第10讲高二数学学科素养能力竞赛专题训练-数列与不等式（原卷版）

第10讲高二数学学科素养能力竞赛专题训练——数列与不等式【题型目录】模块一：易错试题精选模块二：培优试题精选模块三：名校竞赛试题精选【典型例题】模块一：易错试题精选1．已知数列满足，，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2．已知数列的前n项和为，且，若恒成立，则实数的最大值为（

）A． B．1 C． D．3．已知数列的通项公式为，其前项和为，若不等式对一切正整数恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（多选题）在数列中，，，且，则下列说法正确的是（

）A．B．C．，使得D．，都有5．已知等比数列的通项公式为，，记的前n项和为，前n项积为，则使不等式成立的n的最大值为___________.6．已知数列的通项为，且数列的前项和，若，则实数的取值范围为______．7．已知等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)若，数列满足关系式，求数列的通项公式；(3)设（2）中的数列的前项和为，对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围.8．已知数列，，，其中．(1)设，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；(2)设，为数列的前项和，求证：；(3)设为非零整数，，试确定的值，使得对任意，都有成立．9．已知数列的前项和为，，当时，.(1)求；(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.10．已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中．(1)若成等差数列，求的通项公式；(2)设数列满足，且，数列的前n项和为，证明：．11．已知数列的前项和为，且.(1)求证；数列是等比数列；(2)求证：.12．在单调递增数列中，已知，，且，，成等比数列，，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前n项和．若对，不等式均成立．求实数k的取值范围．13．已知数列满足，（其中）(1)判断并证明数列的单调性；(2)记数列的前n项和为，证明：．14．已知正项数列的前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．15．已知单调递减的正项数列，时满足．为前n项和．(1)求的通项公式；(2)证明：.模块二：培优试题精选1．设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为___________.2．已知数列满足．(1)证明：数列是等差数列；(2)证明：．3．数列满足：，；(1)求证：；(2)求证：对任意正数，都存在正整数使得成立；(3)求证：4．已知数列的前项和为，满足：.(1)求证：数列为等差数列；(2)若，数列满足，记为的前项和，求证：；(3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.5．已知数列满足，并且（为非零参数，）．(1)若成等比数列，求参数的值；(2)设，常数且，证明：．6．已知数列满足．(1)求的通项公式和前n项和；(2)设，若不等式，对于任意都成立，求正数k的最大值．7．已知数列的前n项和（），数列满足．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数，使得对任意，都有．8．已知数列满足，，.(1)若，①求数列的通项公式；②若，求的前项和.(2)若，且对，有，证明：.9．对于数列，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数d，则叫做类等差数列，叫做类等差数列的首项，d叫做类等差数列的类公差.(1)若类等差数列满足，请类比等差数列的通项公式，写出数列的通项不等式（不必证明）；(2)若数列中，，.①判断数列是否为类等差数列，若是，请证明，若不是，请说明理由；②记数列的前n项和为，证明：.10．已知数列中，，且对任意正整数m，n都有．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，（I）求数列的通项公式；（II）设，若对任意恒成立，求实数t的取值范围．11．已知数列​，前​项和为​，满足​.(1)求数列​的通项公式;(2)若​，求数列​的前​项和​;(3)对任意​，使得​恒成立，求实数​的最小值.12．记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．(1)求的通项公式；(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；(3)求证：对于任意正整数，．13．已知数列的各项都是正数，，若数列为严格增数列，则首项的取值范围是______，当时，记，若，则整数______模块三：名校竞赛试题精选1．已知为平面区域：（）内的整点（，均为整数的点）的个数，记，数列的前项和为，若对于，恒成立，则实数的取值范围是__________．2．记数列的前n项和为Sn，若不等式对任意等差数列及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为_____________.3．使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为____．4．已知.求证：.5．已知数列满足，，.（1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围；（2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值.6．给定整数．设是个非负实数，满足，且对任意，有（这里）．求的最小值．7．已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.8．函数满足：对任意，都有，且，数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）令，，记．问：是否存在正整数，使得当时，不等式恒成立？若存在，写出一个满足条件的；若不存在，请说明理由．9．已知点在函数图象上，数列是以为公比的等比数列，．（Ⅰ）设，且，求的值；（Ⅱ）令，当时，证明：．10．设函数的定义域为R，当时，，且对任意实数，