二次方程第15页/共95页第16页/共95页一元一次不等式第17页/共95页第18页/共95页一元一次不等式组第19页/共95页用数轴表示不等式组的解第20页/共95页一元二次不等式的概念及解法不等式中只含有一个未知数，且最高次数为二次的不等式叫做一元二次不等式.他的一般形式是一元二次不等式与一元二次函数的关系及解法如下表第21页/共95页第22页/共95页第二章

集合一般地，某些指定的对象组成的全体就是一个集合（简称集），用大写字母A、B、C……表示。集合中的每个对象都称为这个集合的元素。用小写字母a、b、c……表示。若a是集合A的元素就说a属于A，记作a∈A，否则aA。集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。集合与元素的关系

属于、不属于第23页/共95页

集合的分类

空集与数集空集：不含任何元素的集合，记作，如方程x2+1=0的解集为ø数集：以数为元素的集合。常用数集

详见第一章数的分类第24页/共95页第25页/共95页第26页/共95页第27页/共95页一、交集二、并集第28页/共95页三、补集第29页/共95页名称闭区间开区间左闭右开区间左开右闭区间定义{x|a≤x≤b}{x|a＜x＜b}{x|a≤x＜b}{x|a＜x≤b}符号［a,b］(a,b)［a,b)(a,b］图示第30页/共95页定义{x|x≥a}{x|x≤b}{x|x＞a}{x|x＜b}符号［a,+∞）（-∞，b］（a,+∞）（-∞,b）图示第31页/共95页第三章

函数在某一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个实数集合D中的每一个值，按照某个对应关系（或称对应法则）f，y都有唯一确定的值与它相对应，那么我们就说y是x的函数（function），记作y=f(x),x∈D其中，x称为自变量，x的取值范围（即集合D）称为函数的定义域（domain），与x的值相对应的y的值称为函数值，当x取遍D中所有值时，所得到的函数值y的集合称为函数的值域（range）．第32页/共95页1、函数的两大要素2、求函数的定义域的方法y=2x2-3x+1第33页/共95页函数三种表示方法：解析法、列表法、图像法第34页/共95页一、偶函数：定义域关于原点对称

一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对于任意的x∈D，都有f（-

x）=

f（x），则称y=f（x）为偶函数，如y=x2为偶函数。二、奇函数：定义域关于原点对称一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对于任意的x∈D，都有

f（-

x）=

-

f（x），则称y=f（x）为奇函数，如y=三、非奇非偶函数：定义域关于原点不对称如果一个函数既非奇函数，又非偶函数，则称为非奇非偶函数.第35页/共95页小结：根据定义讨论函数的奇偶性的步骤第一步，求函数的定义域并判断定义域是否关于X轴对称；第二步，若定义域关于X轴对称，则判断f（-

x）值，若对于任意的x∈D，都有f（-

x）=

f（x），则称y=f（x）为偶函数，如y=x2若对于任意的x∈D，都有

f（-

x）=

-

f（x），则称y=f（x）为奇函数，如y=若定义域关于X轴不对称，则为非奇非偶函数第三步，写出结论第36页/共95页增函数、减函数一般地，设函数

y=f(x)

的定义域上某个区间为I：如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)＜f(x2)我们就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数，简称增函数，其图像沿x轴的正方向上升，如图3-15a所示.

如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)我们就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数，简称减函数，其图像沿x轴的正方向下降，如图3-15b所示.单调区间？第37页/共95页小结：根据定义讨论函数的单调性的步骤第一步，书写“任取x1，x2∈I，且x1＜x2”；第二步，写出f（x1），f（x2）；第三步，化简f（x1）-f（x2），并判断它的符号第四步，写出结论第38页/共95页最大值一般地,设函数y=f（x）的定义域为D

如果对于任意x∈D都有f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数y=f（x）的最大值记作ymax=f（x0）最小值

如果对于任意的x∈D都有f（x）≥f（x0）则称f（x0）为函数y=f（x）的最小值记作ymin

=f（x0）如函数y＝x2－2有ymin=f（０）＝－2函数y＝－x2－１有ymax=f（０）＝1第一步：设两个变量（未知数）第二步：由条件例出函数解析式第三步：求出最大值或最小值第四步：根据实际问题的意义作正确答案第39页/共95页正整数指数幂零指数幂a0=1（a≠0)负整数指数幂a

-

n

=

(a≠0)第40页/共95页有理数指数幂的运算法则设a＞0，b＞0，p，q∈Q，则法则1

ap·aq＝ap+q

ap÷aq=ap-q法则2

(aq)p＝aqp法则3

(ab)p＝ap·bp

幂函数定义:一般地,我们把形如y=xk(k为常数，k∈Q)，的函数称为幂函数.如:y=x.y=x2.等.性质:与k的取值有关.第41页/共95页画出函数的图像，结合图像讨论函数的性质．x01234…y00.711.41.72…解列表法：第42页/共95页从图上可以看到，函数的图像从原点开始，在第一象限向右上方无限延伸．（1）定义域：［0，+∞）；（2）值域：［0，+∞）．且当x=0时，ymin=0；（3）函数

既不是奇函数，也不是偶函数；（4）函数

在定义域［0,+∞)上是增函数．第43页/共95页有理数指数幂的运算法则设a＞0，b＞0，p，q∈Q，则法则1

ap·aq＝ap+q

ap÷aq=ap-q法则2

(aq)p＝aqp法则3

(ab)p＝ap·bp

一般地,我们把形如y=ax(a＞0,a≠1)的函数称为指数函数.如y=2x，y=0.5x等.定义域(-∞,+∞)第44页/共95页在同一平面直角坐标系中用描点法作函数y=2x

和y=的图像.x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x…0.250.350.50.7111.4122.834…y=…42.8321.4110.710.50.350.25…总结性质:

①两个图像都在x轴上方,它们的函数值y＞0②两个图像都过点(0,1)③y=2x的图像沿x轴的正方向上升,在定义域内是增函数y=的图像沿x轴的正方向下降,在定义域内是减函数第45页/共95页一般地,指数函数y=ax(a＞0,a≠1)的图像和性质如下:函数y=ax(a＞0,a≠1)a＞10＜a＜1图像性质（1）定义域是（-∞，+∞），值域是（0，+∞）（2）当x=0时，y=1（3）在（-∞，+∞）内是增函数（4）当x＞0时，y＞1当x＜0时，0＜y＜1（3）在（-∞，+∞）内是减函数（4）当x＞0时，0＜y＜1当x＜0时，y＞1第46页/共95页33.6与32.8（1）因为3＞1，所以指数函数y=3x是增函数．又因为3.6＞2.8，所以33.6＞32.8第47页/共95页

32=9用3和2表示9=3用9和2表示3能否用3和9表示2呢？第48页/共95页1．零和负数没有对数2．loga

1

=0loga

a

=1(a＞0,a≠1)3．alogaN=N(a＞0,a≠1)4．logaab=b(a＞0,a≠1)第49页/共95页对数函数定义:

一般地,我们把形如y=log

(a＞0，a≠1)的函数称为对数函数.如y=log

y=log

等.定义域(0,+∞)对数函数与指数函数的关系，互为反函数，如y=2x与y=log互为反函数.第50页/共95页讨论及的图像和性质图3-22小结性质①两个图像都在y轴的右边②两个图像都过点(1,0)③y=的图像沿x轴的正方向上开,在定义域内是增函数.

的图像沿x轴的正方向下降,在定义域内是减函数.第51页/共95页一般地,对数函数(a＞0，a≠1)的图像和性质如下函数y=logax(a>0,a≠1)a＞10＜a＜1图像性质（1）定义域是（0，+∞），值域是（-∞，+∞）（2）当x=1时，y=0（3）在（0，+∞）内是增函数（4）当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＜0（3）在（0，+∞）内是减函数（4）当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0第52页/共95页1.角的定义及组成一条射线绕着端点O从一位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形称为角，如图按逆时针方向旋转形成的角称为正角．按顺时针方向旋转形成的角称为负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们也认为它形成了一个角，称为零角．零角的始边与终边重合，若α是零角，则α=0°.第53页/共95页象限角以平面直角坐标系xOy的原点O为角的顶点,让角的始边与x轴的正半轴重合，这时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果一个角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，如90°角与180°角不属于任何一个象限。第54页/共95页在0°~360°范围内,表示各象限角的范围.第55页/共95页

在同一直角坐标系中,画出30°、390°、750°、-330°角，并寻找它们的共同点30°=30°+0×360°390°=30°+1×360°750°=30°+2×360°-330°=30°+(-1)×360°小结：共同点是所有角的终边相同,可以用β=30°+k·360°，k∈z表示.第56页/共95页终边相同的角的表示:一般地，与α角终边相同的角（含α在内的一般表达式为β=α+k·360°，k∈z用集合表示为{β|β=α+k·360°，k∈z}思考：第一象限的角的集合如何表示？{α|0°+k·360°＜α＜90°+k·360°，k∈z}第57页/共95页定义:长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角.

用弧度作为单位来度量角和单位制称为弧度制.图4—6在半径为r的圆中，长度为l的圆弧所对的圆心角的大小是|α|=

rad.第58页/共95页角度与弧度的换算360°=2πrad.180°=πrad.1rad=

=57.3°注:弧度单位通常忽略不写.用弧度制表示下列各角：60°，-270°.例2把下列各角用角度制表示：，

.第59页/共95页在直角三角形中，如图所示。∠M是直角，锐角α的对边是a，邻边是b，斜边是c，则有sinα=

cosα=

tanα=在直角坐标中，如图所示。第60页/共95页

在锐角α的终边上任取一点P（原点除外），过点P作x轴的垂线，垂足为M，这样就得到了直角三角形OPM，设点P的坐标为（x,y）则角α的对边MP的长是y，邻边OM的长是x，斜边OP的长是r，其中r=（r＞0）由此得到sinα=

cosα=

tanα=推广到任意角就有任意角的三角函数第61页/共95页如图所示，在任意角α的终边上任取一点P，设P的坐标为（x,y）OP=r,则r=（r＞0）图4—11第62页/共95页sinα=称为角α的正弦cosα=称为角α的余弦tanα=称为角α的正切第63页/共95页特殊角的三角函数的值.α角度制0°30°45°60°90°180°270°弧度制0π

πsinα010-1cosα10-10tanα01不存在0不存在第64页/共95页

根据任意角的三角函数的定义，我们知道，角α的终边上点P坐标值的符号决定了角α的三角函数的符号．各三角函数在各个象限的符号列表如下：记忆口诀：一正二正弦，三正切四余弦.含义：第一象限全为正，第二象限除正弦为正外，其余均为负，第三象限除正切为正外，其余均为负，第四象限除余弦为正外，其余均为负第65页/共95页同角三角函数的基本关系第66页/共95页诱导公式sin(2kπ+α)=sinα,k∈Zcos(2kπ+α)=cosα,k∈Z

(公式一）tan(2kπ+α)=tanα,k∈Z公式作用：将任意角的三角函数化为［0，2π］内的角的三角函数。一、有关α+2kπ（k∈z）的诱导公式二、有关-α的诱导公式例如：sin1500°=sin(4×360°+60°)=sin60°sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosα (公式二）tan(-α)=-tanα公式作用：将负角的三角函数化为正角的三角函数。例如：sin(-30°)第67页/共95页角-α与角α的终边关于x轴对称

证明：由图4—16可知角-α与角α的终边关于x轴对称，在角α的终边上取一点P，使OP=1，设P的坐标为（x，y），则P′（x，-y）必在角-α的终边上，且OP′=1图4—16第68页/共95页三、有关-α的诱导公式sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosα (公式三）tan(2π-α)=-tanα公式作用：将任意负角的三角函数转化为正角的三角函数。sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosα (公式四）tan(π+α)=tanα四、π±α的三角函数的简化公式sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosα (公式五）tan(π-α)=-tanα第69页/共95页证明公式四图4—17证明.将任意角α的终边按逆时针旋转π弧度，就得到π±α的终边，显然角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，在角α终边上取一点P，使OP=1，设点P的坐标为（x，y），则P′（-x，-y）必在角π＋α的终边上，且OP′=1，所以第70页/共95页求下列各三角函数的值：(1)sin（2）cos135°（3）tan小结：求任意角的三角函数的步骤第71页/共95页正弦函数y=sinx的图像与性质正弦函数y=sinx的图像先用描点法画出y=sinx在区间[0，2π]上的图像.由于sin（2kπ+x）=sinx,k∈z.所以y=sinx在区间[2kπ,2kπ+2π]上的图像与在区间[0，2π]上的图像形状完全一样，只要将y=sinx在[0,2π]的图像向左向右平移即可.第72页/共95页正弦函数y=sinx的性质（1）定义域

R（2）值域[-1，1]x=

+2kπ(k∈z)ymax

=1

x=

+2kπ(k∈z)ymin=-1（3）周期性

T=2π最小正周期（4）奇偶性

奇函数（5）单调性

在区间[2kπ-，2kπ+

]内单调递增，区间

[2kπ+，2kπ+

]内单调递减（6）与x轴主点

x=kπk∈z第73页/共95页用五点法画出函数y＝sinx+1

在［0，2π］上的简图.分析比较函数y＝sinx+1和函数y＝sinx可以看出，对同一个x值，函数y＝sinx+1的值比函数y＝sinx的值大1.所以，函数y＝sinx+1的图像与函数y＝sinx的图像形状一样，但在坐标系中的位置不同.x0π2πsinx010-10sinx+112101第74页/共95页已知函数y=-2sinx．（1）用五点法画出这个函数在一个周期0，2π］上的图像．（2）求出它的最大值和最小值．（3）判断它的奇偶性．（4）指出这个函数在［0,2π］上的单调区间．解（1）列表：x0π2πy0-2020第75页/共95页描点，连线得到函数y=-2sinx在一个周期［0，2π］上的图像，如图4—23所示．（2）根据函数的图像和函数的周期性，可知当x=2kπ+(k∈Z)时，函数有最大值，ymax=2；当x=2kπ+(k∈Z)时，函数有最小值，ymin=-2．（3）函数f(x)=-2sinx的定义域为R．因为f(-x)=-2sin(-x)=2sinx=-f(x)所以这个函数是奇函数．（4）根据图像，可知这个函数在[0,2π］上的单调增区间为［

，

］，单调减区间为［0，

］和［

，2π］．第76页/共95页余弦函数y=cosx的图像与性质余弦函数y=cosx的图像先用描点法画出y=cosx在[0，2π]内的图像x0y10.870.50-0.5-0.87-1-0.87-0.500.520.871曲线可由y=cosx

在[0，2π]内图像向右、向左平移2kπ(k∈z)个单位得到y=cosx

x∈[0,2π]由五个关键点确定图像形状。（0，1），（

，0），（π，-1），（

，0），（2π，1）第77页/共95页余弦函数y=cosx的性质（1）定义域R（2）值域[-1，1]x=2kπ(k∈z)时，ymax=1，x=（2k+1）π

(k∈z)时ymin=-1（3）周期性

T=2π（4）奇偶性

偶函数（5）单调性[2kπ,2kπ+π]区间上为减函数，[2kπ+π，2kπ+2π]区间上为增函数（6）与x轴的交点

当x=kπ+

(k∈z)时，y=cosx=0第78页/共95页用五点法画出y=2cosx在［0，2π］上的简图列表x0π2πy=2cosx20-202描点并连线（图4—27）图4—27第79页/共95页正切函数y=tanx的图像x…_

-

-0…y=tanx…-1.73-1-0.5800.5811.73…x…πππππππ…tanx…-1.73-1-0.5800.5811.73…第80页/共95页第81页/共95页第82页/共95页多面体定义：由若干个平面多边形所围成的几何体称为多面体.棱柱：一般地，有两个面互相平行，且不在这两个面的棱都相互平行的多面体称为棱柱.棱柱中的元素：底面、高、侧面、侧棱、顶点.如图5—3.棱柱的表示方法.如ABCDE-A1B1C1D1E．即用底面的顶点表示.